桥梁结构地震反应分析PPT课件

1、4.1 引言 位于地震区的公路桥梁，在遭遇地震作用时，结构将发生振动，从而使结构产生随时间变化的位移、速度、加速度、内力和变形等，通称为结构的地震反应。 桥梁结构地震反应的大小，除了与地震地面运动有关外，还与结构自身的动力特性（自振周期与阻尼）有关。 所谓桥梁结构地震反应分析，主要是计算桥梁结构在地震地面运动作用下的内力和变形。第1页/共81页 桥梁抗震设计，首先要解决桥梁结构地震反应的计算问题。地震地面运动作为动态作用，其引起的桥梁结构反应遵循一般的结构动力学原理。但由于地震地面运动有别于一般的动力荷载，地震地面运动作用下桥梁结构的动力反应分析必然有它的特殊之处。 桥梁结构地震反应分析方法可

2、分为解析法和数值法两类。解析法建立在对结构充分简化的基础之上，从目前规定的分析方法来看，普通简支梁桥和拱桥的地震力计算方法仍是基于解析法。第2页/共81页 解析解：一种包含分式、三角函数、指数、对数等基本函数的解的形式。用来求解析解的方法称为解析法analytic techniques、analytic methods。解析法即常见的微积分技巧，如分离变量法等。解析解为一封闭形式closed-form的函数，对任一独立变量，将其带入解析函数可求出精确的相依变量。 数值解：当无法由微积分技巧求出解析解时，只能利用数值分析方式求解。在数值分析过程中，首先将原方程式加以简化，如先将微分符号改为差分符

3、号等；再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解形式。 求解步骤： 将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。求得的相依变量为一个个分离的数值discrete values，不像解析解为一连续的分布，经过上述简化，其精确性不如解析法。第3页/共81页第4页/共81页第5页/共81页4.2 桥梁结构地震反应分析方法简介分析方法的演变过程 自从1899 年日本学者大森房吉首次提出用于抗震设计的静力法以来，桥梁结构地震反应分析方法历经了从静力法到动力的反应谱法和动态时程分析法的演变过程。 依据输入地震动的特点，桥梁结构地震反应分析方法可以分为两大类：确定性方法和随机振动方法。第6页/共81页 确定

4、性方法使用天然地震地面运动记录或人工模拟地震地面运动作为地震动输入，求出结构的反应。确定性方法可进一步分为静力法、反应谱法和动态时程分析法。 随机振动方法把地震视为随机过程，把具有统计性质的地震动作用在结构上，求出结构的反应。 迄今为止，绝大多数国家现行的结构抗震设计规范均采用确定性方法。只有欧洲规范（Eurocode 8）允许使用确定性方法或随机振动方法。第7页/共81页 随机振动：未来任一给定时刻的瞬时值不能预先确定的振动，无法用确定性函数而须用概率统计方法定量描述其运动规律。 如：车辆在高低不平路面上行驶、桥梁/高层建筑在阵风或地震作用下发生的振动就是随机振动。 随机振动的单次试验结果有

5、不确定性、不可预估性和不重复性，但相同条件下的多次试验结果却有内在的统计规律。将每次试验结果都看作一个样本，则它们全体（集合）构成一个随机过程，用以表示随机振动的响应。对一随机过程 ，任意时刻的样本取值是随机的，称随机变量。 用概率统计方法可得到随机过程的各种信息，如用数学期望表示随机变量的平均值；用均方值表示随机变量平方的平均值；用标准差表示随机变量偏离数学期望的程度；用概率密度函数或概率分布函数表示随机变量在不同范围取值的概率等等，从而全面描述随机振动的激励和响应。第8页/共81页静力法一、弹性静力法 日本学者大森房吉在1899 年提出。它假设结构各个部分与地震动具有相同的振动，结构因地震

6、作用引起的惯性力地震力就等于地面运动加速度与结构总质量的乘积；再将地震力视为静力作用在结构上，进行结构线弹性静力分析计算。地震力计算公式：)(txg m)(txmg GkxgGxmFggmaxmax gxkgmax -地震系数将F F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应。第9页/共81页二、Pushover 法塑性倒塌模态分析方法（了解） Pushover 法早在20 世纪60 年代末就已经提出，在近年里得到很大的发展和应用。从严格意义上看，Pushover 法不能算作一种结构地震反应分析的方法，但它提供了一个评估结构地震反应、尤其是非线性地震反应的简单而有效的方法。 Pushover

