静电场方程PPT课件

1、2.10 电介质中的静电场一一. . 电介质的极化电介质的极化 1 1、定义、定义 电介质放入电场中时，它也要受到电场的作用，其分子或原子内的正负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成了一个个小电偶极子，这种现象称之为电介质的极化。 图225 电子极化 电子云中心 电子云中心 原子核 原子核 E 0E 2 2、极化的形式、极化的形式 polarizationpolarization电子极化 electronic离子极化 ionic取向极化 orientation空间电荷极化 space charge极性分子非极性分子第1页/共53页3 3、极化强度矢量、极化强度矢量定义式pzyx

2、P),(单位：库仑/米2(C/m2) 物理意义：电介质某点上单位体积中的电偶极矩的矢量和。 R dP ),(zyxM ),.(zyxO 图226 极化电介质的电位 3300()144PdRRdUPdRR 011()4PdR dRPU)1(410体积元 内的电偶极子群产生的电位 d3)1(RRR整块极化电介质产生的电位 极化电介质中的附加电位附加电位第2页/共53页利用矢量恒等式 RPRPRP)()1(0011()44PPUddRR 001144sP nPdsdRR 等效极化电荷PpPnps附加电位表示为极化电荷体密度极化电荷面密度 束缚电荷体密度 束缚电荷面密度 极化电荷与自由电荷的区别：a.

3、 极化电荷只是对电介质极化场效应的一种等效。 b. 电介质中某点上有 ，并不说明该点一定有宏观净电荷存在， 而只是表明该处分子电偶极矩对外界点的场位贡献与存在等量自由电荷时的作用相同。 0p第3页/共53页 二二. . 电介质中静电场的基本定律电介质中静电场的基本定律 介质真空中的极化电荷1、高斯定律、高斯定律sQsdE0spQQsdE0真空中高斯定律 则介质中 若闭合面 S 完全落在一种电介质 spdsdE)(0介质场问题真实存在的自由电荷等效的极化电荷真空场问题真空电介质中的电位移矢量第4页/共53页pE)(0微分形式应用散度定理得积分形式0DEP引入电位移矢量介电常数dsdDs D0(1

4、)eDEE001er 介电常数（电容率）1re 相对介电常数（相对电容率）0ePE 在弱电场情况下称为电极化率e所以电介质中静电场第一基本定律 p. 77 几种常见电介质的介电常数思考一下如何测量？第5页/共53页2、环路定律、环路定律 电介质的实际电场可视为分布电荷与极化电荷在真空中共同激励的结果 。0PPUE dlUEll dE00E所以电介质中静电场第二基本定律 引入电位函数 3、关于电介质中基本定律的几点说明、关于电介质中基本定律的几点说明微分形式只能用在电场和介质参数连续 的点上； 积分形式则可以用在包括介质分界面在内的任意区域。 介质中的基本方程与真空中的基本方程有完全相同的形式区

5、别在于 ，介质中的极化效应已包含在中。DE第6页/共53页求解均匀无限电介质 问题，只要将真空中所有静电场公式中 U202 UdRU41dRRE341微分方程内的分布体电荷在均匀无限电介质空间产生的电位和电场 对于分区均匀介质和非均匀介质的问题，除了两组基本方程依然与真空场基本方程有相同形式外，其余的导出公式可能不再相同。 0非均匀介质，拉普拉斯方程和泊松方程不再成立分区介质，需要求解边界值问题P100 习题28p. 78-79 特殊情况的3种求解方法第7页/共53页ab0r1 2 例2.13 无限长圆柱同轴线内、外导体单位长度所带电荷是Q和Q 求：（1）此同轴线内外导体间电压 （2）两介质分

6、界面 处的极化电荷面密度。 解：（1）求电压以同轴线轴线为z轴建立柱坐标系求电场强度rQD2利用高斯定律101()2QErarrr 202()2QErrrbr 在两种不同介质中内外导体之间的电压为)ln1ln1(202012100rbarQdrEdrEl dEUbrraba第8页/共53页（2）求分界面上的极化电荷面密度nEnPrps) 1(0011110121 ) 1(rQrrErrrps022120221) ( ) 1(rQrrErrrps1122211021rrrrpspspsrQ112120rrrQ利用极化电荷面密度为 极化电荷面密度为 0rr rn 分界面内侧的介质1表面上， 分界面

