大学物理学课件：3_4 -3_6功和动能定理、势能、机械能守恒定律

1、3.4 功和动能定理功和动能定理3.5 势能势能3.6 机械能守恒定律机械能守恒定律3.4 功和动能定理功和动能定理3.4.1 功功 Work 力对空间的积累效应力对空间的积累效应 从另一侧面揭从另一侧面揭示物体运动状态变化的规律。示物体运动状态变化的规律。F FrFrFAcosF F恒力做功恒力做功 直线运动直线运动功：力与其作用的质点的位移的标量积。功：力与其作用的质点的位移的标量积。r r 功是标量，但功是标量，但(依依)分正、负。分正、负。反映了能量的变化。反映了能量的变化。 功依赖于参考系；功依赖于参考系；rdFdA变力做功AB3r r2r r1r rir riF F3F F2F F

2、1F Fi.332211rFrFrFA.iirFBAABrdFADefine: element work元功视为恒力视为恒力,直线直线 BBBAAAzyxzyxzyxkdzjdyidxkFjFiFBAABrdFAIn three dimensions:BABABAzzzyyyxxxdzFdyFdxFA功是过程量功是过程量( F-x曲线下的面积曲线下的面积 )一维运动中的功一维运动中的功oxFxdrAxBxdAC1C2对质点对质点:iiiiisfAiLdsfbaiid )()()()()(basFAd合各力做功之和等于合力做的功各力做功之和等于合力做的功.合力做功合力做功 各力的作用点走各力的作

3、用点走过的路径相同过的路径相同!瞬时功率瞬时功率: :tAN vFdtrdFdtdAN4. Power 功率功率平均功率平均功率: :注意：注意：1、功是过程量，与路径有关。、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。3、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。 a质点问题质点问题iiiiisfAiLdabsd1f2fsfbaiid )()()(iL)()(baiisFAAd合对对质点质点:各力各力做功之做功之和和等于等于合力合力做的功做的功思考思考：写这个写这个等号等号的的条件条件？功计算中应注意的问题功计算中应注意的问题b质点系问题质点系问

4、题iiLiiisfAid Liisfd)(?1m2m1L2L对问号的解释：对问号的解释：一般的讨论：一般的讨论：如图，两个质点走的路径不同。如图，两个质点走的路径不同。则，各质点的元位移则，各质点的元位移nssssdddd321故不能用一个共同的元位移故不能用一个共同的元位移sd来代替。来代替。所以在所以在计算功的过程中特别要计算功的过程中特别要分清分清研究对象研究对象对质点有：对质点有：)()(baiisFAAd合即，即，各力各力做功之做功之和和等于等于合力合力做的功。做的功。但但对质点系对质点系：写不出像质点那样的简单式子，：写不出像质点那样的简单式子，即，即，各力各力做功之做功之和和不一

5、定不一定等于等于合力合力的功。的功。abF FnF FF FrFdAba由由badrFcosdrFAbadrdtdvmbamvdvvv02022121mvmvA1212kkEEA动能定理：动能定理：合外力做功的代数和等于质点动能合外力做功的代数和等于质点动能 的增加。的增加。3.4.23.4.2 动能定理动能定理1. .动能是描写物体状态的物理量，物体状动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变是靠做功实现的。态的改变是靠做功实现的。2. .功是功是过程量过程量，动能是，动能是状态量状态量，动能定理，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂

6、的外力做功时只需求始末两态在计算复杂的外力做功时只需求始末两态的动能变化，即可求出该过程的功。的动能变化，即可求出该过程的功。kkkEEEA03. . A为合外力做功的代数和为合外力做功的代数和，不是合外力中，不是合外力中某一个力的功。某一个力的功。4. .如果如果 Ek Ek0, , A 0 , ,外力对物体做正功；外力对物体做正功； 如果如果 Ek Ek0, , A0 , ,外力对物体做负功，外力对物体做负功， 或物体克服阻力做功。或物体克服阻力做功。1. .确定研究对象；确定研究对象；2. .受力分析，分析做功的力，不做功的力受力分析，分析做功的力，不做功的力不考虑；不考虑；3. .分析