7、 法能够追踪结构从屈服直到极限状态的整个非弹性变形过程。实际进行的Pushover分析过程，是一种纯粹的非线性静力分析过程，因此它与通常的非线性静力分析在计算方法上没有什么不同。第10页/共81页Pushover 分析与常规非线性静力分析的主要差别：（1）Pushover 分析需要预先假定一个荷载分布模式，而常规的非线性静力分析外加荷载是确定的。（2）Pushover 分析需要预先确定与结构性能目标相对应的位移限值，如屈服位移、倒塌破坏极限位移等，而常规的非线性静力分析无此要求。（3）Pushover 分析最终得到一条Pushover 曲线。对桥梁结构，该曲线通常为墩底剪力与上部结构质量中心处

8、的位移之间的关系曲线，称为能力曲线；分析过程通常还计算总的结构能量耗散及等效弹性刚度，并利用单振型反应谱法计算力效应和位移效应即所谓需求分析，常规的非线性静力分析则无此过程。（4）Pushover 分析进行需求/能力比计算，以评估结构的抗震性能，常规的非线性静力分析无此过程。第11页/共81页Pushover 法的计算步骤如下： 假定一个适当的、沿高度分布的侧向荷载模式； 按荷载增量法进行结构非线性分析，直至结构到达最终位移限值。增量形式的非线性平衡方程可以写成：第12页/共81页 计算等效单自由度系统的等效刚度和等效粘滞阻尼比； 利用反应谱方法计算结构特征力效应和特征位移效应需求分析； 进行

9、需求/能力比计算，评估结构的抗震性能。第13页/共81页反应谱法(同时考虑地面运动和结构的动力特性)一、单振型反应谱法 对可以近似视为单自由度体系的结构，在计算出结构的振动周期之后，其最大地震惯性力就可以利用规范反应谱曲线求出。1940年，美国皮奥特提出。第14页/共81页第15页/共81页第16页/共81页回顾：弹性体系的地震反应分析（引出地震反应谱概念）一、地震作用下单自由度体系的运动方程)(tx)(txgmm)(gxxm kxxc质点位移)()()(txtxtXg质点加速度)()()(txtxtXg 惯性力)()(gxmxmtI 弹性恢复力kxtS)(阻尼力xctR)(gxmkxxcxm

10、 运动方程第17页/共81页 阻尼（damping）：使振动能量随时间或距离逐步耗散/损的因素，如振动系统内部质点间相对运动的阻碍、外部介质摩擦等。 换句话说， 阻尼指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。第18页/共81页二、单自由度体系动力学分析1.1.单自由度体系自由振动（1 1）无阻尼时0kxxm 02xx mk2)sincos()(00txtxtxmcmk2,20kxxcxm 022xxx )sincos()(dd000txxtxetxdt1时（2 2）有阻尼时阻尼比无阻尼圆频率第19页/共81页)(tP)(t

11、x)(tPttt 将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。2.2.单自由度体系受迫振动-冲量法，杜哈美积分求解一个恒力的冲量指的是这个力与其作用时间的乘积。第20页/共81页杜哈美积分 在振动学中著名的杜哈美积分(Duhamels Integral)：对于受迫振动（强迫振动），可以将强迫力时程分解为一系列的脉冲的叠加，如果已知系统在单个脉冲下的响应，并注意到 s 时刻的脉冲只对时间 t s 的响应有影响，那么整个系统在 t 时刻的响应就等于所有t时刻以前的脉冲各自单独作用下的叠加。 用 h(u) 表示系统在单位脉冲作用下 u 时刻的响应。

12、s 时刻的脉冲在系统 t (t s) 时刻产生的影响就等于 h(t-s)，将所有 s (0t) 加起来，得到整个系统在 t 时刻的响应。 对于离散时间，就是相加；对于连续时间，变成积分。m)(tP)(ty)(tPtt)(P第21页/共81页动荷载的位移反应, ,不计阻尼m)(tP)(ty)(tPtt)(PdtmPtyt)(sin)()(0-杜哈美积分d )(sin)()(0)(tDtDtemPty计阻尼时第22页/共81页三、单自由度体系地震作用分析gxmkxxcxm 运动方程mtFxxxe/ )(22 或mcmk2,2其中gexmtF )(ttteFmtx0d)(Edd)(sin)(1)(由

