《概率统计2章》PPT课件

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量随机变量离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布随机变量的分布函数随机变量的分布函数延续型随机变量及其分布延续型随机变量及其分布随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第一节第一节 随机变量随机变量H,TS |TeHee或 对于随机实验而言，它的结果未必是数量化的。对于随机实验而言，它的结果未必是数量化的。为了全面研讨随机实验的结果，数学处置上的方便，为了全面研讨随机实验的结果，数学处置上的方便，要将随机实验的结果数量化。要将随机实验的结果数量化。例例1: 掷一枚硬币，掷一枚硬币，S定义 上的函数，X = X(e) =1, e = H0

2、, e = T1 , 0XR值域设一口袋中依次标有设一口袋中依次标有 1, 2 , 2 , 2 , 3 , 3数字的数字的外形一样的外形一样的6 6个球。个球。 从这袋中恣意取一球，从这袋中恣意取一球， 获得的球获得的球是随机实验的结果不同而变化的。是随机实验的结果不同而变化的。 当当实验结果确定后，实验结果确定后，X 的值也就相应地确定了。的值也就相应地确定了。例例2：上标有数字上标有数字X,1 1写出一切的根身手件写出一切的根身手件; ; 2求一切根身手件的概率。求一切根身手件的概率。【解】【解】13, 2, 1S用用X X 表示所能出现的数字，那么表示所能出现的数字，那么. 3, 2,

3、1X根身手件根身手件:1X2X3X1(2)1;6P X 12;2P X 13.3P X Ei Ei x(ei)sR 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？一样吗？设设是是E E 的样本空间，的样本空间，假设对于每一个假设对于每一个有一个实数有一个实数和它对应和它对应,为随机变量。为随机变量。( )iSe,ieS( )ix e那么称那么称 iX e定义定义:随机变量定义在样本空间上随机变量定义在样本空间上, ,定义域可以是数也可以定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2. 2. 随机变

4、量函数的取值在实验之前无法确定随机变量函数的取值在实验之前无法确定, ,有一定的有一定的概率；而普通函数却没有。概率；而普通函数却没有。 随机变量的分类：随机变量的分类：随机变量随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量延续型随机变量延续型随机变量其它其它 随机变量函数和普通函数的区别：随机变量函数和普通函数的区别：1. 1. 定义域不同定义域不同离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义常用的离散型随机变量常用的离散型随机变量第二、三节第二、三节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 离散型随机变量的分布列及其性质离散型随机变量的分布列及其性质定义定义1 1：

5、假设随机变量：假设随机变量 X X 的全部能够取值是有限个或可列的全部能够取值是有限个或可列无限多个无限多个, ,那么称那么称 X X 是离散型随机变是离散型随机变量。量。一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义1.1.概念概念实验实验2 2：数数徐州火车站候车人数；：数数徐州火车站候车人数； X =0,1,2, X =0,1,2, 实验实验1 1：抛掷骰子，察看其出现的点数；：抛掷骰子，察看其出现的点数； X =1,2,3,4,5,6 X =1,2,3,4,5,60,1,2,kpk11kkp分布律也可用如下表格的方式表示：分布律也可用如下表格的方式表示：2pXkp1pkpkx2x1x

6、 性质：性质：,(1,2,)kkP Xxpk定义定义2:2:设离散型随机变量设离散型随机变量X的一切能够取值为的一切能够取值为kx, ,其中其中事件事件kXx的概率：的概率：(1,2,),k L称为称为 X 的概率分布或分布律。的概率分布或分布律。2.2.分布律分布律313315220;35AP XA(1) X (1) X 的能够取值为的能够取值为0,1,20,1,2；212313231512;35C A AP XA1213132315121;35C A AP XA典型例题分析典型例题分析1.1.求古典概型中随机变量的分布律求古典概型中随机变量的分布律例例1:1:设在设在1515只同类零件中有

7、只同类零件中有2 2只是次品，在其中取只是次品，在其中取3 3次，次，每次任取每次任取1 1只，作不放回抽样，以只，作不放回抽样，以 X X 表示取出的次品表示取出的次品数。数。1 1求求 X X 的分布律；的分布律；2 2画出分布律的图形画出分布律的图形. .【解】【解】所以所以 X X 的分布律为的分布律为2 2分布律的图形为分布律的图形为方法：在充分了解随机变量含义为根底，求解古典概方法：在充分了解随机变量含义为根底，求解古典概型中随机变量的分布律型中随机变量的分布律 。例例2:2:设随机变量设随机变量X X 的分布律为的分布律为1,1,2,4nP XncnL_c 则【解】由随机变量的性

