高等数学课件：6-4-3正弦级数和余弦级数

1、6 6. .4 4. .3 3 正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理定理 设)(xf是周期为的函数 2，在一个周期上可积，则 （1）为奇函数时当 )( xf，它的傅里叶系数为 ), 2 , 1 , 0(0nan， ), 3 , 2 , 1(sin)(20nnxdxxfbn. （2）为偶函数时当 )( xf，它的傅里叶系数为 ), 3 , 2 , 1 , 0(cos)(20nnxdxxfan， ), 2 , 1(0nbn. 定理说明： 若)(xf为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的 正弦级数正弦级数 nxbnnsin1. 若)(x

2、f为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和 余弦项的余弦级数余弦级数 nxaanncos21. 例 1将周期函数2sin)(tEtu（E是正常数）展开成傅里叶级数。解：)(tu是周期为2的偶函数， ), 2 , 1(0nbn。而00cos2sin2cos)(2ntdttEntdttuan0)21sin()21sin(dttntnE21121121)21cos(21)21cos(0nnEntnntnE), 2 , 1 , 0() 14(42nnE 得)cos1412cos151 cos3121(4)(2ntnttEtu )( t. 二二、函函数数展展开开成成正正弦弦级级数数或或余余弦弦级级数数设)

3、(xf在, 0上满足收敛定理的条件，lto2234E1将将)(xf在在, 0上上展展开开成成正正弦弦级级数数：令).0 ,( ),(0, , 0 ,(0, ),( )(xxfxxxfxF 则)(xF是),(上的奇函数，称为)(xf的奇式延拓奇式延拓。 将)(xF在,(上展开成傅里叶级数，这个级数必定 是正弦级数，再将限 x制在, 0(上，此时)()(xfxF， 便得)(xf的正弦级数展开式，其中 ), 2 , 1 , 0(0nan， ), 3 , 2 , 1(sin)(2sin)(200nnxdxxfnxdxxFbn。 则)(xF是,上的偶函数，称为)(xf的偶偶式式延延拓拓。 将)(xF在,

4、上展开成傅里叶级数，限制在再将 x , 0上，便得)(xf的余弦级数展开式，其中 ), 3 , 2 , 1 , 0(cos)(2cos)(200nnxdxxfnxdxxFan， ), 3 , 2 , 1(0nbn. 2 2将将)(xf在在, 0上展开成余弦级数：上展开成余弦级数：令).0 , , )(, 0, , )()(xxfxxfxF注注：具体计算时和 nnba，只用到nxxfcos)(和nxxfsin)( 在, 0上的积分，故不必写出)( xF延拓函数。 00sin) 1(2sin)(2nxdxxnxdxxfbn 02cossincos2nnxnnxnnxx) 1() 1(1 2nnn)

5、 , 2 , 1( .2 ,1 , 12 ,1222kknkknk例 2将函数1)(xxf（x0）分别展开成正弦级数 和余弦级数。解： （1）求正弦级数，作奇式延拓将 )( xf， ), 2 , 1 , 0(0nan， 4sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxx （x0） 当0 x和x时，级数收敛于 0，它不代表原来函数)(xf的值。yxo.)( 的图象xfyxo.)( 的图象xFyxo.)( 的图象xS（2）求余弦级数，作偶式延拓将 )( xf， ) , 3 , 2 , 1( 0nbn， 2) 1(200dxxa，00cos) 1(2cos)(2nxdxxnxdxxfa

6、n0sincossin22nnxnnxnnxx 1cos22nn) , 2 , 1( .2 , 0 12 ,) 12(4 1) 1(222kknknknn5cos513cos31(cos412122xxxx（x0） 。.)( 的图象xFyxo.)( 的图象xSyxo6 6. .4 4. .4 4 以以l 2为为周周期期的的函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数设周期为上在的函数 , )( 2 llxfl满足狄氏条件， 令lxt，则t lx ， lxl变为t， lldxxfldttFa)(1)(10， )() ()(tFt lfxf，则)(tF以2为周期，在 ,上)(tF的傅里叶系数为llndxlxn

7、xflntdttFbsin)(1sin)(1。)sincos(2)(10ntbntaatFnnn，从而).sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn llndxlxnxflntdttFacos)(1cos)(1，定定理理 2 2 设周期为l 2的函数)(xf在 ,ll上满足狄氏条件， . ,2)0()0(,)( ,2)0()0(,)( ),()sincos(2 10lxlflfxfxxfxfxfxxflxnblxnaannn的第一类间断点为的连续点为则其中), 2 , 1 , 0(cos)(1ndxlxnxflalln， ), 2 , 1(sin)(1ndxlxnxflblln。 若

8、)(xf为 ,ll上的奇函数时， )(xflxnbnnsin1， 其中), 3 , 2 , 1(sin)(20ndxlxnxflbln； 若)(xf为 ,ll上的偶函数， )(xflxnaanncos210， 其中), 2 , 1 , 0(cos)(20ndxlxnxflaln。 例 3将以 4 为周期的函数2.0 , 1, 02 , 0)(xxxf展开成傅里叶级数。解：周期为 4，2l。 121)(2120220dxdxxfa，02sin12cos212cos)(21202022xnndxxndxxnxfan，20222sin212sin)(21dxxndxxnxfbn202cos1xnn)

9、., 2 , 1(.2 , 0 , 12 ,) 12(2kknknk) 1(1 1nn 故当)2 , 0()0 , 2(x时， )25sin5123sin312(sin221)(xxxxf； 当0 x，2x时，级数收敛于21。.)( 的图象xS22xo446yy.)( 的图象xf22xo446 0na，ndxxnxdxlxnxflbln22sin)21 (sin)(2200， )2 , 0( , 2sin1221)(1xxnnxxfn， 解：将)(xf先作奇式延拓，再作周期延拓， 2l，周期为 4。 例 4把上在 2 , 0 21)(xxf展开成以 4 为周期的正弦 级数，并作出其和函数在4 , 4上的图形。 时和当 2 0 xx，级数收敛于 0。 y.4 , 4)(上的图象在 xS22xo4411 和函数 . 0 0, , 02 ),(2,0 ),()(x