概率论论文-浅谈中心极限定理

1、浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产牛具有一定的客观背景，最常见的是林德们格-莱维中心极限定理 和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布 的随机变量和近似服从正态分布，在实际屮的应用相当广泛。木文讨论了屮心极限定理的内 涵及其在生活实践中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹 射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机 因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量 通常是服从或近似服从正

2、态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统 计z间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到屮心极限定理时，曾非常激动地说这个定理 一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得小心极限定理的重要性。目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设x是独立同分布的随机变量序列，且=>0存在,若记x x/ -y. = /=,则对任意实数y,有, 1limpm y=e（y）=.e 2 dr. "t8-8丁2兀这个屮心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，

3、定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n充分大时，人才近似服从标准正态分布“（0,1）,而当门较小时，此种 近似不能保证。也就是说，在n充分大时，可用"（°）近似计算与益有关事件的概率，而n较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当人 n（°）吋，则有s x,no屮 /=!，巾2）,壬n（“,冬） n现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。 例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数

4、为2二2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年屮售出700辆以上汽车的概率。1 解：设空为第i天出售的汽车的数量，则x&+e+ §365为一年的总销量，由e($)=畑(纟)=2 ,知 e© = 365x2=730利用屮心极限定理得尘(700 -730)p(>700)=l-p(700)1v730- 二卜(一 i. n)=o. 8665在理论中，我们也可用它來解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。 例如，利用中心极限定理证明：lime-"£ =丄态£! 2证明：设'独立同分布

5、且'p(l), k=l, 2.则 a二氏乞)习，=%t由泊松分布的可加性知心1p(n)” ya" 工心pk=k=0 /=!“ £k=o k'彳滋-必0 k=)又由中心极限定理知:p£ (,-i)<ok=如果在林德伯格-勒维屮心极限定理屮，x”服从二项分布，就可以得到以下的定理。 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设n重伯努利试验中，事件a在每次试验中出现的概 y* 二 spp2 dt率为p (0<p<l),记”为n次试验中事件a出现的次数，且记 gq，则对任意lim p(y； s y) = 0(刃=实数y，有“too厂二:s” 一 w

6、ft它表明，n充分大时，wpq分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用该定 理的结论来计算二项分布的概率。棣莫弗-拉普拉斯屮心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有 学生5000人，只有一个开水房。由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现 象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在 傍晚一般有1%的时问要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1) 未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2) 至少要装多少个水龙头，才能以95%以上的概

7、率保证不拥挤？ 2解：(1)设同一时刻,5000个学生中占用水龙头的人数为x,则x 5(5000，°°1)5000、o.o1ao.995000拥挤的概率是:45p = p(§ > 45) = 1 - p (0 % 5 45) = 1 工k=()由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理,n=5000, p二0.01, q二0.99,np = 50,冷npq = 7.04故45-500-50?(0<<45) = 0()一二飒一0.71) 一0(7.1)二0.23897.047.04即拥挤的概率为p(> 45) = 1-0.2389 = 0.7611(2)

8、欲求m,使得p<° - °*95 ,则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知,由于0(0-507.040(m 一 507.04)-0(7.04)=0(_7.09) = 0)>0.950-507.04)> 0.95>1.645查表得7.04 即 m > 61.6故需装62个水龙头，才能以95%以上的概率保证不拥挤。保险与我们的生活息息相关。中心极限定理在保险行业方面也有很大应用。例如，某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人 死亡的概率为0. 002,死亡时其家属可向保险公司领得20万元。问：(1)保险公司亏本的概

9、 率有多大？(2)保险公司一年的利润不少于1010万元，200万元的概率各为多大？ 3分析：首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量x,保险公司亏本的概率为p。因 为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.002,因此比较容易看出，此题中 的x是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把p具体地求出来，但要想求出p(x=k) =2500 |0.002a (0.998)2500a绝非易事，更何况还要算上几个呢？为此我们不k )妨用中心极限定理來求解它。解：设x为一年内死亡的人数,则x3(25000002), np = 5, np(l-p) = 1.99由棣莫弗一拉普拉斯屮心极限泄理知p

10、 (亏本)=p (20x > 300) = p (x >15) = 1p(x< 15) = 10(4.48)v499=1-0. 99993=0. 00007所以，保险公司亏本的概率为0. 00007,儿乎为0。(2) rh棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知in _ 5p(利润>100) = p(300-20x> 100) = p(x 510) = 0(=) = 0.98v499p(利润>200) = p(300一20x >200) = p(x <5)«= 0.5以上结果说明，保险公司儿乎不可能亏本.不过，关键z处是对死亡率的估计必须正确, 如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同。结论屮心极限定理为数理统计在统计学屮的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌 握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够地大，得自未知总体的 样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据, 几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法