7、上的总极化电荷面密度为以上两者的代数和，即 0rr rn分界面外侧的介质2表面上，第9页/共53页例2.14 讨论电介质内一点上极化电荷体密度与分布电荷体密度的关系 解： 将 代入高斯定律的微分形式，得 PED0)(0PE)(rEPPpED D1()()prrrDDPD 对于均匀电介质， 是常数，故结果的第二项为零，得rrrrrp11整理得 根据 和可得 讨论：11()rrrD第10页/共53页表明表明：均匀电介质中的极化体电荷总是与分布体电荷共存的，并且由于一般有 ，所以一点上的极化体电荷密度总是与该点的分布体电荷密度符号相反。 1r对于非均匀电介质， 是坐标的函数， 可以不等于零 )/1

8、(rr表明表明：在没有分布电荷的点上，仍然可能存在极化电荷。即，当 时，仍有01()0prD 1()()prrrDDPD 11()rrrD第11页/共53页三三. . 电介质分界面上的边界条件电介质分界面上的边界条件 212D1Dn0h Snn介质特性突变场突变边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。规定界面的法线单位矢量是由2区指向1 区由高斯定律得当 时，侧面通量0侧0h 当 时，闭合面内 ， 所以0h SsQs12 ()SnDD12nnSDD1、 的边界条件的边界条件DQsnDsnD21的边界条件D标量形式说明：电通量密度法向分量在分界面上的不连续量等于界面上的分布电荷面密度 静电场第一基

9、本方程（积分形式）第12页/共53页如果界面上没有自由面电荷，则边界条件变为 nnDD21讨论讨论：此时电通量密度的法向分量在界面上是连续的。 若 根据 ，并且0sDEnn12nnEE21电场强度法向分量的不连续是由界面上的极化面电荷引起的。则有第13页/共53页 212E n1E2、 的边界条件的边界条件E0h labcd作一狭长的矩形回路abcd， 设ab = cd = l ，bc = da = h021lElEl dEttl021ttEE0)(21EEn说明：电场强度的切向分量在分界面上是连续的。 当 时，由环路定理得0h 回路的绕向指向纸面外所以可以得到电场强度的边界条件标量形式静电场

10、第二基本方程（积分形式）第14页/共53页 212E n1E213、 的方向与的方向与的关系的关系E 2121tantanDE11221122sinsincoscosEEDD1212()0 ()0nEEn DD 若界面上不存在面分布电荷 ，则有写成标量形式将上面两式相除，并利用关系可以得到第15页/共53页4、电位边界条件、电位边界条件tnUEtUEn UUEUtntn tnEEtE n12nnSDD120ttEE1122nnSEE12UUtt1212SUUnn 120特别的，当 时，1212UUnn0S根据电位移矢量的边界条件根据电场强度的边界条件第16页/共53页 2041022E n1E

11、例2.15 两种电介质以xy平面为分界面，分界面上带有的面电荷203C/ms113tyEE213yyEE)V/m(493222zyEzEyEzyzn 解： 在本题中，分界面的法矢为所以有 根据边界条件得 2 区的电场强度矢量为 136(V/m)Eyz已知第1种电介质中求第2 种电介质中电场强度。2109zzsDD11011012nzrzDDE 220294zzrDE 第17页/共53页2.11 静电场中的导体 一一. . 导体的静电平衡和边界条件导体的静电平衡和边界条件 1、静电平衡、静电平衡导体内部电场恒等于零导体内部没有净电荷0inE0in定义：在静电场中，处于稳定状态的导体内部是不存在电

12、流的，这表明导体内没有电场，称此时导体处于静电平衡静电平衡状态。 特征：静电感应：外电场使导体内部电荷趋于表面的现象。 感应电荷： 感应电荷属于自由电荷，或者说是一种分布电荷，它与电介质中受束缚的极化电荷是不同的。 第18页/共53页2、边界条件 Sn D0nE将导体看作是一种特殊的电介质，设2区为导体，1 区为真空或电介质，则有12 ()Sn DD导体外部电通量密度的模值等于电荷面密度 12()0nEE导体外部电场强度与导体表面垂直电位的边界条件a、导体是等电位体，导体表面是等电位面CUsb、外部电位的法向变化率与表面电荷分布以及外部介质的介电常数有关sUn 第19页/共53页 图231 孤

