带电粒子在组合复合场中的运动

1、考向一带电粒子在组合复合场中的运动【典例1】 (2013·安徽卷，23)如图372所示的平面直角坐标系xOy，在第象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第象限，且速度与y轴负方向成45 °角，不计粒子所受的重力求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内

2、磁场的磁感应强度B的最小值解析(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有xv0t2h，yat2h，qEma，联立以上各式可得E.(2)粒子到达a点时沿负y方向的分速度vyatv0.所以vv0，方向指向第象限与x轴正方向成45 °角(3)粒子在磁场中运动时，有qvBm当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有rL，所以B.答案(1)(2)v0方向指向第象限与x轴正方向成45 °角(3)1带电粒子在组合场中运动时，“场区切换”常常导致粒子轨迹形状、弯曲方向等发生改变这种组合场主要有两种，以带负电粒子为例，具体分析如下：类型异向有界磁场组成的组合场同向有界磁场组成的组合场

3、图象几何特点粒子在两个区域的圆心连线通过粒子轨迹与边界的交点A小圆的圆心在大圆的一条半径上，解题时一定要抓住这一几何特点，同时建立相应的几何关系2解决带电粒子在组合场中运动问题的思路方法【预测1】 如图373所示，在坐标系y轴左右两侧分别有宽度L0.2 m理想的匀强磁场与匀强电场，已知磁感应强度B2×103 T，方向垂直纸面向里；电场强度E40 V/m，方向竖直向上一个带电粒子电荷量q3.2×1019 C，质量m6.4×1027 kg，以v4×104 m/s的速度从x轴的P点(0.2 m,0)与x轴成30°角垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入电场

4、，最后从电场右边界射出求：(不考虑带电粒子的重力)图373(1)带电粒子从进入磁场到射出电场的运动时间t.(2)带电粒子飞出电场时的动能解析(1)带电粒子的运动轨迹如图所示，则带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有：Bqvm，解得：r0.4 m则圆心角为30°，飞行时间t15.2×106 s由几何关系知，粒子垂直y轴射入电场，则在电场中飞行时间t2 s5×106 s.带电粒子从进入磁场到射出电场的运动时间tt1t21.02×105 s.(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，其运动的加速度为：a2×109 m/s2竖直方向的位移为：yat0.0

5、25 m带电粒子飞出电场时的动能为：EkEqymv25.44×1018 J.答案(1)1.02×105 s(2)5.44×1018 J【预测2】 如图374所示的空间分布为、三个区域，各边界面相互平行，区域存在电场强度E1.0×104 V/m的匀强电场，方向垂直于边界面向右、区域存在匀强磁场，磁场的方向分别为垂直于纸面向外和垂直于纸面向里，磁感应强度分别为B12.0 T、B24.0 T三个区域宽度分别为d15.0 m、d2d36.25 m，一质量为m1.0×108 kg、电荷量为q1.6×106 C的带正电粒子从O点由静止释放，粒子的

6、重力忽略不计图374(1)求粒子离开区域时的速度大小v.(2)求粒子在区域内运动的时间t.(3)求粒子离开区域时速度方向与边界面的夹角.(4)若d1、d2的宽度不变且d2d3，要使粒子不能从区域飞出磁场，则d3的宽度至少为多大？解析图甲(1)粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理有qEd1mv20，解得v4.0×103 m/s.(2)粒子运动轨迹如图甲，设粒子在磁场B1中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得qvB1，代入数据解得r12.5 m，设在区域内粒子做圆周运动的圆心角为，则sin ，所以30°图乙粒子在区域内运动的周期T，粒子在区域内运动的时间tT，解得t

