高中数学空间向量训练题

1、-作者xxxx-日期xxxx高中数学空间向量训练题【精品文档】高中数学空间向量训练题（含解析）一选择题1已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（）A+B+C+D+2已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=（）A2B3C4D63空间中，与向量同向共线的单位向量为（）AB或CD或4已知向量，且，则x的值为（）A12B10C14D145若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=+，则P，A，B，C四点（）A不共面B共面C共线D不共线6已知平面的法向量是（2，3，1），平面的法向量是（4，2），若

2、，则的值是（）AB6C6D7已知，则的最小值是（）ABCD8有四个命题：若=x+y，则与、共面；若与、共面，则=x+y；若=x+y，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则=x+y其中真命题的个数是（）A1B2C3D49已知向量=（2，1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）ABC4D810如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）ABCD11正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）ABCD二填空题（共5小题）12已知向量=（k，12，1），

3、=（4，5，1），=（k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= 13正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则的最大值为 14已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，1，4），=（4，2，0），=（1，2，1）对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是 15设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，且点P满足向量关系，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z= 16已知平面平面，且=l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，并且ACl，BDl，AB=6，BD=24，AC=8，则CD= 三解答题（共1

4、2小题）17如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（） 证明PC丄AD；（）求二面角APCD的正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）求证：平面PQB平面PAD；（）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值19如图，在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，底面A

5、BCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点（1）求证：直线BA平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB=90°ADBC，AD侧面PAB，PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点（）求证：PECD；（）求PC与平面PDE所成角的正弦值21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，E为AD的中点，PAAD，BECD，BEAD，PA=AE=BE=2，CD=1（）求证：平面PAD平面PCD；（）求二面角CPBE的余弦值；（）在线段PE上是否存在点M，使得DM平面PBC？若存在，求出点M

6、的位置；若不存在，说明理由22如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（）求证：ABDE；（）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（）线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由23如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=CC1，平面BAC1平面ACC1A1，ACC1=BAC1=60°，AC1A1C=O（）求证：BO平面AA1C1C；（）求二面角ABC1B1的余弦值24如图，在四棱锥PABCD中，PA平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MNPB（

7、）求证：MN平面PAB；（）当PA=AB=2，二面角CAND大小为时，求PN的长25如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2（）证明：DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值26如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点（1）求证：GF平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值27如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点（）求证：ACD

8、E；（）已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值28如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值29.已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.30如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACB=90°，AC=BC=1

9、，AA1=2，D是棱AA1的中点 （）求证：B1C1平面BCD；（）求三棱锥BC1CD的体积；（）在线段BD上是否存在点Q，使得CQBC1？请说明理由31如图，在三棱锥ABCD中，O、E分别为BD、BC中点，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证：AO面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值（3）求点E到平面ACD的距离32在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面（1）证明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值2018年01月20日shu*e1

10、68的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（）A+B+C+D+【解答】解：如图所示，=+，=（+），=，=，=+=+=+（）=+=×（+）+×=+=+故选：C2已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=（）A2B3C4D6【解答】解：=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），三个向量共面，（2，1，2）=x（1，3，3）+y（13，6，）解得：故选：B3空间中，与向量同向共线的单位向量为（）AB或CD或【解

11、答】解：，与同向共线的单位向量向量，故选：C4已知向量，且，则x的值为（）A12B10C14D14【解答】解：因为向量，且，属于=86+x=0，解得x=14；故选：D5若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=+，则P，A，B，C四点（）A不共面B共面C共线D不共线【解答】解：A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=x+y+z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=+，因此P，A，B，C四点不共面故选：A6已知平面的法向量是（2，3，1），平面的法向量是（4，2），若，则的值是（）AB6C6D【解答】解：，且平面的法向量是=（2，3，1），平面的法向量是=（4，2），即存

12、在实数使得，即（2，3，1）=（4，2），解得=，=6故选C7已知，则的最小值是（）ABCD【解答】解：=（1t，t1，t），=，当且仅当t=0时取等号的最小值是故选：A8有四个命题：若=x+y，则与、共面；若与、共面，则=x+y；若=x+y，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则=x+y其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：若=x+y，则与，肯定在同一平面内，故对；若=x+y，则、三向量在同一平面内，P、M、A、B共面故对；若=x+y，则与、共面，但如果，共线，就不一定能用、来表示，故不对；同理也不对真命题的个数为2个故选：B9已知向量=（2，1，1），=（1，2，1），