13、Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为tttex0d)(gdd)(sin)(1 max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位移反应第23页/共81页质点相对于地面的速度为tdtgdttdtextexdtdxtx0)(0d)(g)(sin)(d)(cos)()( max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 质点相对于地面的最大速度反应为第24页/共81页xxxxg22 质点的绝对加速度为tttex0d)(gd2d)(sin)( tdtgdttdtextex0)(220d)(g)(sin)(2d)(cos)(2 质点相对于地面的最大加速度反

14、应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 第25页/共81页地震反应谱最大相对速度最大加速度最大反应之间的关系dvaSSS2在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。 单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大相对位移第26页/共81页地震反应谱第27页/共81页max0)(gd)(sin)(1ttdtexS 位移反应谱t

15、)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(s第28页/共81页相对速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 第29页/共81页绝对加速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 第30页/共81页相对位移反应谱, ,记为SDSD绝对加速度反应谱，记为PSA相对速度反应谱，记为PSV地震反应谱的特点1.1.阻尼比对反应谱影响很大。2.2.对于加速度反

16、应谱，当结构周期小 于某个值时幅值随周期急剧增大， 大于某个值时，快速下降。3.3.对于速度反应谱，当结构周期小于某 个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。gal,gal,加速度单位，伽利略，1gal=1cm/s2,1gal=1cm/s2,1g=980gal,g1g=980gal,g为重力加速度第31页/共81页不同场地条件对反应谱的影响 由于诸多随机因素影响，由不同记录得到的加速度反应谱具有很大的随机性。在大量地震加速度记录输入后绘制得到众多反应谱曲线的基础上，再经过平均与光滑化，得到供设计使用的规范反应谱曲线，即平均加速度反应谱。gSa/周期（s)s)

17、岩石坚硬场地厚的无粘性土层软土层结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。第32页/共81页GkFGk-重力荷载代表值-地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）-动力系数( (反映结构的特性, ,如周期、阻尼等的影响) )按静力计算方法计算结构的地震效应第33页/共81页反应谱常表示为动力放大系数形式，动力系数 查表得到max,gPSA 第34页/共81页第35页/共81页2008规范：水平设计加速度反应谱第36页/共81页第37页/共81页第38页/共81页第39页/共81页第40页/共81页第41页/共81页竖向设计加速度反应谱第42页/共81页规则桥梁与非规则桥梁定义第43页/共81页

18、如柱式墩地震力计算第44页/共81页第45页/共81页二、振型分解反应谱法(多自由度弹性体系的地震反应分析) 对不能简化为单自由度系统的复杂结构，可通过振型分解法，化为类似于单自由度系统进行计算。 振型（模态或模态振型）: 结构系统按其某一自振周期振动时的变形模式。 振型是指体系的一种固有的特性。它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。每一阶固有频率都对应一种振型。 第46页/共81页 譬如一个垂直弹簧，上端固定，下端连接一重物，组成一个简单系统。这个重物可以上下振动，可以摇摆振动，还可以绕弹簧轴扭动，这就是该系统的三个基本振型，对应这三个振型有三个固有频率。还可能有其他的振型

19、和对应频率，通过模态分析可以计算出来。 模态分析：指的是对一个系统（也可以是一个部件）振动特性所作的分析，以得到该系统的一系列的振型和对应各个振型的频率，所有的这些频率都叫做固有频率。第47页/共81页 振型与体系实际的振动形态不一定相同。 通过模态分析计算出振型和所对应的频率后，按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。实际结构的振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。第48页/共81页 计算系统的振型和所对应的频率意义： 一个系统本身是不会振起来，但如果有外部的激励（周期性的力，位移，速度和加速度），系统就会发生振动，这就是所谓的强迫振动。 通过振动理论分析可知，

