数量积、向量积892

1、8.2 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积1mf2msw cos fs 定义定义设向量设向量, a b的夹角为的夹角为 ,称称 a bcos a b 记作记作ab为为 与与 的的数量积数量积(点积点积) .ba 0,a当当时时ba在在 上上的的投投影影为为cosb记作记作prjab a bprjaab,0,b同同理理当当时时 a bprjbba2. 性质性质 (1) a a2a(2)0,0ab 则则 0 a bab3. 运算律运算律(1) 交换律交换律 a bb a(2) 结

2、合律结合律()ab () a b ()ab () ()ab () ab() a b (3) 分配律分配律 abca cb c 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设, xyzaa ia ja k , xyzbb ibjb k则则 a b () xyza i a j a k () xyzb ibjb kxxyyz za ba ba b 两向量的两向量的夹角公式夹角公式 cos aba b cos a ba b xxyyzza ba ba b222xyzaaa222xyzbbb例例 已知三点已知三点(1,1,1),(2,2,1),(2,1,2),mab求求 amb解解:bma(1,1,0) m

3、a (1,0,1) mb 则则cos amb ma mbma mb 12 amb3 例例设均匀流速为设均匀流速为v的流体流过的流体流过一个面积为一个面积为 a 的平面域的平面域 ,且且v与该平面域的单位垂直向量与该平面域的单位垂直向量n该平面域的流体的质量该平面域的流体的质量p (流体密度为流体密度为 ) 的夹角为的夹角为, 求单位时间内流过求单位时间内流过解解:avn单位时间内流过的体积单位时间内流过的体积acosv p acosv a v n 二、两向量的向量积二、两向量的向量积olpqf力矩向量力矩向量 m :m oq f sin op f 符合右手规则符合右手规则mfopopfm mo

4、p mf 定义定义, a b 设设的的夹夹角角为为 ，向量向量c方向方向 :,ca cb 且符合右手规则且符合右手规则模模 :sin ca b 称称cab为为向向量量与与 的的 , 记作记作cab三角形面积三角形面积abs12 a b 2. 性质性质(1)0aa(2), a b为非零向量为非零向量, 则则0 a b a b 3. 运算律运算律(1)ab b a (2)()abc a c b c (3)()ab ()ab ()ab 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设设, xyzaa ia ja k , xyzbb ib j b k 则则 a b ()yzzya ba bi ()z xx

5、 za ba b j () xyyxa ba bk ijk2221ijk 0i jj kk i 0iijjkk ijk jki kij 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法 a b ()yzzya ba bi ()z xx za ba b j () xyyxa ba bk ,yzxyxzxzyzxyaaaaaabbbbbb xyzxyzijkaaabbb 例例设设, , a b c为为三三个个非非零零向向量量，,36 ab a cb c1,2,3abc求求abc 的的模模解解:cos, a ba ba b1 2 cos02 cos, a ca ca c31 3 cos32 cos, b cb cb c2 3 cos3 36 () ()abcabc a a b b c c 14936 3176 3222a ba cb c abc () ()abcabc176 3例例 已知三点已知三点(1,2,3), (3,4,5), (2,4,7),abc求三角形求三角形 abc 的面积的面积 abc解解:abcs 1sin2 ab ac 1