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1、第七章第七章 非线性方程求根非线性方程求根 /* solutions of nonlinear equations */1 多项式基础多项式基础 /* polynomials */ （自习）（自习）2 二分法二分法 /* bisection method */求求 f (x) = 0 的根的根原理：原理：若若 f ca, b，且，且 f (a) f (b) 0，则，则 f 在在 (a, b) 上必上必有一根。有一根。有根区间的求方程077.418 .381 .11)( 23xxxxfx0123456f(x)的符号-+-+由此可知方程的有根区间为1,2,3,4,5,6,为单根区间假设区间ba)(

2、210bax取其中点, 0)(0 xf若中的根就是,0bax, 0)()(0 xfaf若,0为有根区间则xa011,xbaa令, 0)()(0bfxf若,0为有根区间则bxbbxa101,令长度只有一半就缩小为于是有根区间,11baba),(21,11111baxba的中点继续取可得一系列的小区间和中点, ,221100nnbabababanxxxx,210小区间中点显然每个小区间都有单根)(nnab )(21abn|1nnxx)(211abn可得任意要求的精度确定适当的 ,n)(21nnnbax,2 , 1 , 0n搜索法二分法abx0 x1abwhen to stop?11xxkk 2)(

3、xf 或或不能保证不能保证 x 的精的精度度x* 2xx*误差误差 分析：分析：第第0步产生的步产生的20bax有误差有误差20abx*|x第第 k 步产生的步产生的 xk 有误差有误差12kkabx*|x对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k ：12lnlnln21abkabk简单简单; 对对f (x) 要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可) .无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a, b

4、分为若干小区间，对每一分为若干小区间，对每一个满足个满足 f (ak)f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区的区间调用二分法程序，可找出区间间a, b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。?1021, 1 , 00sin1 4的根需要对分多少次不大于使用二分法求误差内仅有一个根在证明例xx. 1 , 00)(, 1 , 0)(0,sin(1)f(1), 01)0(,sin1)( 内至少有一根在故方程上连续在上且则设解xfxffxxxf. 1 , 0)(, 1 , 0)(,1 , 0, 0cos1)(上有且仅有一个根在因此递减上单调在故又因为xfxfxxxf.14

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