20、如果一个外部激励的方式和频率正好和该系统的某个振型及其所对应的频率一致，那就会发生共振现象。一旦发生了共振现象，那么该系统就会发生非常激烈的振动。在没有阻尼的情况下，发生共振时该系统的振幅会是无限大。而一般情况下系统多少都会有些阻尼，包括材料的内部阻尼，此时系统的振幅不会无限大，但也是非常大，这是不允许的，因为这个系统可能很快会破坏，或者发出极大的噪音。计算系统的振型和所对应的频率，可以大致评估一下该系统的抗振刚度。第49页/共81页 理论上讲，有限元系统有多少个自由度，就有多少个振型。但通常忽略高阶振型（3000 Hz-6000 Hz，视具体情况而定）。因为高阶振型在有系统阻尼作用下，影响不

21、大。模态分析时，给一个频率上限(或者所要计算频率的个数)。大于该频率上限的振型，不用计算。 在给定的频率范围内，振型越少越好。振型少，发生共振的可能性小。一阶频率越高越好，这也是为了避免共振。第50页/共81页前八阶模态分别为纵向、竖向、竖向、扭转、扭转、竖向、侧向加扭转以及竖向方向的振动。大跨斜拉桥作为一种具有较高柔性的结构形式，模态分布较为密集，如频率小于1的模态共有17阶。 第51页/共81页 在一般的有限元分析中，由于系统的自由度很多，同时在研究系统的响应时，往往只需要了解少数较低的特征值及相应的特征向量，因此在有限元分析中，发展了一些适应上述特点而效率较高的解法（子空间迭代法）。 m

22、idas Civil中除了提供精确的特征向量法分析外，还提供了与荷载相关的Ritz向量分析法。多重Ritz向量能用于线性和非线性结构的动力分析。与精确特征向量法相比，多重Ritz向量法用更少的时间可产生更精确的结果。第52页/共81页第53页/共81页1. 子空间迭代法 子空间迭代法是求解大型矩阵特征值问题的最常用最有效的方法之一，它适合于求解部分特征值解，被广泛应用于结构动力学的有限元分析中。 子空间迭代法是假设r个起始向量（采用移频法，通过特征值的移动和已收敛的特征向量的移出，使r保持在较小的数值，从而显著提高计算效率和改进收敛速度），同时进行迭代（通过求解减缩广义特征值问题）以求得矩阵的

23、前p（r）个特征值和特征向量。（如果r不是足够大，一方面可能漏掉可能激起的振型；另一方面又可能引入不可能激起的振型）。第54页/共81页2. Lanczos方法 Lanczos方法和Ritz向量法的共同特点是直接生成一组Lanczos向量或者Ritz向量，对运动方程进行缩减，然后求解缩减了的运动方程的特征值问题，避免了迭代步骤（采用直接叠加法），从而具有更高的计算效率。 Lanczos法和Ritz向量法本质上一致，但是在实际计算中，由于计算机的截断误差和舍入误差，导致数值上的不稳定性（例如虚假的多重特征值现象），因此妨碍了Lanczos方法的实际应用。 20世纪70年代以后，很多研究工作者提出

24、了不少Lanczos向量的重正交技术以调高其算法的稳定性，Ritz向量法从这个意义上说可以是这种，但由于他改变了成Lanczos向量的算法公式，导致以后求解的不是对角矩阵的特征值问题，而是一般矩阵特征值问题。 第55页/共81页3. 多重Ritz向量法（求解的是一般矩阵特征值问题） 多重Ritz向量法认可结构动态响应是空间荷载分布的函数，考虑动力荷载的空间分布（当定义了初始向量后，第一个向量块的静态响应就来源于该初始荷载向量），可以避免漏掉可能激起的振型和引入不可能激起的振型，能够显著提高计算效率。 在计算结构动力响应时，用相同数目的振型进行叠加，Ritz向量直接叠加法可以有比子空间迭代法更高

25、的精度，这是由于后者包含了实际不被激起的振型。 子空间迭代法求出结构的前r阶振型，而Ritz向量直接叠加法求出的是和激发荷载向量直接相关的振型。 第56页/共81页 因此用振型分解反应谱法和振型叠加法进行结构动力分析时，一般建议采用Ritz向量法进行结构的振型分析。程序允许在三个自由方向的加速度、静力荷载工况和内嵌非线性连接荷载中选择初始向量，可以指定任意数量的初始向量。 对于非线性连接荷载，当模型中有非线性连接单元时，该项自动选择为非线性连接的单元数量。如果没有非线性连接单元，则该项为0。如果没有非线性连接单元，各非线性连接的初始荷载工况包含的初始向量数量的数值将不发生作用。第57页/共81