13、则以，为邻边的平行四边形的面积为（）ABC4D8【解答】解：设向量，的夹角为，=，=，cos=sin=以，为邻边的平行四边形的面积S=sin=，故选：B10如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）ABCD【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）=（1，1，1），=（1，2，0），=（1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，2），点E到平面A

14、CD1的距离为：h=故选：C11正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）ABCD【解答】解：A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，B1在平面A1BC1上的射影为A1BC1的中心O，设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，OB=BM=，OB1=，sinB1BO=，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，DD1BB1，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为故选：A二填空题（共5小题）12已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=【解答】解：向量=（k，12，1），=（4，5，1

15、），=（k，10，1），=（4k，7，0），=（2k，2，0）又A、B、C三点共线，存在实数使得，解得故答案为：13正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则的最大值为【解答】解：连接PO，可得=+=，当取得最大值时，取得最大值为=故答案为：14已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，1，4），=（4，2，0），=（1，2，1）对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是【解答】解：由=（2，1，4），=（4，2，0），=（1，2，1），知：在中，=22+4=0，APAB，故正确；在中，=4+4+0=0

16、，APAD，故正确；在中，由APAB，APAD，ABAD=A，知是平面ABCD的法向量，故正确；在中，=（2，3，4），假设存在使得=，则，无解，故不正确；综上可得：正确故答案为：15设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，且点P满足向量关系，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z=1【解答】若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式：，则P，A，B，C四点共面的充要条件是：x+y+z=1，故答案为：116已知平面平面，且=l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，并且ACl，BDl，AB=6，BD=24，AC=8，则CD=26【解答】解：平面平面，且=l，在l上有两点A，B，

17、线段AC，线段BD，ACl，BDl，AB=6，BD=24，AC=8，=，=（）2=64+36+576=676，CD=26故答案为：26三解答题（共12小题）17如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（） 证明PC丄AD；（）求二面角APCD的正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长【解答】（本小题满分13分）证明：（）在ADC中，AD=2，AC=1，DC=AC2+AD2=CD2，ADAC，（1分）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），D（

18、2，0，0），C（0，1，0），B（，0），P（0，0，2），得=（0，1，2），=（2，0，0），=0，PCAD（4分）解：（），设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，不妨令z=1，得=（1，2，1），可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），于是cos=，从而sin=，所以二面角APCD的正弦值为（8分）（）设点E的坐标为（0，0，h），其中h0，2，由此得=（），由=（2，1，0），故，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，=cos30°=，解得h=，即AE=（13分）18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90°

19、;，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）求证：平面PQB平面PAD；（）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值【解答】解：（）ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，可得CDBQADC=90°，AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PADBQ平面PQB，平面PQB平面PAD （）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD（注：不证明PQ平面ABCD直接建

20、系扣1分）因此，以Q为原点、QA、QB、QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，0），C（1，0）M是PC中点，M（，）=（1，0，），=（，）设异面直线AP与BM所成角为，则cos=|cos，|=异面直线AP与BM所成角的余弦值为19如图，在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点（1）求证：直线BA平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：SD平面ABCD，SDAB，又ADAB，ADSD=D，AB平面SAD，（6分

21、）（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，2），=（2，2，0），=（1，0，1），（8分）设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），由得，取=（1，1，1），（10分）设直线SA与平面BED所成角为，因为cos=，所以sin=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为（12分）20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB=90°ADBC，AD侧面PAB，PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点（）求证：PE

22、CD；（）求PC与平面PDE所成角的正弦值【解答】解：（）AD侧面PAB，PE平面PAB，ADEP又PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，ABEPADAB=A，PE平面ABCDCD平面ABCD，PECD（5分）（）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，1，0），P（0，0，）=（2，1，0），=（0，0，），=（1，1，）设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量由 ，令x=1，可得=（1，2，0）（9分）设PC与平面PDE所成的角为，得=所以PC与平面PDE所成角的正弦值为 （12分）21如图，在四棱锥PABCD中，