13、立带电导体电荷分布的验证 图232 尖端放电示意图 3、两点说明、两点说明静电平衡时导体内部的电场恒等于零，并不是说场源电荷在导体内不产生电场，而只是所有电荷在导体内部产生的电场相互抵销，其矢量和为零。导体表面上的电荷面密度与导体外侧的电通量密度模值相等，并不等于该点电场只是由该点电荷产生的，这种等量关系也是空间所有电荷共同作用的结果。4、尖端放电、尖端放电第20页/共53页srps) 11() 1()() (0rrerrpsDnEnPnsrrrsps) 11() 1(1r所以 与 符号相反，极化面电荷起着削弱外侧电场的作用。pss例2.16 试证明在导体与电介质分界面的一点上，极化电荷面密度

14、与分布电荷面密度满足如下关系 n 证明：在分界面上，若设导体表面的法矢为 由此得 根据导体边界条件得 对一般电介质有n 则电介质表面的法矢为第21页/共53页例2.17 一面积为S的金属平板A带电Q，在其旁放置一块同面积的不带电金属板B。求 ： (1)静电平衡时，电荷分布及电场分布。 (2)若第二块板接地？忽略边缘效应。根据高斯定律由电场叠加原理0222204030201ssssPE 3E 1E 2E 1s 4s 3s 2s 图233 平行导体板的电场 1区 2区 3区 A B 解：(1)设四个面上电荷面度为1s2s3s4s由已知条件sQss21043sssssdDsss320032ss 二二

15、. . 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算 第22页/共53页联立中的四个方程求解，得1243,22ssssQQSS 根据导体的边界条件 ， 可以求得1、2、3区的电场分布nEs0 xsQEExsQE2,203201根据（1）得 ， ，sQss21032ss0321ssssQsQsss321,0联立求解上面三式，得到 （2）B板接地时04sB板右侧电荷被排斥到无穷远，所以12300,0QEExES相应的电场分布为第23页/共53页 1Q 图234 带电导体球壳的电场与电位 rE U Q o r a b c a b c E,U 例2.18 一个半径为a的金属球带电荷Q1

16、，在它外面有一个同心的金属球壳B，其内、外半径分别为b和c，带有电荷Q，如图所示。求：（1）任意点电场电位，内外球壳间电位差。 （2）如果用导线将内球和球壳连接一下，结果又将如何 ？解：（1）根据对称性，建立球坐标系由静电平衡得 ， 时ar crb0E 求电荷分布 假定球壳内外表面上带有电荷Q2 Q3则QQQ32在球壳内作高斯面，利用高斯定律得021 QQ可以求得12QQ13QQQ第24页/共53页求电场强度利用高斯定律得 )(4)(420122011crrrQQEbrarrQEbracbrdrEdrEU211cQQbrQ01014114)(cr rQQdrEUr01224区域的电位为 区域的

17、电位为 )(114011baQdrEUbaAB内球与球壳间的电位差 求电位第25页/共53页（2）将A球B球用导线连接后，r = b 面上的电荷-Q将流向内球A，使A球和B球壳内表面都不带电，外表面带电荷Q1+Q2，问题变为一个均匀带电球面的问题求电场强度0rc10E rc12204QQErr1104QQUc 0rcrc1204QQUr 求电位0ABU内球与球壳间的电位差 第26页/共53页三三. . 静电屏蔽静电屏蔽 1. 导体壳内空间的电场 壳内空间无分布电荷 0,011sE 壳内空间电场恒等于零，壳内壁上的表面电荷密度亦恒等于零 壳内空间有电荷 壳内电场及内表面电荷的分布，只取决于壳内带

18、电体的电荷分布及内壁的形状，而与壳外的电场、电荷及外壁形状无关。 总结：无论封闭导体壳的内部有无电荷，壳外的电荷与电场均对壳内空间的电场无影响 A 0E B 图235 导体壳的静电屏蔽 第27页/共53页2. 导体壳外的电场 壳外空间无分布电荷 壳外空间有分布电荷 a.导体壳不接地 b.导体壳与地相连接 壳外无任何电荷，故壳外的电场为零 壳外的电场仅决定于壳内电量q和壳外表面的形状。 a.导体壳不接地 b.导体壳与地相连接 壳外电场由壳外电荷分布，壳外表面形状和壳内的电荷总量q共同决定。 导体壳外表面感应电荷的多少和分布决定于外部电荷的分布及外表面的形状，而与壳内情况无关。 第28页/共53页

19、一一. . 电场能量电场能量 来源：场源电荷系统建立过程中的功能转换。 2.12 电场能量与静电力电场能量与静电力seAW 不涉及热损耗和辐射损耗等因素，外源所做的这部分功应全部转化为该电场所具有的能量而贮存的电场空间内。 根据能量守恒定律，可得 电场能量为场源电荷系统建立过程中外源克服库仑力做电场能量为场源电荷系统建立过程中外源克服库仑力做的总功。的总功。 电场能量仅由其场源电荷系统的最终电荷分布决定，而与电荷系统的建立过程和方式无关。 因此，在计算电场能量时，可以根据方便和需要来任意假设电荷系统的建立过程。 第29页/共53页1、电荷连续分布系统、电荷连续分布系统假设电荷系统建立过程中，区

20、域内各点的电荷密度是从零开始同步增长的，即： 0( )( )( )trkrr01k 设系统最终电荷分布是 ，简记 r系统最终电位分布是 ，简记 U rU根据电位与电荷密度的线性关系，可知在 t 时刻( )( )tU rkU r在电荷密度由 增加到 的小过程t的时间内，外源对内某体积元所做的功可以表示为 k)(kdk )()(UdkdkkUdkdkdkUQQtttt第30页/共53页那么在 过程中，外源对区域 所做的功为 k)(kdk SdAkdkUdUdUdkdkAs2110UdWe21电荷密度从零增长到终值的系统建立全过程，就是k 从 0 变到 1 的过程，此过程外源所做的总功为根据能量守恒

21、定律，外源所做的功全部转化为该电荷系统的电场能 所以电场能量为第31页/共53页iiNiissNiieUQdsUWii1121212、电荷分布在、电荷分布在N个导体上的离散系统个导体上的离散系统Ui 是第 i 个导体的电位；其中 Si 表示第i 个导体表面；电场能量 Qi 是第 i 个导体表面上的电荷量。 将Ui 写成自电位和互电位的叠加NijjijiiiUUU1于是静电能可以表示为NiNijjijiNiiiieUQUQW1112121自能互能自能自能总是正值。互能互能可以是正值或负值，取决于系统建立过程中各导体间的库仑力是排斥或吸引。 第32页/共53页3、电荷分布在、电荷分布在N个点电荷上

22、的离散系统个点电荷上的离散系统NiNijjijiNiiiieUQUQW1112121自能互能NiNijjijieUQW1121无穷大（Uii为无穷大） 将互能部分定义为系统的电场能量其中Qi 是第 i 个点电荷的电量，Uij是第 j 个点电荷在第 i 个点电荷所在的点处产生的电位。第33页/共53页4、用电场强度表示电场能量、用电场强度表示电场能量 电场能量不只贮存在电荷所在的区域内。从电场的物质性观点来讲，电场能量应该存在于所有电场空间内。 DUUDDU)(dUDDUWe)(21dEDsdDUs2121 第二项表示贮存在体积内的能量，而第一项则代表区域以外的能量，它由S面上的场位值计算。 S

23、为电荷区域的表面 将 代入DUdWe21再利用关系式可得11()22UD dD Ed第34页/共53页12sUD dS考察第一项假定电荷系统不变，即不变；将积分域扩展到无穷大，即 S 由于增加的区域内 = 0，所以积分结果不变 dEdEDWe22121求解无穷大 S 面上的问题时，电荷区域视为点电荷RU121RD 而2SR102sUD dS所以 时R 因此为电场不为零的所有区域 电场能量密度：22121EEDwe单位：J / m3第35页/共53页例2.20 计算电荷体密度为0的均匀球形区域电荷系统的电场能量。已知球的半径为a，球内外均为真空。 解：方法1：利用UdWe21建立球坐标系求电场强

24、度2003200334201344rarrarrQrErarQU003013400200320234344rrrrrrQrEr0020022003001226233radrradrrdrEdrEUaaraar 由电场强度求电位ra0rara0ra第36页/共53页利用 U 和求电场能量2222500000000411()4222615aearWUdr dra方法2：利用212eWE d322220000200011() 4() 42323aarar drr drr25252500000022445915aaa 2012eWE d第37页/共53页 图236 导体外侧的电场 ds E21 E E

25、21 E s S 二二. . 静电力静电力 1. 利用库仑定律利用库仑定律sdsnsdEdsEdQFds设带电导体上的电荷面密度为在导体表面上任取一个矢量面元此电荷元受到的电场力为 导体表面外侧dQ处的总电通量密度outSDn在dQ处，由dQ产生的电通量是inS12Dn 等于除dQ 外的其他电荷在dQ处产生的电场强度E求除dQ外其余电荷产生的电通量密度2D第38页/共53页则根据静电平衡的条件，有导体内导体外in1in2in0DDDout1out2outSDDDn2in2outS12DDn所以2S12Dn求电场ES2/2EDn dQ受到的电场力2S2dFdQEds n整个导体受到的电场力212

26、ssFnds22sFE nds若已知量是导体外侧的实际电场，则整个导体受到的电场力为第39页/共53页 n S z x S h F Q Q 图237 平行带电导体板的受力 例2.21 有一对面积为S 的平行导体电极板，其相对的表面上分别带有电量为Q 和Q 的均匀分布面电荷，两极板的距离h远小于极板尺寸，中间填充电容率为的电介质。求：上极板所受的作用力。 2211()22( )ssQFndsz SS22QzS 解：对于上极板znSQs/zn于是上极板受力为式中的负号表示上极板受到向下的作用力。用同样的方法可以求出下极板受力，它与上极板受力等值反向，两极板相互吸引。第40页/共53页2. 虚位移法

27、 在没有能量损耗的情况下，外源向系统提供的能量dWs应该等于带电体在所求电场力的作用下位移而作的机械功dA与系统电场能量的增量dWe之和。esdWdAdW 图238 带电导体的受力 lFFF Fdl F讨论带电多导体系统中的导体受力 dlFdAl假定导体在 作用下移动了 （虚位移）lFdl问题：问题：求导体在给定的方向上 所受的电场力 llF机械功（虚功）为dldWdldWFesl则电场力表示为第41页/共53页假设在虚位移过程中，各导体所带的电荷量始终保持不变电荷量始终保持不变。 外源向系统提供能量的实质就是向各导体上输送电荷constQeldldWF电场力假设在虚位移过程中，各导体的电位始

28、终保持不变电位始终保持不变。 要使各导体的电位不变，则必须使各导体上的电荷发生变化。这相当于每个导体上连接着一个电压恒定的电源。 虚位移过程中各电源所做的总功为 NiiisdQUdW1constUeldldWFNiiiedQUdW121电位不变而电荷增加，则电场能增量为 电场力所以 U = const dWS = 0常电荷系统常电荷系统常电位系统常电位系统第42页/共53页重解重解 例例2.21 系统电场能 22221)(2121QShShSQEWeSQhEhU221UhSWeSQQSzdzdFhzconstQz2)21(222221()22zU constz hdSUFUSdzzh 两极板间

29、的电位差令下极板为零电位，则 利用虚位移法计算具体问题时，选择哪个公式完全取决于解题方便，而不必考虑导体上是否接有电源或者已知条件是导体上的电位还是电荷。 222USh U = constQ = const用两种方法求解：第43页/共53页图239 带电导体的转矩n F d 3、静电转矩、静电转矩dTrdFdWn假设导体在所求转矩 Tn 的作用下绕轴产生一个虚旋转，如图所示。则电场力所做的机械功（虚功）为 U = constQ = constenU constdWTdenQ constdWTd 由此可以得到以下两个计算公式：第44页/共53页图240 两电极间介质片受力 x o h b z y

30、 l x 4、介质的受力、介质的受力例2.22 一对平行导体板电极的宽度b，长为 l，极间距离为 h 。其长度等于 x(0 xl)的部分填充了电容率为 的电介质，当两极板间的电压为V0时，求电介质片的受力。 0rbhxlhVxbhhVWe)()(21)(2120020) 1(21)(21)(2102020020rconstUexVhbbhhVbhhVWdxdF由对称性可知，介质片只可能受 方向的力 x解： 忽略边缘效应，极板间电场能为 对一般电介质有 ，此时电介质片受到被拉进电极中心的电场力。r1第45页/共53页2.13 电容电容一一. . 电容与电容器电容与电容器 1、电容器：电容器：由电介质或真空隔开的一对导体电极。2、电容：、电容：一个电容器所带的电量Q总是与极板电压V成正比，其比值叫做该电容器的电容，记作C VQC 单位是（C/V），称为法拉（F） 常用单位