实验五线性卷积与循环卷积的计算

1、实验五线性卷积与循环卷积的计算、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力；2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力;3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 、实验原理1、线性卷积线性时不变系统(Lin ear Time-I nvaria nt System, or L. T. I系统)输入、输出 间的关系为：当系统输入序列为 x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，输出序列 为y(n),则系统输出为：y(n) - ' x(m)h(n-m) = x(n)*h(n)m ：-boy(n) = ' h(m)x(n -m) = h(

2、n)* x(n)m ：上式称为离散卷积或线性卷积。图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系M) L. T. I > h(n)-boy(n) = ' x(m)h(n -m-m)图6.1线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列x1 (n)和X2(n)，均为N点长xMn) df t xMk)x2( n) D F T X2(k)如果 X3(k) =XMk) X2(k)-NJX3(n) = Q X1(m)X2(n m) Rn(n)贝 y_mN 4二為 xdm) X2 kn - m)N 丨m -0=x1 (n) n x2(n)0 乞 n 乞 N -1上式称为循环卷积或圆周

3、卷积注：i(n)为Xi(n)序列的周期化序列；i(n)Rn(n)为i(n)的主值序列。 上机编程计算时，X3 (n)可表示如下：nNX3(n) _、Xi(m)x2(n _m)x(m)X2(N n _ m)m 30m 出：(13、两个有限长序列的线性卷积序列Xl(n)为L点长，序列X2(n)为P点长，X3(n)为这两个序列的线性卷积, 则X3(n)为-box3(n) = ' x-i (m)X2 (n-m)m -.：且线性卷积x3(n)的最大长L P -1，也就是说当n乞-1和n _ L P -1时X3(n) =0 04、循环卷积与线性卷积的关系序列Xi(n)为l点长,序列x2(n)为P点

4、长，若序列Xi(n)和X2(n)进行n点的 循环卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于循环卷积的长度：当N L P -1时循环(圆周)卷积等于线性卷积，即Xi(n) NX?(n) =Xi(n)*x?(n)当N ： L P -1时，循环卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时 间混叠，即f'、x3(n rN) O n < N -1X3N (n)=r =joO0其它n三、实验方法对于无限长序列不能用 MATLAB直接计算线性卷积，在MATLAB内部只 提供了一个conv函数计算两个有限长序列的线性卷积。对于循环卷积MATLAB内部没有提供现成的函数，我们可以按照定义式

5、直接编程计算例6.1 :已知两序列：0.8n0 兰 n <11x(n)=廿宀0其它10兰n兰5h(n)甘宀卫其它求它们的线性卷积循环卷积 yc=h(n)* x(n)n，MATLAB实现程序：yl(n)=h(n)*x(n)和 N 点的并研究两者之间的关系(1)循环卷积的函数function yc=circ onv (x1,x2,N)%realize circular convo luti on use direct method %y=circo nv(x1,x2,N)%y:output seque nces%x1,x2:i nput seque nces%N:circulati on l

6、en gthif len gth(x1)>N');');x1(n)使其长度为error( N must not be less than length of x1endif len gth(x2)>Nerror( N must not be less than length of x2end%以上语句判断两个序列的长度是否小于Nx仁x1,zeros(1,N-length(x1);% 填充序列N1+N2-1(序列%h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2)x2=x2,zeros(1,N-le ngth(x2); n=0:1:N-1;x2=x2(mod(- n,N

7、)+1); H=zeros(N,N);for n=1:1:NH( n,:)=cirshiftd(x2, n-1,N); end yc=x1*H '%填充序列x2(n)使其长度为N1+N2-1%生成序列x2(-n)N%该矩阵的k行为x2(k-1-n)N%计算循环卷fun ctio n y=cirshiftd(x,m,N)%directly realize circular shift for seque nee x %y=cirshiftd(x,m,N);%x:i nput seque nee whose len gth is less tha n N %m:how much to sh

