气体分子热运动速率和能量的统计分布律PPT课件

1、11. 气体分子的速率分布律一、速率分布函数分子速率分布图)/(vNNovvvvSN：分子总数分子速率分布图第1页/共61页2N 为速率在 区间的分子数. vvv表示速率在 区间的分子数占总数的百分比 .NSN vvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数v)(vfovvv dSd 表示在温度为 的平衡状态下，速率在 附近单位速率区间 的分子数占总数的百分比 .v物理意义T第2页/共61页3 表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比 .d vvv0d( )d1NNfN0vv 归一化条件v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvv速率位于 内分子数d vvvd( )dN

2、Nfvv第3页/共61页4 速率位于 区间的分子数12vv21( )dNN fvvvv2112()( )dNSfN vvvvv v速率位于 区间的分子数占总数的百分比12vv二、麦克斯韦速率分布函数23222( ) 4()e2mkTmfkTvvv麦氏分布函数23 222d4()ed2mkTNmNkTvvv第4页/共61页5 反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律 .vvNddNf)(v)(vfo三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值 三种统计速率v)(vfopvmaxfpv（1）最概然速率pd ( )0dfv vvv第5页/共61页6 根据分布函数求得p21.41k

3、TkTmmvAA,MmNRN kMRT41. 1pv 气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .pv物理意义2）平均速率v1122ddddnniiNNNNNvvvvv第6页/共61页7 00d( )dNNNfNNvvvvv08( )dkTfmvvvvMRTmkT60. 160. 1vv)(vfo3）方均根速率2v22200d( )dNNNfNNvvvvvmkT32v第7页/共61页8 2pvvv2rms33kTRTmMvv1.601.60kTRTmMvp22k TR TmMvp2kTmv8kTmv23kTmv第8页/共61页9 N2 分子在不同温度下的速率分布KT

4、30011pv2pvKT12002v)(vfo 同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo第9页/共61页10麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)第10页/共61页11麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)第11页/共61页12麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)第12页/共61页13麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831-1879)第13页/共61页14 麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念 下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率.（

5、B） 是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.pvpvpvpv讨论第14页/共61页15 1H0.002kg molM1O0.032kg molM118.31J KmolR300KT 例 计算在 时，氢气和氧气分子的方均根速率 .rmsv27 Crms3RTMv31rms1.93 10 m sv氢气分子1rms483m sv氧气分子第15页/共61页16 例 已知分子数 ，分子质量 ，分布函数 求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率在 间所有分子动能之和 . pvv( )f vNmpvvv d)(dNfN 速率在 间

6、的分子数d vvvp21( )d2mNfvvvv2）p()dN fvvvv1）第16页/共61页17 例 如图示两条 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .( )f vv)(vf1sm/v2000op22p22(H )(O )324(O )(H )2mmvvp2kTmv22(H )(O )mmp2p2(H )(O )vvp2(H )2000m/svp2(O )500m/sv第17页/共61页18( n为分子数密度为分子数密度)说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：1. ( )f v dv2.( )Nf v dv3.( )n

7、f v dv214.( )vvf v dv215.( )vvNf v dv06.( )f v dv207.( )v f v dv思考思考题题第18页/共61页19解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1. ( )dNf v dvN2.( )Nf v dvdN3.( )N dNd

8、Nnf v dvVNVNdvdNvf )(第19页/共61页202211()()4.( )vN vvN vdNf v dvN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。2211()()5.( )vN vvN vNf v dvdN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。06.( )1f v dv 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）2207.( )v f v dvv v2 的平均值。的平均值。第20页/共61页21四、

9、麦克斯韦速度分布律设总分子数N，速度分量区间 vx vx+dvx ，该速度分量区间内分子数 dNvxdNvxN= g(vx)dvx速度分量分布函数g(vx)=m2 kT1/2e -m v /2kT2x同理对 y、z 分量 g(vx)dvx=1 + - ,xyz 第21页/共61页22 区间 v v + dv ，分子数dNv速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvzdNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvzg( v )=m2 kT3/2 e - m v /2kT2平均速度 vixNiN = vxdNvx/N =

10、vx g(vx)dvx = 0+ - vx =同理对 y、z 分量，故平均速度为零第22页/共61页23 222()3 22( )()2xyzmvvvkTmg vekT麦克斯韦速度分布函数xvzvyvovdv24dwv dv222()3 22( )()2xyzmvvvkTxyzdNg v dwNmedv dv dvkT第23页/共61页24 五、误差函数212200()2xxxmkTmNNekT21220()2xxmkTxmNedkT0 xx讨论如何计算速度的 分量介于 到某一给定值范围内的分子数xx0分量第24页/共61页251212()2()2xxmxkTmkT1212kTmxdxd 12