8、质，得【解】由随机变量的性质，得11411nnncnXP该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有11411nnncnXP41141 c所以：所以：3c2.2.知随机事件的分布律，求解未知参数知随机事件的分布律，求解未知参数方法：随机变量分布律的规范性求解未知参数。方法：随机变量分布律的规范性求解未知参数。1. 01分布分布定义定义 假设随机变量假设随机变量X的分布律的分布律为为1(1),0,1,(01).kkP Xkppkp那么那么称称X服从参数为服从参数为p的的(01)分布。分布。二、常用的离散型随机变量及其分布二、常用的离散型随机变量及其分布pXkp1p10分布律为：分布律为：实验背景

9、：假设随机实验只需两个结果，可以构造一实验背景：假设随机实验只需两个结果，可以构造一个个0-1分布的随机变量。分布的随机变量。定义定义 假设随机变量假设随机变量X的分布律为的分布律为,(0,1,2, )kkn knP XkC p qkn那么那么称称X服从参数为服从参数为, n p其中其中01,1,pqp 记为记为 ( , ).Xb n p的二项分布的二项分布,在一样的条件下对实验在一样的条件下对实验E反复做反复做n次，假设次，假设n次实验中次实验中各各 实验背景：设随机实验实验背景：设随机实验 E 只需只需AA和两种能够结果，两种能够结果，结果是相互独立的，结果是相互独立的，( )(01),P

10、 App记随机变量记随机变量X为事件为事件A发生的次数，那么发生的次数，那么X服从参数服从参数 n, p 的二项分的二项分布布.特别特别,当当1n 时时,二项分布为二项分布为1,0,1.kkP Xkp qk这就是这就是01分布，常记为分布，常记为 (1, ).Xbp【解】【解】330,4Xb实例实例1:某班有某班有30名同窗参与外语考试，每人及格的概率名同窗参与外语考试，每人及格的概率为为3/4记记 X 的及格的人数，求的及格的人数，求 X 的分布律。的分布律。(1)令令Y Y 表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩的个数男孩的个数. .求求X X 的分布律的分布律.

11、 .实例实例2:设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-p,(2) (4, )Ybp实验背景：实验背景：( ),XP20,0.05,np当当( , ),XB n p假设假设那么随机变量那么随机变量 X X 近似近似 的泊松分布，的泊松分布，服从参数为服从参数为二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似3.3.泊松分布泊松分布 kXP定义：假设随机变量定义：假设随机变量 X X 的分布律的分布律 ( ).XPX称称服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, ,记为记为0其中其中 是常数是常数 ,ekk!(0,1,2,)k L其中其中.np泊松分布的图形特点：泊松分布的图

12、形特点：( ).XPl4.4.超几何分布超几何分布(, ).XH N M n数，那么数，那么实验背景：实验背景： kXP定义：假设随机变量定义：假设随机变量 X X 的分布律的分布律X称称,N M n服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, ,( , ).XH N M n记为记为kn kMN MnNC CC(min, )kM n设设N件产品中有件产品中有M件次品，先从中抽取件次品，先从中抽取 n 件件产品，每次取一件，取后不放回，记产品，每次取一件，取后不放回，记 X 为取出的次品为取出的次品5.5.几何分布几何分布 kXP定义：假设随机变量定义：假设随机变量 X X 的分布律的分布律X称称

13、p服从参数为服从参数为的几何分布的几何分布, ,( ).XG p记为记为1(1)kpp(1,2,)k L在一样的条件下对反复实验在一样的条件下对反复实验 E E，假设反复实验结果相，假设反复实验结果相互互实验背景：设随机实验实验背景：设随机实验 E E 只需只需AA和两种能够结果，两种能够结果，相互独立的，相互独立的，( )(01),P App记随机变量记随机变量 X 为事为事件件A A初次发生实验次数，那么初次发生实验次数，那么 X X 服从参数服从参数 p p 的几何的几何分布分布. .(3,1 3)XB(1) X (1) X 的能够取值为的能够取值为0,1,2,30,1,2,3；10P

14、X 3312(0,1,2,3);33kkkP XkCk 例例3:3:设在设在6 6只同类零件中有只同类零件中有2 2只是次品，在其中取只是次品，在其中取3 3次，次，1.1.讨论与常见分布有关概率讨论与常见分布有关概率典型例题分析典型例题分析1P X 每次任取每次任取1 1只，作放回抽样，以只，作放回抽样，以 X X 表示取出的次品数。表示取出的次品数。求求1 1X X 的分布律；的分布律；2 2至少有一件次品的概率至少有一件次品的概率. .【解】【解】(2) (2) 至少有一件次品的事件为至少有一件次品的事件为 X 1 X 1 32191.327 例例4 4：从某大学到火车站途中有：从某大学