7、始末运动状态，确定分析始末运动状态，确定Ek、Ek0；4. .应用定理列方程求解。应用定理列方程求解。 kkkEEEA0 前面研究了一个质点的动能定理，如果前面研究了一个质点的动能定理，如果研究的对象为质点系，动能定理又如何表研究的对象为质点系，动能定理又如何表示？以最简单的两个质点组成的质点系为示？以最简单的两个质点组成的质点系为研究对象。研究对象。 两个质点质量为两个质点质量为 m1、 m2 ，受外力，受外力F F1、F F2，内力为，内力为f f12、f f21，初速度为，初速度为v v10、v v20, ,末速度为末速度为v v1、v v2, ,位移为位移为21,r rr r两个或两个

8、以上的质点组成的系统。两个或两个以上的质点组成的系统。112221f f12f f1F F2F F1r r2r r1m2m110vv220vv对对 m1 、m2 应用质点应用质点动能定理动能定理10111kkEEAA内外20222kkEEAA内外由于由于 m1 、m2 为一个为一个系统，将上两式相系统，将上两式相加：加：kinikEE1为质点系的动能，为质点系的动能， 合外力与合内力做功代数和，等于质合外力与合内力做功代数和，等于质点系动能的增量。点系动能的增量。令令niiniiAA11内外011kinikiniEE0kkEEkEniiniiAA11内外KEAA内外思考：思考：为什么为什么内力

9、内力之和之和一定一定为零，而为零，而 内力做功内力做功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？1、重力做功的特点、重力做功的特点1 1）与相对运动路径）与相对运动路径无关无关。2 2）为一相对位置的函数在始末相对位置值之差。）为一相对位置的函数在始末相对位置值之差。QPrd) jmg(A21mghmgh 结论：结论：mgjdrxyoh1h2PQ21hhmgdy3.5 势能势能QPjdyidxjmg)(2 2、弹簧力做功的特点、弹簧力做功的特点2121)(xxxxdxkxFdxA2221kx21kx21结论同前结论同前xoyxmFx ? 3 3、万有引力做功、万有引力做功的特点的特点rdrrmGmr

10、dFAQpQp321)()(221121rmGmrmGmcos| rdrrdrrdrdrrmGmArr21221xyordr1r2rd rrPQMNNF共同特征：共同特征：做功与相对路径无关，只与始末做功与相对路径无关，只与始末( (相对相对) )位置有关。位置有关。结论同前结论同前一、定义一、定义保守力保守力的两种表述的两种表述（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对力称为力称为保守力保守力 （如：万有引力、弹力、重力）（如：万有引力、弹力、重力） 重力并不是地球表

11、面附近的万有引力。重力并不是地球表面附近的万有引力。BAABllrdFrdFrdF21BABAllrdFrdF21xyoAB1l2l0（2）保守力的环流为零）保守力的环流为零 非保守力非保守力 摩擦力（耗散力摩擦力（耗散力):):做功为负做功为负 爆炸力：爆炸力：做功为正做功为正描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式环流不为零的矢环流不为零的矢量场是非保守场，量场是非保守场，如磁场。如磁场。通常：通常：0Llfd普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。所以静电场也是保守场。二、势

12、能二、势能1.定义定义 令令 PbPabaEElfAd保保若选末态为势能零点若选末态为势能零点PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(2.常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点mghEP1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能221kxEP以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为以无限远为势能零点势能零点1）只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力做功之和对应一对内力做功之和)3） 势能与参考系无关

13、势能与参考系无关(相对位移相对位移)4）质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (做功与路径无关做功与路径无关) 非保守内力非保守内力 (做功与路径有关做功与路径有关) 耗散力耗散力讨论讨论例例1 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为 求：两种情况下摩擦力做的功求：两种情况下摩擦力做的功 rfAbarabd圆弧mRab sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直径1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：rfrd)()(barsfd3.6 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理二、机械能守恒定律二

