江苏省徐州市中考数学总复习提分专练06以平行四边形为背景的中档计算题与证明题习题

1、提分专练(六)以平行四边形为背景的中档计算题与证明题|类型1|四边形综合运用问题1. 2017 酒泉如图T6-1,矩形ABCD中，AB§ BCW,过对角线BD中点0的直线分别交 AB CD边于点E, F.(1) 求证：四边形BEDF是平行四边形； 当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.132阅读下面材料：在数学课上老师请同学们思考如下问题：如图T6-3,我们把一个四边形 ABC的四边中点E F, G H依次连接起来得到的四边形EFG!是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC图 T6-2结合小敏的思路作答(1)若只改变图中四边形ABC啲形状(如图),则四边形EFGH还是平

2、行四边形吗？说明理由.参考小敏思考冋题的方法，解决冋题：(2) 如图，在(1)的条件下，若连接ACBD.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形？直接写出结论图 T6-3|类型2|四边形的折叠问题3. 2018 宁夏将一张矩形纸片按如图T6-4所示折叠,若/仁40° ,则/ 2的度数是()A . 40B . 50°C .60°D .70°4. 2018 贵港如图T6-5,将矩形ABC断叠，折痕为EF, BC的对应边BC与CD交于点M若/ B'MD=50° ,则/ B

3、EF的图 T6-55.如图T6-6,矩形ABCD , AB>AD把矩形沿对角线 AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.(1) 求证： ADEA CED(2) 求证： DEF是等腰三角形.图 T6-66. 2014 淮安如图T6-7,在厶ABC中, AD平分/ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB AC于点E F,连接DEDF.求证：四边形AEDF是菱形图 T6-77.如图T6-8,在矩形纸片ABC中,已知AB=,BC屛，点E在边CD上移动，连接AE将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到四边形AB'C'E，点B,C的对应点分别为点B

4、9; , C'.（1）当BC恰好经过点D时（如图）,求线段CE的长； 若BC分别交边 ADCD于点F, G且/ DAE=2.5° （如图）,求厶DFG的面积； 在点E从点C移动到点D的过程中，求点C'运动的路径长图 T6-88. 2017 威海如图T6-9,四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3, BC2动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止. ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D的位置.设DP=x ADP与原纸片重叠部分的面积为 y.(1)当x为何值时，直线AD过点C? 当x为何值时，直线AD过BC的中点E?(3) 求出y与x的函数关系式.鼻用BB图 T6-9

5、|类型3|四边形的平移、旋转问题9.问题：如图T6-10，点E, F分别在正方形 ABCD勺边BCCD上，/ EAF=45° ,试判断BE EF FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把 ABE绕点A逆时针旋转90°至厶ADG从而发现EF=BE+FD#你利用图证明上述结论.【类比引申】如图，四边形ABCD中, / BAD"90°, AB=AD/ B+Z D=180° ,点E F分别在边BCCD上,则当/ EAF与/ BAD满足_关系时，仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知AB=AD80米

6、，/ B=60° , Z ADC=20° , Z BAD=150° ,道路BC CD上分别有景点E F,且AE! ADDF=40(S-1)米，现要在E, F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：虑1.41,由1.73）.(D图 T6-10参考答案1. 解:(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，0是BD的中点, AB/ DC 0B=QD/ OBEh ODF又/ BOEh DOFBQE DQ(ASA), EO=FQ四边形BEDF是平行四边形.(2)当四边形BEDF是菱形时，设 BE=x DE=xAE=6-x,在 Rt ADE中 , DE=A

7、D+AE, x =4 +(6 -x),13 x= 3 ,3 生S 菱形 bed=BE AD= X 4= BD- EF又；Bd"护 AD2= + 4_=23, X 2- EF= , EF= .2. 解: 四边形EFGH还是平行四边形，理由如下：连接AC/ E F分别是ABBC的中点，1 EF/ ACEF=AC.G H分别是CDAD的中点,1 GH/ AC GH=AC ef/ ghef=gh四边形EFGH1平行四边形.当AC=B时，四边形EFG雇菱形，理由如下：由可知四边形EFGH是平行四边形，I1当 AC=BD寸，/ FG=BD EF=AC fg=ef四边形EFGH1菱形当ACL BD

8、时，四边形EFGH1矩形3. D 解析如图，易知2/3=71+180° =220°，从而/3 =110°，又由平行线的性质，得/2+/3=180°，进而/2 =70°,故选D4. 70° 5.证明: T四边形 ABC是矩形， ad=bcab=cd.由折叠的性质可得：BC=CEAB=AE AD=CEAE=CD.0 D c c r- -=- D & E 虫XD在厶 ADEP CED, ADEA CEDSSS). 由(1)得厶ADEA CED / DEAN EDC即/ DEFN EDF EF=DFDEF是等腰三角形.6.证明：由折叠

9、可知 AE=EAF=DF /I =Z2, Z3 =Z4.又 AD平分/ BAC/./1 =/3 . /I =/2 =/3 =/ 4, AE/ DF AF/ ED四边形AEDF为平行四边形 又 AE=ED四边形AEDF为菱形.7.解: 由折叠得,/ B=Z B'=90°, AB=AB'=,BC=BC= , C'E=CE由勾股定理得,B'D='=£.；=,所以dc'=-彳, 因为/ ADE=0° ,所以/ ADB'+Z EDC'=90°,又因为/ EDC'+Z DEC'=90&#

10、176; ,所以Z ADB'=Z DEC,又Z B'= Z C'=90° ,所以 AB'MA DC'E,所以AU1 9'D 而=莎即所以 CE=C'E= -2./ BADZ B'= Z D=90° , Z DAE=2. 5Z BAE=O° -22. 5° =67. 5°,Z B'AF=67.5° -22.5° =45°, Z B'AF=Z B'FA=45°, Z DFGZ AFB'=Z DGF=5°

11、, DF=FG.在 Rt AB'F 中，AB'=FB'=1, AF=, AB'= , DF=DG= -，.,1g- S DF(= 1 X (-')2=-.CC' 如图，点c运动的路径长为 宀的长, 在 Rt ADC中 ,B1CD g/ tan Z DAC=,/ DAC30°, AC2CD2/ C'AD=Z DAC30° ,CAC'=6060te x 2 2cz?小的长=1祜=3 n8.解:如图,由题意得, ADPA ADP. AD=AD=, PD=P!=x, / PDAh PDA=90°在 Rt AB

12、C中, / AB=3, BC= AC= =,CD= -2.直线AD过点C, PD丄AC.在 Rt PCD中,即(3-x)2=x2+(-2)2,2-4解得x=岛乔一4当x=时，直线AD过点C.如图，连接PE./ E 为 BC中点， BE=CE=在 Rt ABE中，/ AD=AD=, PD=PD=x,DE= l°-2, PC=3-x.在 Rt PDE 和 Rt PCE中,2、而-2 x2+(“lt：-2)2=(3-x)2+12,解得 x=.2护-2当x=时，直线AD过BC的中点E.如图,当OwxW2时，y=x.c ff如图，当2VXW3时，点D在矩形外部，PD与AB交于点F./ AB/

13、CD Zl =Z2 ./I =Z 3, Z2 =Z 3, FP=FA.作PGL AB垂足为点G设 FP=FA=a由题意得，AG=DP=)FG=x-a.在 Rt PFG中,由勾股定理，得(x-a)2+22=a2,4 + x2 1 斗+ 彳 x2 + 4解得 a= , y= x 2 x =.x2 + 4综上所述,当Ow x<2时,y=x;当2<xW3时，y= 2尤.9.解析【发现证明】根据旋转的性质可以得到AE=AGBE=DGZ B=Z ADG=0° , / EAG=O° ,再根据“ SAS证明AFE可得EF=GF由此证得结论1 1【类比引申】 根据上面的特殊情况中

14、/ EAF= / BAD猜想一般情况下也应满足/EAF三/ BAD才能得到结论，证明过程与上面类似【探究应用】连接 AF.要运用这个几何模型必须先证明/EAF#5° .过点 A作AHL CD于点H,解两个直角三角形Rt AHD和 Rt AHF来得以实现解：【发现证明】 证明：由旋转可得 AE=A(BE=Dd B=Z ADG90° , / EAGN BAD=0° .四边形ABCD为正方形，/ ADC=0°,/ ADC：+ ADG=80° , G, D, C三点共线./ EAF=5° , / GAF=5 , / GAFM FAE.又 AF

15、=AFAFG AFSAS), GF=EFGF=GD+D EF=BE+DF.1【类比引申】/ EAF= / BAD理由如下：如图，将 ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至厶ADG使AB与 AD重合由旋转可得 AE=AGBE=DGZ B=Z ADG/ BAEh DAG./ B+Z ADC=80° , / ADC乂 ADG=80°,GDC三点共线.Z BAEZ DAGZ BADZ EAG.1 Z EAF= Z BAD GAFZ FAE.又 AF=AFAFG AFSAS), GF=EF. GF=GD+DF1 EF=BE+DF故答案为Z EAF= Z BAD.【探究应用】/ BAD=50° , / DAE=O°, / BAE=0又/ B=60° , ABE是等边三角形 BE=AB80.如图，连接AF,过点A作AHL CD交 CD的延长线于点H.在 Rt AHD中, / ADH=80° - / ADC=0