7、s1.6×103 s.(3)设粒子在区域内做圆周运动的轨道半径为R，则qvB2，解得R6.25 m，在图甲中由几何关系可知MO2P为等边三角形，所以粒子离开区域时速度与边界面的夹角60°.(4)要使粒子不能从区域飞出磁场，由图乙可知区域磁场的宽度至少为d3RRcos 60°1.5R9.375 m.答案(1)4.0×103 m/s(2)1.6×103 s(3)60°(4)9.375 m考向二带电粒子在叠加复合场中的运动【典例2】 如图375所示，坐标系xOy在竖直平面内，空间内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x>

8、0的空间内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E.一个带正电的油滴经过图中x轴上的A点，恰好能沿着与水平方向成30°角斜向下的直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x<0的区域，要使油滴进入x<0区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x<0区域内另加一匀强电场若带电油滴做圆周运动通过x轴上的C点，且OAOC，设重力加速度为g，求：图375(1)油滴运动速度的大小(2)在x<0区域所加电场的大小和方向(3)油滴从B点运动到C点所用时间及OA的长度审题流程第一步：抓关键点获取信息第二步：抓好过程分析形成解题思路解析(1)油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、

9、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，由题设条件可知qvBcos mg0qvBsin qE0可得油滴运动速度大小为：v.(2)使油滴在x<0的区域做匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供油滴做圆周运动的向心力所以有：mgqE又tan 联立可得：EE，方向竖直向上(3)如图所示，连接BC，过B作AB垂线交x轴于O点，因为30°，所以在ABO中，AOB60°，又OAOC，故OCB30°，所以CBO30°，OCOB，则即O为油滴做圆周运动的圆心设油滴做圆周运动的半径为R，周期为T，则OCOBR运动周期T由于COB120°，油滴

10、从B运动到C的时间为t1T又OBO30°，所以OOOBR所以OCRRR，即OAR.答案(1)(2)E，方向竖直向上(3)带电粒子(带电体)在叠加场中运动的分析方法1弄清叠加场的组成2进行受力分析3确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合4画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解(4)对于临界问题，注意挖掘隐含条件5记住三点：(1)受力分析是基础；(2)运动过程分析是关

11、键；(3)根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的规律列方程求解【预测3】 如图376所示，在一竖直平面内，y轴左方有一水平向右的匀强电场E1和垂直于纸面向里的匀强磁场B1，y轴右方有一竖直向上的匀强电场E2和另一匀强磁场B2.有一带正电荷量为q、质量为m的微粒，从x轴上的A点以初速度v与水平方向成角沿直线运动到y轴上的P点，A点到坐标原点O的距离为d.微粒进入y轴右侧后在竖直面内做匀速圆周运动，然后以与P点运动速度相反的方向打到半径为r的的绝缘光滑圆管内壁的M点(假设微粒与M点内壁碰后的瞬间速度不变、电荷量不变，圆管内径的大小可忽略，电场和磁场不受影响地穿透圆管)，并沿管内壁下滑至N点设m、

12、q、v、d、r已知，37°，sin 37°0.6，cos 37°0.8，求：图376(1)E1与E2大小之比(2)y轴右侧的磁感应强度B2的大小和方向(3)从A点运动到N点的整个过程所用时间解析(1)AP微粒做匀速直线运动E1qmgtan PM微粒做匀速圆周运动E2qmg联立解得E1E234(2)由图知PM刚好为半周2RqvB2得B2方向垂直纸面向外(3)AP有：vt1，解得t1PM有：vt2R，解得t2碰到M点速度分解竖直向下，此时mgE2q，从MN过程中，微粒继续做匀速圆周运动v1vsin 37°v1t3，解得t3所以t总t1t2t3答案(1)34(

13、2)方向垂直纸面向外(3)考向三带电粒子在交变电场和交变磁场中的运动【典例3】 如图377所示，在xOy坐标系内存在周期性变化的电场和磁场，电场沿y轴正方向，磁场垂直纸面(以向里为正)，电场和磁场的变化规律如图378所示一质量m3.2×1013 kg、电荷量q1.6×1010 C的带电粒子，在t0时刻以v08 m/s的速度从坐标原点沿x轴正向运动，不计粒子重力，求：图377图378(1)粒子在磁场中运动的周期；(2)t20×103 s时粒子的位置坐标；(3)t24×103 s时粒子的速度解析(1)粒子在磁场中运动时qvBT，解得T4×103 s