11、2xdxkTddxm211220022xxxmkTNNedxkTm220022( )2xxxxNNedxedxNerf x第25页/共61页26六、统计规律性和涨落现象什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性例. 扔硬币对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法 .统计规律性第26页/共61页27从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见 , 从正面来观察。( 偶然 )隔板铁钉统计规律和方法 伽尔顿板第27页/共61页28 大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小球落入狭

12、槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。统计规律和方法 伽尔顿板小球数按空间位置 分布曲线第28页/共61页29 统计的基本概念1. 概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。( )limANNP AN概率的性质:(1) 概率取值域为0( )1P A 统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 第29页/共61页30(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.()1AiiiiiNP A

13、N几率归一化条件(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和()( )( )P ABP AP B(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积( , )( ) ( )P A BP A P B第30页/共61页312. 概率分布函数随机变量在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。1. 离散型随机变量取值有限、分立表示方式 SSPPP2121 10(1,2, )1SiiiPiSP有2. 连续型随机变量取值无限、连续第31页/共61页32随机变量X的概率密度( )( )dP xxdx变量取值在xx+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。( )1x dx又称为概率分布函数（简

14、称分布函数）。()X第32页/共61页333. 统计平均值算术平均值为iiiiiNNNN统计平均值为limlim()iiNiiNiiNNNNP对于离散型随机变量 随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。i对于连续型随机变量统计平均值为( )xxx dx第33页/共61页34“涨落”现象-测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。涨落现象第34页/共61页352 1/2() 1NNN 可以证明 在粒子数可自由出入的某空间范

15、围内的粒子数的相对涨落反比于系统中粒子数N的平方根。粒子数越少，涨落现象越明显。应用：小镜子的小角度振荡涨落电流的热噪声第35页/共61页362. 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律实验装置lHg金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵llvv2测定气体分子速率分布的实验第36页/共61页37兰媚尔实兰媚尔实验验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛SWW狭缝屏分子源 第37页/共61页38第38页/共61页39奥地利物理学家 玻耳茨曼（1844-1906）玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布第39页/共61页40若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何一 、

16、 玻尔兹曼分布律3. 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布第40页/共61页41如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek分子势能在麦克斯韦速度分布律中，kTmve22 因子kTEke 分子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布222()3 22()2xyzmvvvkTxyzdNmedv dv dvNkT第41页/共61页42玻尔兹曼将麦氏分布推广为： 在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与 成正比。kTEe kTEe 玻尔兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦玻尔兹曼分布（MB分布）第

17、42页/共61页43外力场中，粒子分布不仅按速率区vv+dv间分布，还应按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布该区间内的粒子数为：E kTxyzdNCedv dv dv dxdydz玻尔兹曼分布律能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：222() 2pxyzEkTm vvvkTxyzdNCedxdydzedv dv dv+ 第43页/共61页441pEkTdNC edxdydzn则分子数密度pEkTdNnC edxdydz0pEkTnn e粒子数按势能分布0,0nCEp 时时为势能等于零处的分子数密度22

18、2() 2pxyzEkTm vvvkTxyzdNCedxdydzedv dv dv+ 第44页/共61页45 按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei ,EN 能级kTEiieAN 处于Ei状态的粒子数常数对于两个任意能级kTEEeNN)(2121 1212,EENN如果则在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布第45页/共61页46为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念 - 微观状态微观状态：一气体分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ，vz vz+dvz ，位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+d

19、z，称该 分子处于一种微观状态, dvx dvy dvz dxdydz 所 定的区域称为状态区间。 第46页/共61页47 玻耳兹曼统计：温度T 的平衡状态下，任何系统的 微观粒子按状态的分布，即在某一 状态区间的粒子数与该 状态区间的 一个粒子的能量 E有关，而且与 e -E /kT 成正比。玻耳兹曼因子其它情形，如原子处于不同能级的原子数目E0E3E2E1 ni e -E /kTi第47页/共61页48二、重力场中粒子按高度的分布Ek =21m（vx2+ vy2+ vz2）代入上式，归一化分子数 dN 处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dzdN e -E /kT dx dy

20、 dz pdNdx dy dz=C e -E /kT p令 Ep =0 处 气体密度 n0 重力场中的气体分子按位置分布dN e -（E +E ） /kT dvx dvy dvz dx dy dz k p第48页/共61页490pEkTnn epEmgh0mgh kTnn e由气体状态方程PnkT00,Pn kT0mgh kTPPe0mgh kTnn e重力场中粒子按高度的分布规律式中P0为n=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量。第49页/共61页50大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）0mgh kTPPe0mgh kTnn emolAAMmNkNR0molMghRTPPe两边取对数0lnmolPRThMgP测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。0mgh kTPPe恒温气压公式第50页/共61页51 恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化 P = P0 e - gh /RT根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。第51页/共61页52例 氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：211623()2110.2 1.6 101.38 10300394.2101.58 10EEkTNeNee在