26、页4. 子空间迭代法、Lanczos法和多重Ritz向量法算例比较第58页/共81页由图可以清楚的发现：多重Ritz向量法和另外2种分析方法得到的振型图是大不相同的。通过模态查看，可以发现多重Ritz向量法所有振型都是对称的（荷载作用是对称的），因为它考虑了空间荷载分布状态及动力贡献，所以他忽略了所有反对称振型 。对于反对称振型，并不是由荷载激发的，荷载在这些振型的动力贡献为零。第59页/共81页一) ) 多自由度弹性体系动力分析回顾自由振动分析 0ykym 运动方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 设方程的特解为)sin()sin(2211tXytXy0121212

27、111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-频率方程-振型方程第60页/共81页二).).振型分解法( (不计阻尼) )运动方程 )()()(tPtyktym 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设 NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj )() )() )(11tPtDXktDXmNiiiNiii )() )() )(11tPXtDXkXtDXmXTjNiiiTjNiiiTj )()()(tPXtDXkXtDXmXTjjjTjjjTj )

28、()()(*tPtDKtDMjjjjj 代入运动方程，得方程两端左乘 TjX第61页/共81页)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系 jjjXmXk2 jTjjjTjXmXXkX2*2/jjjMK),2, 1(Nj)()()(*tPtDKtDMjjjjj jTjjXmXM*-j-j振型广义质量-j-j振型广义荷载 jTjjXkXK * )(*tPXPTjj-j-j振型广义刚度*)()()(jjjjjjMtPtDMKtD *)()()(jjjjjMtPtDtD 第62页/共81页计算步骤: :2.2.求广义质量、广义荷载; ;3.3.求组合系数; ;4.4.按下式求位移： NiiitDXty

29、1)()(1.1.求振型、频率： njXjj,2, 1, jTjjXmXM* )(*tPXPTjj),2, 1(nj*)()()(jjjjjMtPtDtD ),2, 1(nj)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系第63页/共81页三).).振型分解法( (计阻尼) )阻尼力 )(tycfD1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf NNNNNNcccccccccc212222111211-阻尼矩阵ijc-当质点j j有单位速度 , ,其余质点速度为0 0时, , 质点i i上的阻尼力. .)1(jy 若下式成立 jiCjiXcXjjTi*0则

30、将 称作正交阻尼矩阵, , 称作振型j j的广义阻尼系数. . c*jc第64页/共81页运动方程 Pykycym 设 NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj)()()()(*tPtDKtDCtDMjjjjjjj 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf令*2jjjjMC*/)()()(2)(jjjjjjjjMtPtDtDtD j-第j j振型阻尼比( (由试验确定).).计算步骤: : 1.1.求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载; ;4.4.求组合系数; ;5.5.求位移; ; NiiitDXty1)()(3.3.确定振型

31、阻尼比; ;第65页/共81页四).).正交阻尼矩阵的构成 kamac10其中，a 0 、 a1由试验确定。通过实测获得两个振型阻尼比 和 。ji iTiiTiiTiXkXaXmXaXcX10*1*0*iiiKaMac*2iiiiMc)(21210iiiaa同理)(21210jjjaa-瑞利阻尼矩阵第66页/共81页五) )、计算水平地震作用的振型分解反应谱法Ni, 2 , 1作用于i i质点上的力有m1m2mimNxixg(t)im)(giixxm )(tSi)(tRi）giiixxmI (惯性力弹性恢复力niniiixkxkxkS2211阻尼力niniiixcxcxcR2211运动方程gi

32、injijnjiijiixmxkxcxm 11 )(txImxkxcxmg 第67页/共81页设 NiiitDXtx1)()( )() )()() )(111txImtDXktDXctDXmgNiiiNiiiNiii )() )() )() )(111txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjNiiiTjNiiiTjNiiiTj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj 代入运动方程，得方程两端左乘 TjX )(txImxkxcxmg 第68页/共81页 )()()(*txImXtDKDCtDMgTjjjjjjj *2*jjjMK*2jjjjMC )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjjj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj jTjjXmXM*-j-j振型广义质量-j-j振型广义阻尼系数 jTjjXkXK * jTjjXcXC *-j-j振型广义刚度 )()()(*txMIMXtDMKDMCtDgjTjjjjjjjj 第69页/共81页 )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjj