分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、内容与解析（一）内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理；（二）解析：本节课要学的内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理指的是分类加法计数原理的定义、分步乘法计数原理的定义、两个原理应用，其核心是两个计数原理, 懂得它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及其应用方法；同学已经学过加法、 乘法，本节课的内容要与之建立相关联系；由于它们不仅是推导排列数、组合数运算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终, 所以在本章有重要的位置， 是本学科的重要内容；教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原

2、理的条件和结论，特殊是要留意使用对比的方法，引导同学熟识它们的异同；二、目标及其解析：（一）教学目标1懂得分类加法计数原理； 2懂得分步乘法计数原理； 3会应用两个计数原懂得决简洁的实际问题.（二）解析（ 1）懂得分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为如干各个击破；“类别”，然后分类解决，（ 2）懂得分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为如干骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程；“步骤”，先对每一个步（ 3） 会应用两个计数原懂得决简洁的实际问题就是指依据详细问题的特点挑选对应的原理；三、问题诊断分析在本节课的教学中，同学可能遇到的问题是如何挑选对应的原懂得决详细问题，产生这一问题的

3、缘由是同学无法把详细的问题特点与两个计数的基本思想联系起来；要解决这一问 题，在本节教学时先实行通过典型的、同学熟识的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，然后依据从单一至综合的方式，支配比较多的例题，引导同学逐步体会两个计数原理的基本 思想及其应用方法；四、教学支持条件分析五、教学过程一引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合学问. 排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是讨论按某一规章做某事时，一共有多少种不同的做法.设计意图 :在运用排列、 组合方法时， 常常要

4、用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从详细例子动身来学习这两个原理.问题 1.分类加法计数原理师生活动 :问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.假如一天中火车有3 班，汽车有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题 1.3：你能说说以上两个问题的特点吗？结论:分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有种不同的方法 .nmn问题

5、1.4： 假如完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案中有m2 种不同的方法，在第3 类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题 1.5：假如完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有如干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情， 有 n 类方法， 在第 1 类方法中有m1 种不同的方法， 在第 2 类方法中有m2 种不同的方法在第 n 类方法中有mn 种不同的方法 .那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法 .懂得分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为如干类，各类的方法相互独立

6、，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事问题 2.分步乘法计数原理师生活动 :问题 2.1： 用前 6 个大写英文字母和1 9 九个阿拉伯数字，以教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出全部可能的号码：分析：a1 , a2 ,，b1 , b2 ,的方式给我们仍可以这样来摸索：由于前6 个英文字母中的任意一个都能与9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6× 9 = 54 个不同的号码问题 2.2： 你能说说这个问题的特点吗？结论： 分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有 m 种不同的

7、方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有种不同的方法 .nmn问题 2.3：假如完成一件事需要三个步骤，做第1 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法，做第3 步有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？问题 2.4：假如完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有如干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情， 需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有m1 种不同的方法， 做第 2 步有 m2 种不同的方法做第 n 步有mn 种不同的方法 .那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法 .懂得分步乘法计数原理：分步计数原理针对的

8、是“分步”问题，完成一件事要分为如干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.问题 2.5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点？相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为如干类，各类的方 法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成 这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为如干 步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例 1.在填写

9、高考理想表时，一名高中毕业生明白到，a,b 两所高校各有一些自己感爱好的强项专业，详细情形如下：a 高校b 高校生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学假如这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种挑选呢？分析：由于这名同学在a , b两所高校中只能挑选一所，而且只能挑选一个专业，又由于两 所高校没有共同的强项专业， 因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以挑选a ,b 两所高校中的一所 在 a 高校中有5 种专业挑选方法， 在 b 高校中有4 种专业挑选方法又由于没有一个强项专业是两所高校共有的，因此依据分类加法计数原理，这名同学可能的专业挑选共有5+4=9（种） .变式： 如

10、仍有 c 高校，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业挑选共有多少种？.例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看 ,如,蚂蚁从顶点 a 爬到顶点 c1 有三类方法 ,从局部上看每类又需两步完成,所以,第 一 类 , m1 = 1×2 = 2 条第 二 类 , m2 = 1×2 = 2 条第 三 类 , m3 = 1×2 = 2 条所以, 依据加法原理 , 从顶点 a 到顶点 c1 最近路线共有n = 2 + 2 + 2 = 6条例 3.设某班有男生30 名，女生 24 名. 现

11、要从中选出男、女生各一名代表班级参与竞赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第l步选男生第 2 步选女生解：第 1 步，从30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同挑选；第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有24 种不同挑选依据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法例 4 . 如图,要给地图 a、b、c、d 四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种 ,答应同一种颜色使用多次 ,但相邻区域必需涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图 a 、b、c、d 四个区域依次分四步完成,第一步 ,m1 = 3种,其次步 ,m2 = 2种,

12、第三步 ,m3 = 1种,第四步 ,m4 = 1种,所以依据乘法原理 , 得到不同的涂色方案种数共有n = 3 × 2 × 1× 1 = 6变式1，如图 ,要给地图 a 、b、c、d 四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种 ,答应同一种颜色使用多次 ,但相邻区域必需涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2 如颜色是 2 种， 4 种， 5 种又会什么样的结果呢？六、小结1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有种不同的方法 .nmn2分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有nmn种不同的方法 .七、目标检测1填空： 1）一件工作可以用2 种方法完成，有5 人只会用第1 种方法完成，另有4 人只会用第 2 种方法完成，从中选