14、、机械能守恒定律一、功能原理一、功能原理利用质点系的动能定理：利用质点系的动能定理：kkkniiniiEEEAA011内外其中内力做功的代数和项其中内力做功的代数和项niiA1内可分为可分为系统系统内部保守力的功内部保守力的功和和内部非保守力的功内部非保守力的功，由由保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值的结论，的结论，niiA1内niiA1内保niiA1内非piniEA内保1kiniiniiniEAAA内非内保外111pkiniiniEEAA内非外11定义机械能：定义机械能：为物体系的动能与势能之和为物体系的动能与势能之和222121kxmghmvE)(pkEEpkEEE功

15、能原理：功能原理：系统外力与内部非保守力做功系统外力与内部非保守力做功的代数和，等于系统机械能的增量。的代数和，等于系统机械能的增量。1. .在应用功能原理时，不必考虑保守力的在应用功能原理时，不必考虑保守力的功，因为这部分功已变成势能增量的负值。功，因为这部分功已变成势能增量的负值。EAAiniini内非外11功能原理功能原理即当外力对质点系内质点做功之和为正时，其内部机即当外力对质点系内质点做功之和为正时，其内部机械能将增加；械能将增加；2. .当当01内非iniA时，时，01EEAini外若若01外iniA00EE则则即当外力对质点系内质点做功之和为负时，其内部机即当外力对质点系内质点做

16、功之和为负时，其内部机械能将减少。械能将减少。若若01外iniA00EE则则EAAiniini内非外113 . .注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。的总动量。3. .确定势能确定势能0点，以及始末两态的机械能点，以及始末两态的机械能E0、E。2. .受力分析，不考虑保守力和不做功的力受力分析，不考虑保守力和不做功的力1. .确定研究对象，必须是质点系确定研究对象，必须是质点系4. . 列方程求解。列方程求解。下面举例应用功的定义、动能定理和功能下面举例应用功的定义、动能定理和功能原理三种方法进行比较，看看哪一种方法原理三种方法进行

17、比较，看看哪一种方法好？好？EAAiniini内非外11例例1 1：质量为质量为 m 的物体从一个半径为的物体从一个半径为R的的1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度圆弧型表面滑下，到达底部时的速度为为v, ,求求A到到B过程中摩擦力所做的功？过程中摩擦力所做的功？解解1：功的定义：功的定义以以m为研究对象，建为研究对象，建立自然坐标系，受力立自然坐标系，受力分析。分析。列切向受力方程：列切向受力方程：oRCABNmgfndtdvmmaFdtdvmmafmgcosmdtdvmmgfcos摩擦力的功摩擦力的功fdrA阻droRABNmgfnddrdtdvmdrmgcosmvdvRdmgAv09

18、00cos阻 Rddr由由221mvmgRdtdrv, oRABn解解2：动能定理：动能定理由质点动能定理：由质点动能定理：kkkEEEA0受力分析：只有重力和摩擦力做功，受力分析：只有重力和摩擦力做功，0kkEEAA阻重kEAdrmg阻cosmgf00kERdmgmvAcos219002阻A点物体动能点物体动能mgRmv221foRABn解解3：功能原理功能原理以物体和地球为研究对象，以物体和地球为研究对象，受力分析，不考虑保守受力分析，不考虑保守力重力和不做功的力弹力重力和不做功的力弹力力N，只有摩擦力只有摩擦力-内部非保守力内部非保守力 f f 做功，做功，由功能原理：由功能原理：EAA