15、到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各个假设在各个交通岗能否遇到红灯相互独立交通岗能否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的概率都并且遇到红灯的概率都是是1/3.1/3.【解】【解】 (1) (1)由题意由题意, ,6 , 1 , 0323166kCkXPkkk655)2(XPXPXP729133132316556 C2 2求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率次红灯的概率. .1 1设设 X X 为汽车途中遇到的红灯数为汽车途中遇到的红灯数, ,于是于是,X ,X 的分布律为的分布律为31, 6 BX求求 X X 的分布律的分布律. .例例5 5某经理有某经

16、理有 5 5 个顾问，个顾问， 假定每一位顾问奉献正确假定每一位顾问奉献正确意见的概率为意见的概率为0.60.6。 现为某事可行与否而独立的征求各现为某事可行与否而独立的征求各位顾问的意见，位顾问的意见， 并按多数人并按多数人( (至少至少3 3人人) )的意见作出决策。的意见作出决策。求作出正确决策的概率。求作出正确决策的概率。【解】【解】 设设 X X 为奉献正确意见的人数，为奉献正确意见的人数， 即即多数人为的事件为多数人为的事件为6 . 0, 5 BX3X 3P X 55530.6 0.40.68kkkkC，那么作出正确决策的概率为，那么作出正确决策的概率为211.1 12ppppp2

17、11(1)kkpp例例6 6：某人向同一目的独立反复射击，每次射中的概率：某人向同一目的独立反复射击，每次射中的概率为为 p (0p1),直至射中为止，记直至射中为止，记 X 为射击的次数，求为射击的次数，求 X为偶数的概率为偶数的概率. . kXP1(1)kpp(1,2,)k L( ).XG p由题意可知由题意可知: :【解】【解】即即12 kPP Xk那么那么 X X 为偶数的概率为为偶数的概率为(2,),(3,),XBp YBp由由 X X 的概率分布化简的概率分布化简00220(1)P XC pp40 11,9P XP X 例例7:7:设设2.2.讨论常见分布中参数讨论常见分布中参数5

18、1,9P X 1_.P Y 1.3p 且且那那么么【解】【解】另一方面：另一方面：(3,1 3)YB519P X 得得解得：解得：0033191101(1).27P YP YC pp 所以：所以：，于是，于是 ( ),XP21013XPXPXPXP222221 31 50.3232!eee 【解】由题意知：【解】由题意知：23eee，设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数 X X 服从参数为服从参数为的泊的泊求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。松分布松分布, ,且知一对夫妇有不超越且知一对夫妇有不超越1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e-2.

19、3e-2.例例8 8：2101 3P XP XP Xe即：即：那么任选一对夫妇那么任选一对夫妇,至少有至少有3个孩子的概率个孩子的概率2.解得解得分布函数的概念分布函数的概念分布函数的性质分布函数的性质第四节第四节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 x一、分布函数的概念一、分布函数的概念)(x为为X X 的分布函数。的分布函数。设设X X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义1:1:是恣意实数，那么称函数是恣意实数，那么称函数x)(xXPxF的函数值的函数值上的概率上的概率, ,( )F x,(x分布函数分布函数表示表示 X X 落在落在含义：含义：即即X X 落在阴影部分的概率落在阴

20、影部分的概率. .典型错误：误将分布函数典型错误：误将分布函数F (x) F (x) 值了解为随机变量值了解为随机变量X X 在在x 处的概率。处的概率。二、分布函数的性质二、分布函数的性质 单调不减性：单调不减性：()lim( )0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF x 右延续性：右延续性： ，且，且()lim( )1;xFF x 12xx若 0 x 0时时, (x), (x)的值的值. .规范正态分布的计算公式：规范正态分布的计算公式： 假假设设( , )XN 0 1，那么，那么P XbP XaP aXb( ); b1P Xa P Xb1( ); aP Xa( )(

21、 ). baP aXbP aXbP aXbaXbP bXaPb a 定理：定理： 假假设设),(2NX，那么，那么0,1XYN普通正态分布的计算公式：普通正态分布的计算公式：),(2NX假设假设那么那么P XbP Xa; b1P Xa P Xb1; aP XaXbP210tX t+=例例4:4:设随机变量设随机变量 X X 服从服从1,61,6上的均匀分布，求一元上的均匀分布，求一元二次方程二次方程有实根的概率。有实根的概率。【解】【解】 由于当由于当时时,方程有实根，故所求方程有实根，故所求概率为概率为现实上，现实上，042X042XP)2(2)(XXP2P XP X 2 2XP622.54

22、51)(dxdxxf54典型例题分析典型例题分析1.调查常见分布的概率调查常见分布的概率【解】【解】Y是离散型，是离散型， (5, )Ybp，其中，其中10pP X=如今如今 X 的概率密度为的概率密度为/51/50( )00,xexf xx例例5:5:假设顾客在某银行窗口等待效力的时间假设顾客在某银行窗口等待效力的时间( (单位单位: :分钟分钟) )X 服从参数为服从参数为的指数分布。假设等待时间超越的指数分布。假设等待时间超越1010分钟，那么他分开。假设他一个月内要来银行分钟，那么他分开。假设他一个月内要来银行5 5次次, ,以以 Y Y表示一个月内他没有等到效力而分开窗口的次数，求表

23、示一个月内他没有等到效力而分开窗口的次数，求Y Y的分布律及至少有一次没有等到效力的概率的分布律及至少有一次没有等到效力的概率1 5.1YP.51102105edxeXPpxY的分布律为,)1 ()(5225kkkeeCkYP5 , 1 , 0k5167. 0)1 (101152eYPYP思索题：设思索题：设 X 服从服从U0,3,现对现对 X 进展独立反复观测进展独立反复观测3次，记次，记 Y 为观测值大于为观测值大于1的次数，那么的次数，那么PY 1=_.例例6:.2|10|,13,12)4 ,10(XPXPXPNX和，求设【解】【解】12XPXP 12 12102) 1 (= 0.841

24、3.13XP1310112)5 . 1 (1= 0.0668.1282|10|XPXPXP810101210222) 1() 1 (.6286. 01) 1 (2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头时公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头时机在机在0.010.01以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高X XN (170,62),N (170,62),问问车门高度应如何确定车门高度应如何确定? ? 【解】【解】 设车门高度为设车门高度为h cm,h cm,按设计要求按设计要求即即01. 0 hXP99. 0 hXP)6170(h0.99hXP故故查表得查表得例例7：99. 0

25、)33. 2(33. 26170h.184170633. 2cmh由于分布函数非减由于分布函数非减【解】【解】 由于当由于当时时,方程有实根，故所求方程有实根，故所求概率为概率为现实上，现实上，X 440PX440P X 1 112( ),102. 12.调查常见分布的概率与参数的联络调查常见分布的概率与参数的联络220ttX+=例例8:8:设随机变量设随机变量 X X 服从服从 ，一元二次方程，一元二次方程有实根的概率为有实根的概率为( ,)XN 2,1 2那么那么_. 即得：即得：【解】【解】由于由于P X 1 1P X 1. 随增大而减小现实上，分布函数现实上，分布函数( )x为严厉单调

26、递增函数，那么为严厉单调递增函数，那么1_.P Xm+=例例9:9:设随机变量设随机变量 X X 服从服从 ，那么，那么A( ,)XN 2 随增大而增大；B 随增大而减小；C 随增大而增大；D 随增大而减小；, 13 注： 原则|XPXP .6286. 01) 1 (22|XP同理.9544. 01)2(23|XP.9974. 01)3(2离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布延续型随机变量的函数的分布延续型随机变量的函数的分布第七节第七节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布例例1. X设随机变量设随机变量 的分布律

27、见下表的分布律见下表 , 试求随机变量试求随机变量的可能取值为Y4, 1 , 0 0YP 1YP 4YP解解: 0) 1(2XP2 . 01XP4) 1(2XP1XP1 . 00XP1) 1(2XP2XP7 . 04 . 02 . 01 . 01Xkp0213 . 021 XY的分布律。的分布律。随机变量随机变量 X 的的概率密度函数概率密度函数 fX(x)二、延续型随机变量函数的分布二、延续型随机变量函数的分布随机变量随机变量 Y 的的概率密度函数概率密度函数 fY(y)()Yg X随机变量随机变量 Y 的分布函数的分布函数FY(y)=PYy=Pg(X) y( )( )YYfyFyXeY ）（4, 1 e,1时当 y)(yFY,4时当ey )(yFY解解: : 由题意可知由题意可知的取值范围为的取值范围为yYP0yYP1)(yFYlnyXP)(ln yFX其它,0( )YFy)(yfY41,8lneyyyyYPyePX,14时当ey ,XYe求其它, 040, 8/)(xxxfX例例2 2：的概率密度。的概率密度。 ，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX()Yg X 的密度函数我们要求的是yfXgYY分布函数法解题思绪分布函数法