14、(2)粒子的运动轨迹如图所示，t20×103 s时粒子在坐标系内做了两个圆周运动和三段类平抛运动，水平位移x3v0T9.6×102 m竖直位移ya(3T)2，Eqma解得y3.6×102 m故t20×103 s时粒子的位置坐标为：(9.6×102 m，3.6×102 m)(3)t24×103 s时粒子的速度大小、方向与t20×103 s时相同，设与水平方向夹角为则v，vy3aT6 m/stan ，解得v10 m/s与x轴正向夹角为37°斜向右下方答案(1)4×103 s(2)(9.6×

15、102 m，3.6×102 m)(3)10 m/s方向与x轴正向夹角为37°斜向右下方求解带电粒子在交变复合场中运动问题的基本思路特别提醒若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，则在粒子穿越电场过程中，电场可看作粒子刚进入电场时刻的匀强电场【预测4】 如图379所示，在xOy平面内存在均匀分布、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)在t0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子(不计重力)其中已知v0、t0、B0、E0，且E0，粒子的比荷，x轴上有一点A，坐标

16、为.图379(1)求时带电粒子的位置坐标；(2)粒子运动过程中偏离x轴的最大距离；(3)粒子经多长时间经过A点解析(1)粒子运动的周期T2t0则在0内转过的圆心角由qv0B0m得r1所以坐标为(2)粒子运动轨迹如图所示，经电场加速运动后的速度为vv0t02v0运动的位移st01.5v0t0在2t03t0内粒子做匀速圆周运动，半径r22r1故粒子偏离x轴的最大距离hsr21.5v0t0(3)每4t0内粒子在x轴正向移动距离d2r12r2经过A点的时间t×4t032t0答案(1)(2)1.5v0t0(3)32t0技法七临界思维法临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动

17、状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的作用临界状态是物理问题中常遇到的一种情况，以临界状态的规律为突破口来解决问题的方法称为临界思维法临界问题是物理学中一个非常重要的问题，求解时要综合运用数学、物理的知识与方法，其中解题的关键在于：找出临界点，确定临界条件，分析研究对象在临界点前后两种不同状态所具有的特征具体问题中，有的临界条件较明显，有的临界条件则较隐蔽，较明显的临界问题，题中常有“刚好”、“恰好”、“最大(小)值”等词语较隐蔽的临界问题就需要充分挖掘临界条件典例如图3710甲所示，带正电粒子以水平速

18、度v0从平行金属板MN间中线OO连续射入电场中MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕金属板间距为d，长度为l，磁场的宽度为d.已知：B5×103 T，ld0.2 m，每个带正电粒子的速度v0105 m/s，比荷为108 C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的试求：(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径(2)带电粒子射出电场时的最大速度(3)带电粒子打在屏幕上的范围审题流程第一步：抓关键信息挖隐含条件题干电场可视作是恒定不

19、变的说明电场为匀强电场，带电粒子做类平抛运动第二步：抓关键词找临界条件问题最小半径当加速电压为零时，带电粒子进入磁场时，速率最小，则半径最小最大速度当加速电压最大时，粒子的速度最大，但应注意粒子能否从极板中飞出带电粒子打在屏幕上的范围画出运动轨迹，找到粒子打在屏幕上的最高和最低点，利用几何关系求解解析(1)t0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小粒子在磁场中运动时qv0B则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径rmin m0.2 m其运动的径迹如图中曲线所示(2)设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有at2·2代入数据，解得U1100 V在电压

20、低于100 V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100 V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有mvmvq·解得vmax×105 m/s1.414×105 m/s(3)由第(1)问计算可知，t0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径rmind0.2 m径迹恰与屏幕相切，设切点为E，则E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则rmin0.2 m带电粒子射出电场时的速度最大时，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax，打