23、平面PAD平面ABCD，E为AD的中点，PAAD，BECD，BEAD，PA=AE=BE=2，CD=1（）求证：平面PAD平面PCD；（）求二面角CPBE的余弦值；（）在线段PE上是否存在点M，使得DM平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由【解答】解：（）证明：由已知平面PAD平面ABCD，PAAD，且平面PAD平面ABCD=AD，所以PA平面ABCD所以PACD又因为BEAD，BECD，所以CDAD所以CD平面PAD因为CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD（4分）（）作EzAD，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则点E（0，

24、0，0），P（0，2，2），A（0，2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）所以，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），所以即令y=1，解得=（2，1，3）设平面PBE的法向量为=（a，b，c），所以即令b=1，解得=（0，1，1）所以cos=由图可知，二面角CPBE的余弦值为（10分）（）“线段PE上存在点M，使得DM平面PBC”等价于“”因为，设，（0，1），则M（0，22，22），由（）知平面PBC的法向量为=（2，1，3），所以解得所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM平面PBC（14分）22如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直A

25、BCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（）求证：ABDE；（）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（）线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由【解答】（）证明：取AB中点O，连接EO，DO因为EB=EA，所以EOAB （1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD （2分）因为EOOD=O所以AB平面EOD （3分）因为ED平面EOD所以ABED （4分）（）解：因为平面ABE平面ABCD，且 EOAB，平面ABE平面ABCD=AB所以EO平面ABCD，因为OD平面ABCD，所以EOO

26、D由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz （5分）因为EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）所以，平面ABE的一个法向量为 （7分）设直线EC与平面ABE所成的角为，所以 ，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 （9分）（）解：存在点F，且时，有EC平面FBD （10分）证明如下：由 ，所以设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2） （12分）因为=（1，1，1）（1，1，2）=0，且EC平面FBD

27、，所以EC平面FBD即点F满足时，有EC平面FBD （14分）23如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=CC1，平面BAC1平面ACC1A1，ACC1=BAC1=60°，AC1A1C=O（）求证：BO平面AA1C1C；（）求二面角ABC1B1的余弦值【解答】证明：（）依题意，四边形AA1C1C为菱形，且AA1C1=60°AA1C1为正三角形，又BAC1=60°，BAC1为正三角形，又O为AC1中点，BOAC1，平面ABC1平面AA1C1C，平面ABC1平面AA1C1C=AC1，BO平面AA1CC1，BO平面AA1C1C（4分）解：（）以O为坐标原点，建空间

28、直角坐标系，如图，令AB=2，则，C1（0，1，0），设平面BB1C1的一个法向量为，由得，取z=1，得（9分）又面ABC1的一个法向量为 （11分）故所求二面角的余弦值为（12分）24如图，在四棱锥PABCD中，PA平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MNPB（）求证：MN平面PAB；（）当PA=AB=2，二面角CAND大小为时，求PN的长【解答】（）证明：在正方形ABCD中，ABBC，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABCABPA=A，且AB，PA平面PAB，BC平面PAB，则BCPB，MNPB，MNBC，则MN平面PAB；（）解：PA平面ABCD，AB

29、，AD平面ABCD，PAAB，PAAD，又ABAD，如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）设平面DAN的一个法向量为=（x，y，z），平面CAN的一个法向量为=（a，b，c），设=，0，1，=（2，2，2），=（2，2，22），又=（0，2，0），取z=1，得=（，0，1），=（0，0，2），=（2，2，0），取a=1得，到=（1，1，0），二面CAND大小为，|cos，|=cos=，|cos，|=|=|=，解得=，则PN=25如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=

30、3，ACB=D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2（）证明：DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值【解答】（）证明：PC平面ABC，DE平面ABC，PCDE，CE=2，CD=DE=，CDE为等腰直角三角形，CDDE，PCCD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，DE平面PCD（）由（）知CDE为等腰直角三角形，DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由ACB=得DFAC，故AC=DF=，以C为原点，分别以，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E

31、（0，2，0），D（1，1，0），=（1，1，0），=（1，1，3），=（，1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（）知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，1，0），两法向量夹角的余弦值cos，=二面角APDC的余弦值为26如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点（1）求证：GF平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，G是BE的中点，GHAB，且GH=AB，又F是CD中点，

32、四边形ABCD是矩形，DFAB，且DF=AB，即GHDF，且GH=DF，四边形HGFD是平行四边形，GFDH，又DH平面ADE，GF平面ADE，GF平面ADE（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQCE，BEEC，BQBE，又AB平面BEC，ABBE，ABBQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）AB平面BEC，为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量又=（2，0，2），=（2，2，1）由垂直关系可得，取z=2可得cos，=平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解

33、法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GMAE，且GM=AE又AE平面ADE，GM平面ADE，GM平面ADE在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MFAD又AD平面ADE，MF平面ADE，MF平面ADE又GMMF=M，GM平面GMF，MF平面GMF平面GMF平面ADE，GF平面GMF，GF平面ADE（2）同解法一27如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点（）求证：ACDE；（）已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值【解答】（I）证明：PD平

34、面ABCD，AC平面ABCDPDAC又ABCD是菱形，BDAC，BDPD=DAC平面PBD，DE平面PBDACDE（6分）（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则由（I）知：平面PBD的法向量为，令平面PAB的法向量为，则根据得因为二面角APBD的余弦值为，则，即，（9分）设EC与平面PAB所成的角为，（12分）28如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，

35、侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，且O为BC1和B1C的中点，又ABB1C，B1C平面ABO，AO平面ABO，B1CAO，又B10=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且O为B1C的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1=60°，CBB1为正三角形，又AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量

36、，则，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，），cos，=，二面角AA1B1C1的余弦值为29.已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.（传统法）解（1）：如下图，作PO平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.ADPB，ADOB.PA=PD，OA=OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，PEAD.由此知PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PE

37、B=120°，PEO=60°.由已知可求得PE=，PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为.（2）（空间向量法）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P（0，0，），B（0，0），PB中点G的坐标为（0，），连结AG.又知A（1，0），C（2，0）.由此得到 =（1，）， =（0，），=（2，0，0）.于是有·=0，·=0，. ，的夹角等于所求二面角的平面角.于是cos=，由于题目中的二面角为钝角，所以所求二面角的大小为。注意：本题可以采用先求平面的法向量，再求法向量的夹角，结合

38、二面角实际情况下结论解法二（传统法略解）：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AGPB，FGBC，FG=BC.ADPB，BCPB，FGPB.AGF是所求二面角的平面角.AD面POB，ADEG.又PE=BE，EGPB，且PEG=60°.在RtPEG中，EG=PE·cos60°=，在RtGAE中，AE=AD=1，于是tanGAE= . COSGAE= 又AGF=GAE，所求二面角的余弦值为 -。30如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点 （）求证：B1C1

39、平面BCD；（）求三棱锥BC1CD的体积；（）在线段BD上是否存在点Q，使得CQBC1？请说明理由答案及解析：【分析】（）由ABCA1B1C1为棱柱，可得B1C1BC，再由线面平行的判定可得B1C1平面BCD；（）由D为棱AA1的中点求出三角形CC1D，再证明BC平面CDC1，即可求得三棱锥BC1CD的体积；（）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出所用点的坐标，假设在线段BD上存在点Q，使得CQBC1，求出Q的坐标，由数量积为0得答案【解答】（）证明：ABCA1B1C1为棱柱，则B1C1BC，B1C1平面BCD，BC平面BCD，则B1C1平面BCD

40、；（）解：D为棱AA1的中点，AA1底面ABC，BCAA1，又BCAC，且ACAA1=A，BC平面CDC1，=；（）解：线段BD上存在点Q（），使得CQBC1 事实上，以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），假设在线段BD上存在点Q，使得CQBC1，设Q（x，y，z），再设，则（x，y1，z）=（1，1，1），得x=，y=1，z=，则Q（，1，），=（，1，），由，得线段BD上存在点Q（），使得CQBC1 31如图，在三棱锥ABCD中，O、E分别为BD、BC中点，CA=CB=CD=BD=4，