全国数学邀请赛初一第2试试题及答案

1、第十七届“期望杯 全国数学邀请赛初一第 2 试上午 8： 30 至 10： 30得分 一、挑选题 每道题 4 分，共 40 分 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内 1a 和 b 是满意 ab 0 的有理数，现有四个命题： a2b 24的相反数是2a ；b 24 a-b 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； ab 的相反数是 a 的相反数和 b 的相反数的乘积； ab 的倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积 其中真命题有 a1 个b2个c3个d4个2在下面的图形中，不是正方体的平面绽开图的是3在代数式xy2 中， x 与 y 的值

2、各削减 25，就该代数式的值削减了a50 b75c37d6427 644如 a<b<0<c<d，就以下四个结论中，正确选项(a) a+b+c+d 肯定是正数 bd+c-a-b可能是负数 cd-c-b-a 肯定是正数dc-d-b-a 肯定是正数 5在图 1 中， da=db=d，c就 x 的值是 a10 b20 c30 d40 6已知 a，b，c 都是整数， m=|a+b|+|b-c|+|a-c| ，那么 (a) m肯定是奇数bm肯定是偶数c 仅当 a，b，c 同奇或同偶时， m是偶数 dm 的奇偶性不能确定7三角形三边的长 a，b，c 都是整数，且a ，b，c=60 ，

3、a ，b=4，b ，c=3 注： a ，b，c 表示 a，b，c 的最小公倍数， a ，b 表示 a，b 的最大公约数 ，就 a+b+c 的最小值是 a30 b31c32d338如图 2，矩形 abcd由 3×4个小正方形组成此图中，不是正方形的矩形有a40 个 b38 个 c36 个 d34 个 9设 a 是有理数， 用a 表示不超过 a 的最大整数， 如1.7=1，-1=-1，0=0 ，-1.2=-2 ，就在以下四个结论中，正确选项10 on the number axis，there are two points a and b corresponding to numbers

4、 7 and b respectively ， and the distance between a and b is less than 10 let m=5-2b；then the range of the value of m is英汉词典： numberaxis 数轴； point 点； correspondingto 对应于； respectively分别地； distance距离； 1ess than小于； value 值、数值； range 范畴 二、填空题 每道题 4 分，共 40 分 13图 3 是一个小区的街道图， a、b、c、x、y、z 是道路交叉的 17 个路口，站在任

5、一路口都可以沿直线看到过这个路口的全部街道现要使岗哨们能看到小区的全部街道，那么，最少要设 个岗哨= .16乒乓球竞赛终止后， 将如干个乒乓球发给优胜者取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给其次名；又取余下的一半加半个发给第三名； 再取余下的一半加半个发给第四名；最终取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完这些乒乓球共有 个17有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29， 23，21 和 17 岁，就这四人中最大年龄与最小年龄的差是 岁18初一2 班的同学站成一排， 他们先自左向右从“ 1”开头报数， 然后又自右向左从“ 1”开头报数，结果

6、发觉两次报数时，报“20”的两名同学之间 包括这两名同学 恰有 15 人，就全班同学共有 人的末位数字是 20 assume that a，b ， c ， d are all integers， and four equationsa-2bx=1， b-3cy=1 ，c-4dz=1， w+100=dhavealwayssolutionsx ， y ， z ， wofpositivenumbersrespectively,then the minimum of a is 英汉词典： toassume假设； integer整数；equation方程；solution 方程的 解；positive正

7、的； respectively分别地； minimum最小值 三、解答题 本大题共 3 小题，共 40 分 要求：写出推算过程21 本小题满分 10 分(1) 证明：奇数的平方被8 除余 1(2) 请你进一步证明： 2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和22 本小题满分 15 分如图 4 所示，三角形 abc的面积为 1，e 是 ac的中点， o是 be的中点连结ao，并延长交 bc于 d，连结 co并延长交 ab于 f求四边形 bdof的面积23 本小题满分 15 分老师带着两名同学到离学校33 千米远的博物馆参观老师乘一辆摩托车， 速度为 25 千米小时 这辆摩托车后座可带乘一名同学

8、，带人后速度为 20 千米小时 同学步行的速度为5 千米小时 请你设计一种方案， 使师生三人同时动身后都到达博物馆的时间不超过3 个小时第十七届“期望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准中学一年级第 2 试一、挑选题 每道题 4 分二、填空题 每道题 4 分三、解答题211 设" 为任意整数，就 2n+1 为任意奇数那么因此，奇数的平方被8 除余 15分2 假设 2006 可以表示为 10 个奇数的平方之和，也就是 其中x1 ,x2 ,x3 ,x10 都是奇数 8分等式左边被 8 除余 2，而 2006 被 8 除余 6冲突 .因此， 2006 不能表示为 10 个奇数的平方之和 .10分22设由于 e是 ac的中点， 0 是 be的中点，所以2 分就由得即又由得 即所以15 分23 要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短，可设计方案如下：设同学为甲、乙二人乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶肯定路程后，让甲步 行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆5分设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米，用了x小时，比乙多行了20这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了乙遇到老师