21、在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线所示qvmaxB则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径rmax m m由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上则OQ m0.1 m带电粒子打在屏幕上的最低点为F，则OFrmaxOQ m0.18 m即带电粒子打在屏幕上O上方0.2 m到O下方0.18 m的范围内答案(1)0.2 m(2)1.414×105 m/s(3)O上方0.2 m到O下方0.18 m的范围内【即学即练】 (2013·福建卷，22)如图3711甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.让

22、质量为m、电量为q(q0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中不计重力和粒子间的影响图3711(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a,0)点，求v1的大小；(2)已知一粒子的初速度大小为v(vv1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin 值；(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向入射研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关求该粒子运动

23、过程中的最大速度值vm.解析(1)带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有qvBm当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有：R1将代入式得v1(2)如图，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x的直线上，半径为R.当给定一个初速度v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sin 由式解得sin (3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理有qEymmvmv由题意知，有vmkym若E0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有qv0Bmv0kR0由式解得vm 答案见解析1如图3712所示，矩形区域内，有场强为E0

24、的竖直向下的匀强电场和磁感应强度为B0的垂直纸面向里的匀强磁场，竖直边界CD右侧区域内存在边界足够宽、磁感应强度为B的垂直纸面向外的匀强磁场一束重力不计、电荷量相同、质量不同的带正电的粒子，沿图中左侧的水平中线射入区域中，并沿水平中线穿过区域后进入区域中，结果分别打在接收装置的感光片上的S1、S2两点，现测得S1、S2两点之间距离为L，已知接收装置与竖直方向的夹角为45°，粒子所带电荷量为q.求：图3712(1)带电粒子进入磁场B时的速度的大小v；(2)在图上画出打在S2处的带电粒子进入区域后的运动轨迹，并计算打在S1、S2两点的粒子的质量之差m.解析(1)区域是速度选择器，故qE0

25、qvB0解得v(2)带电粒子在区域中做匀速圆周运动，则qvBm，得R打在S1处的粒子对应的半径R1打在S2处的粒子对应的半径R2又L2R22R1联立得mm2m1答案(1)(2)2(2013·山东卷，23)如图3713所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一带电量为q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场已知OPd，OQ2d.不计粒子重力图3713(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向(2)若磁感应强度的大小为

26、一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0.(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间解析(1)设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为，由牛顿第二定律得qEma由运动学公式得dat2dv0t0vyat0vtan 联立式得v245°(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图所示，O1为圆心，由几何关系可知O1OQ为等腰直角三角形，得R12d由牛顿第二

27、定律得qvB0m联立式得B0(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析知，粒子运动的轨迹如图所示，O2、O2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O2，由几何关系知，O2FGO2和O2QHO2均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FHGQ，可知QFGH是正方形，QOF为等腰直角三角形可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得2R22d粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得FGHQ2R2设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有t联立式得t(2)答案见解析3(2013·佛山模拟)如图3714所示，两块很大的平行导体板MN

28、、PQ产生竖直向上的匀强电场，两平行导体板与一半径为r的单匝线圈连接，在线圈内有一方向垂直线圈平面向里、磁感应强度变化率为的磁场B1，在两导体板间还存在有理想边界的匀强磁场，该磁场分为、两个区域，其边界为MN，ST，PQ，磁感应强度的大小均为B2，方向如图区域高度为d1，区域高度为d2；一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上方的O点由静止开始下落，穿过MN板的小孔进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，区域的高度d2足够大，带电小球在运动中不会与PQ板相碰，重力加速度为g，求：图3714(1)线圈内磁感应强度的变化率；(2)若带电小球运动后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h；(3)若带电小球从距MN的高度为3h的O点由静止开始下落，为使带电小球运动后仍能回到O点，在磁场方向不改变的