19、iniini内非外11 01外iniA221mvEB选择选择 B 点为重力点为重力 0 势点，势点，A、B 两点的机两点的机械能：械能：mgREAABEEA阻mgRmv221阻内非AAini1可以看出，用功能原理计算最简单。可以看出，用功能原理计算最简单。foRABn由质点系的功能原理由质点系的功能原理EAAiniini内非外11机械能守恒条件机械能守恒条件 01外iniA0E00EEEE0 当合外力与内部非保守力做功代数和当合外力与内部非保守力做功代数和都为都为0时，系统的机械能守恒。时，系统的机械能守恒。即即0 ,1内非iniA机械能守恒定律：机械能守恒定律：除保守力以外其它的力除保守力以

20、外其它的力都不做功时，系统的机械能守恒。都不做功时，系统的机械能守恒。1.只有保守力做功时，系统的动能与势能只有保守力做功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。能增加量等于动能减少的量。2.第一类永动机违反了能量守恒定律，因第一类永动机违反了能量守恒定律，因此是制造不出来的。此是制造不出来的。(某物质循环一周回复到初始状态，不吸热而向某物质循环一周回复到初始状态，不吸热而向外放热或作功，这叫外放热或作功，这叫“第一类永动机第一类永动机”。这种。

21、这种机器不消耗任何能量，却可以源源不断的对外机器不消耗任何能量，却可以源源不断的对外做功。做功。 ) 各种形式的能量是可以相互转换的，各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，只能从一种形式转换成另一种不能消灭，只能从一种形式转换成另一种形式，这一结论叫做能量守恒定律。形式，这一结论叫做能量守恒定律。 守恒定律的意义守恒定律的意义动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒能量守恒能量守恒特点和优点特点和优点：不追究过程：不追究过程细节而能对系统的状态下细节而能对系统的状态下结论。结论。意义意义：守恒定律的发现、：守恒定律的发现、

22、推广和修正推广和修正 能推动人们深能推动人们深入认识自然界。入认识自然界。1.0411P22-1一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动,有一力 作用在质点上,在该质点从坐标原点运动到(0, 2R)位置过程中,此力对它做的功为(A) F0R2(B) 2F0R2(C) 3 F0R2(D) 4F0R2)(0j yi xFFxyRO2.(本题3分)5019对功的概念有以下几种说法:(1)保守力做正功时,系统内相应的势能增加.(2)质点运动经一闭合路径,保守力对质点做的功为零.(3)作用力和反作用力大小相等方向相反, 所以两者所做的功的代数和必为零. 上述说法中(A)(1),(2)是正确的(B)(2),

23、(3)是正确的(C) 只有(2)是正确的(D)只有(3)是正确的.减少错，相互吸引力的功都是正的。3.0206P23-11两质量分别为m1、m2 的小球,用一倔强系数为k的轻弹簧相连,放在水平光滑桌面上,如图所示,今以等值反向的力分别作用于两小球时,若以两小球和弹簧为系统,则系统的(A)动量守恒,机械能守恒,(B)动量守恒,机械能不守恒,(C)动量不守恒,机械能守恒,(D)动量不守恒,机械能不守恒m2m1FF4.0221P23-10如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑桌面上, A和B之间连有一轻弹簧,另有质量为m1和m2物体C和D分别置于物体A和B上,且物体A 和C,B和D之间

24、的摩擦系数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B使轻弹簧被压缩.然后撤掉外力.则在A和B弹开的过程中,对A,B,C,D弹簧组成的系统(A)动量守恒,机械能守恒,(B)动量不守恒,机械能守恒,(C)动量不守恒,机械能不守恒,(D)动量守恒,机械能不一定守恒BACD可能产生滑动，摩擦力做功5.（本题3分） 0660 物体在恒力F作用下作直线运动，在时间t1内速度由0增加到v，在时间t2内由v增加到2v，设F在t1内做的功是A1 ，冲量是I1 ，在t2内做的功为A2 ，冲量是 I2 ，那么，（A） A2 = A1 ， I2 I1（B） A2 = A1 ， I2 I1 （C） A2 A1 , I2 = I1 （D） A2 A1 , I2 = I122122121mvmvA12vmvmI6