8、ift%N:circular len gth%y:output shifted seque neeif len gth(x)>Nerror('le ngth of x must be less tha n N'); endx=x,zeros(1,N-le ngth(x); n=0:1:N-1;y=x(mod( n-m,N)+1);(2)研究两者之间的关系clear all;n=0:1:11;m=0:1:5;N仁 le ngth( n);N2=le ngth(m);xn=0.8.A n;%生成x(n)hn=o nes(1,N2);%生成h(n)yln=conv(xn,hn)

9、;%直接用函数conv计算线性卷积ycn=circ onv(xn,hn, N1);%用函数circonv计算N1点循环卷积ny1= 0:1:le ngth(yl n)-1;ny2=0:1:le ngth(ycn)-1;subplot(2,1,1);%画图stem( ny1,yl n);subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);axis(0,16,0,4);运行结果四、实验语句及结果function yc=circ on v(x1, x2, N)if len gth(x1)>Nerror('N必须大于等于 x1的长度');endif len gth(x

10、2)>Nerror('N必须大于等于 x2的长度');endx1=x1, zeros(1,N-le ngth(x1);x2=x2, zeros(1,N-length(x2);n=0:1:N-1;x2=x2(mod(-n, N)+1); H=zeros(N, N);for n=1:1:NH(n, :)=cirshiftd(x2, n-1, N);%计算圆周卷积endyc=x1*H：fun ctio n y=cirshiftd(x, m, N)if len gth(x)>Nerror('x的长度必须小于 N'); endx=x, zeros(1, N-l

11、e ngth(x);n=0:1:N-1;y=x(mod( n-m,N)+1); x(n) y(n)clear allxn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2;N1=le ngth(x n);N2=le ngth(h n);y1n=conv(xn, hn);yen=circ onv(xn, hn, 5);n y仁0:1:le ngth(y1 n)-1; ny2=0:1:le ngth(ycn)-1; subplot(2,1,1);stem (n y1, yin);subplot(2,1,2);stem (ny2, yen);205Tstem (n y1, yin);ylabel('

12、线性卷积');subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);ylabel('圆周卷积);20stem (n y1, yin);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);ylabel('圆周卷积);20 x(n) y(n)clear all ;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2; yln=conv(xn,hn);yen=circ onv(xn,hn, 6); ny1= 0:1:le ngth(yl n)-1; ny2=0:1:le ngth(ycn)-1;

13、 subplot(2,1,1);stem (n y1, yin);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);ylabel('圆周卷积);205T x(n) y(n)clear all ;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2; yln=conv(xn,hn);yen=circ onv(xn,hn ,9); ny1= 0:1:le ngth(yl n)-1; ny2=0:1:le ngth(ycn)-1; subplot(2,1,1);stem (n y1, yin);ylabel('

14、线性卷积');subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);ylabel('圆周卷积);20 x(n) y(n)clear all ;N1=5;N2=4;xn=1 2 3 4 5;hn=1 2 1 2; yln=conv(xn,hn);yen=circ onv(xn,hn ,10); ny1= 0:1:le ngth(yl n)-1; ny2=0:1:le ngth(ycn)-1; subplot(2,1,1);stem (n y1, yin);ylabel('线性卷积');subplot(2,1,2);stem (ny 2,yc n);ylabel('圆周卷积);202020五、思考题解答(4) 线性卷积运算一般步骤为：求x1(n)与x2 (n)的线性卷积；对 x1(m)或x2 ( m)先进行镜像移位x1(-m),对移位后的序列再进行从左至右的依次平移x(n-m),当n=0,1,2N-1时，分别将x(n-m)与x2 (m)相乘，并在 m=0,1,2.N-1的区间求和，便得到 y (n)。圆周卷积运算一般步骤为：在圆周卷积过程中， 求和变量为 mn为参变量，先将x2(m)周期化，形成x2(m)N,再反转形成x2(-m)N,取主值