平面向量基本定理及经典例题

1、学习必备欢迎下载平面向量基本定理一教学目标：了解平面向量基本定理， 理解平面向量的坐标概念， 会用坐标形式进行向量的加法、 数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点 :用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.二 . 课前预习1. 已知 a =(x,2) ， b =(1,x) ，若 a / b ，则 x 的值为()、2B、2C、2D、2A2. 下列各组向量，共线的是( )( A) a( 2,3), b(4,6)( B) a(2,3),b(3,2)(C ) a(1, 2),b(7,14)( D ) a( 3,2),b(6,4)3. 已知点 A( 2,4), B(3, 1), C(

2、 3, 4) , 且 CM3 CA,CN2 CB , 则 MN_4已知点 A( 1,5) 和向量 a = (2,3) , 若 AB =3a , 则点 B 的坐标为三 . 知识归纳1. 平面向量基本定理： 如果 e1, e2 是同一平面内的两个 _向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数1 , 2 ，使 a1 e12 e2 成立。其中 e1 , e2 叫做这一平面的一组 _，即对基底的要求是向量_；2坐标表示法： 在直角坐标系内， 分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 作基底，则对任一向量 a ，有且只有一对实数x ， y ，使 a xiyj 、就把 _叫做

3、向量 a 的坐标，记作 _。3向量的坐标计算： O（0，0）为坐标原点， 点 A 的坐标为（ x ， y ），则向量 OA 的坐标为 OA _，点 P 、 P 的坐标分别为（ 1 2x ， y ）， P （ x ， y ），则向量11222P P 1 2的坐标为P1 P2_，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的_点坐标减去_点坐标学习必备欢迎下载4线段中点坐标公式： A（ x1， y1 ），B（ x2 ， y2 ）线段中点为M，则有：OM =_，M点的坐标为 _5两个向量平行的充要条件是：向量形式： a / b (b0)_ ；坐标形式：a / b(b0)_ 6.a =（x,y ） ,a

4、则 a =_.与 a 共线的单位向量是： ea四例题分析：例 1.(1) 、 已知 M（ 2，7）、N（10， 2），点 P 是线段 MN上的点，且 PN 2 PM ，则 P点的坐标为（）A（ 14，16） （B）（22， 11） （ C）（6，1）（ D） （ 2， 4）(2) 、已知两点 A(4,1), B(7,-3),则与向量 AB 同向的单位向量是（）（A） 3,4(B)3 , 4(C)4 , 3(D)435,5555555(3) 、若 a =（2，3）， b =（ 4，7），则 a 在 b 方向上的投影为 _。例 2(1) 已知向量 a(1,2), b( x,1), ua2b ， v

5、2ab ，且 u / v ，求实数 x 的值。(2)已知向量 a=（3 ，1），b=（ 0， -1）， c=（k， 3 ）。若 a-2b 与 c 共线，则 k=_例 3已知 a(1,0), b(2,1) ，（ 1）求 | a3b | ；（ 2）当 k 为何实数时， k ab与 a3b 平学习必备欢迎下载行， 平行时它们是同向还是反向？例 如图，平行四边形中， E, F 分别是 BC ,DC 的中点，G为交点，若 ABa，AD4ABCDb ，（ 1）试以 a ， b 为基底表示 DE 、 BF ；（2）求证： A、G、C三点共线。例 5. 如图，平行四边形 ABCD中，BE=1 BA，BF=1

6、BD，求证： E，F，C45AD三点共线。（利用向量证明）EFBC五课后作业：1 a (3,sin), b (cos , 1) 且 a / b ，则锐角为( )23(A) 30( B) 60(C) 45(D) 752平面内有三点A(0,3), B(3,3), C (x,1) ，且 AB BC ，则 x 的值是（）(A) 1(B) 5(C)1(D)5学习必备欢迎下载3如果 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（）( A) 若实数1 , 2 使 1 e12 e20 ，则 120(B) 空间任一向量 a 可以表示为 a1 e12 e2 ，这里1 , 2 是实数(C )对

7、实数1 , 2 ，向量1 e12 e2 不一定在平面内(D ) 对平面内任一向量a ，使 a1e12 e2 的实数1, 2 有无数对4.下列各组向量中： e1( 1,2)e2(5,7) e1 (3,5) e2(6,10) e1 (2, 3) e2 ( 1 ,3)24其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD5.若 A(-1,-2),B(4,8),且 AC3CB , 则 C 点坐标为；6.已知 a (3,2) ， b(2,1) ，若ab与ab 平行，则 =；7已知向量 a(1, 2) ， b 与 a 方向相反，且 |b |2 | a | ，那么向量 b 的坐标是 _8已知 a(5

8、, 4), b(3, 2) ，则与 2a3b 平行的单位向量的坐标为。9已知 a(3, 1), b(1, 2), c(1,7) ，求 pabc ，并以 a,b 为基底来表示p 。10. 向量 OA( k,12), OB(4,5), OC(10,k) , 当 k 为何值时， A, B,C 三点共线？平面向量的数量积一、教学目标 ：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用教学重点 ：平面向量数量积及其应用学习必备欢迎下载二、课前预习：1已知向量 a(3, 4), b (2, 1) ，如果向量 axb 与 b 垂直，则 x 的值为（）233(C)22(

9、 A)(B)( D )32352. 下列命题正确的是_AB BA0 ；0 AB 0； ABAC BC； 0 AB 03平面向量 a, b 中，已知 a(4,3),| b | 1，且 a b5 ，则向量 b_.4已知向量 a, b 的方向相同，且 | a |3,| b |7 ，则 | 2ab | _。5已知向量 a 和 b 的夹角是 120°，且 | a |2 ， |b | 5，则 (2ab ) a =。三、知识归纳1.平面向量的数量积：（ 1）定义 : a · b _ _(a0,b0 ， 为 a 与 b 的夹角， 0) ；特例： 0 · a0 ， a 2 = a

10、· a =| a | 2；a cosb cos叫做向量 a在b方向上b在 a方向上的 _；注： a cosa b ,同理 b cos_.b（ 2） .坐标运算： 若 a =（ x1 ， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ）则 a · b =_2.两个向量的夹角与长度已知向量 a =（ x1 ， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ）（1）两个向量 a 与 b 的夹角：向量形式： cos=_；坐标形式： cos=_学习必备欢迎下载0, cos0; 即 ab02注：, cos0 , 即 a b02, cos即b020. a0，即同向时, a bab ；，即反向时, a b

11、ab（2）向量 a 的长度 | a | 2=a 2 =a · a =_。| a |=_其中 a = (x, y) ；a b(a b) 22b2a2 a b c o s两点间的距离公式： | P1 P2 |=_ 其中 P1 =（ x1 ， y1 ）， P2 =（ x2 ， y2 ）3.向量的平行、垂直如果，两个向量 a =（ x1 ， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ）那么，（1）两个向量平行 的充要条件是：向量形式：a / b(b0)_ _ ；坐标形式：a / b (b0)_ _ （2）两个向量垂直 的充要条件是：向量形式：a b_；坐标形式： a b_四：例题分析：例 1已知

12、平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°，（ 1）求证： (a b ) c ；（2）若 | ka b | 1 ( k R) ，求 k 的取值范围 .学习必备欢迎下载例 2已知：（ 1）若 | c |a、 b 、 c 是同一平面内的三个向量，其中25 ，且 c / a ，求 c 的坐标；a = （1，2）（2）若 |b |=5, 且 a2b与 2ab 垂直，求a 与 b 的夹角.2例 31.若向量，满足且c，则 c(a2b)A 4B3C 2D02.已知单位向量 e1， e2 的夹角为 60°，则 2e1 e2_3.在正三角形 ABC

13、中， D 是 BC 上的点， AB3, BD1 ，则 AB AD。4.已知向量 a,b 满足 (ab) (ab)，且 a1， b 2 ，则 a 与 b 的夹角为.5.在边长为 1 的正三角形 ABC中 , 设 BC2BD ,CA3CE, 则 AD BE _例 4.(1) 已知由向量AB=（3，2），=（1，k）确定的 ABC为直角三角形，求 k 的值。 (2)AC设 OA =（3，1）， OB =（ 1，2）， OC OB ， BC OA ，试求满足OD +OA =OC 的 OD的坐标（ O 为原点）。学习必备欢迎下载五课后作业：1平面内有三点 A(0,3), B(3,3), C ( x, 1

14、) ，且 AB BC ，则 x 的值是 （）(A) 1(B) 5(C) 1(D )52. 已知 a3， b2 3 ， a b3，则 a 与 b 的夹角是（）A、 150B、120C、60D、303已知向量 a(cos 75 ,sin 75 ) ， b(cos15 ,sin 15 ) ，那么 | ab |的值是（）(A) 1( B)2(C )3(D)12224已知向量 a(cos,sin) , 向量 b(3, 1) 则 | 2ab | 的最大值，最小值分别是（）(A) 4 2,0(B) 4,4 2(C ) 16，0(D ) 4，05在 ABC 中， ABAC0， ABC的面积是 15，若 | A

15、B | 3，| AC | 5，则BAC4( A)(B) 2(C) 3(D) 563466. 在 ABC中, 若 AB3, AC 4,BAC600, 则 BAAC（）A、 6B、4C、-6D、 -47已知向量 a(1, 2) ， b 与 a 方向相反，且 |b | 2 | a | ，那么向量 b 的坐标是 _平面上有三个点 A(1,3),B(2,2) ,C(7,x),若 B=,则x=_908.已知|a| ，|b|2 ，且向量 a+b与2 a b 互相垂直，则 b与a的夹角 =_19已知 a(5, 4), b(3, 2) ，则与 2a3b 平行的单位向量的坐标为。10.(1) 已知向量 a(6, 2) 与 b( 3, k ) 的夹角是钝角 , 则 k 的取值范围是。(2) 已知向量 a(6, 2) 与 b( 3, k ) 的夹角大于 90 , 则 k 的取值范围是。学习必备欢迎下载11(1)已知向量 a(3, 4), b(2,1) ，则 a 在 b 上的投影为 _(2)已知 | a |=| b |=2 ， a 与 b 的夹角为 600，则 a +b 在 a 上的投影为。12设 O , A, B,C 为平面上四个点， OAa ，且a b c 0，a b b c =c aOB b OC c1，则 | a |b | | c | _。13. 已知 | a | 1， |