第二节二重积分的直角坐标的计算--1(讲稿)2012-4-1

1、（2012-6）设区域D由曲线 围成，则【 】（A）; (B) ; (C) ; (D) .提示：其中奇函数在对称区间上的积分为零.§9.2 二重积分-1 （在直角坐标系下二重积分的计算）教学目的：了解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握型区域与型区域上积分公式，能正确进行二次累次积分的直角坐标计算. 能交换二次累次积分的顺序.并能根据条件选择合适的方法计算积分.重点：能熟练正确地交换积分顺序；根据条件选择合适的方法计算积分.难点：选择合适的方法计算积分.交换积分顺序时的积分限的正确表示.教学方法:直观教学，启发式讲授教学过程：一、复习1.面积元素 2.二重积分

2、.3.【二重积分存在定理】 设是有界闭区域上的连续函数,则二重积分存在. 4.二重积分的几何意义(1)当被积函数时,二重积分表示以为顶,以为底面的曲顶柱体的体积(2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域上连续.1, 为常数.2.二重积分的线性性：设为常数则上述两式合并为.3(二重积分对区域可加性), .4, 为的面积.5(积分不等式) 若,则 .注意：若在上但等号不是恒成立，则有.推论: .6.【积分估值定理】设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，则 .其中为的面积.7.【积分中值定理】设函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得 .其中：为

3、的面积.8(特殊性质)设区域，且与关于轴对称；（1）当关于是偶函数即 时，有 .当关于是奇函数时即时，有 .(2) 类似有设区域，且与关于轴对称；当关于是偶函数时即时，有 .当关于是奇函数时即时，有 .例4 判断的正负.解：在区域上有且等号不恒成立，所以且等号不能恒成立，故 .例5 设，证明 .证明 因为 ，又因为 ，由积分的估值性质得 .结论：二重积分只有化为二次累次积分才能计算（即两次计算计算定积分）二、利用直角坐标系计算二重积分1先对后对的二次积分（型区域上的积分.）,其中: ,则.2先对后对的二次积分（型区域上的积分.）.其中:, .3. 重要结论：1)若，则2)若且，则 例1 计算,

4、由及围成.解 积分区域, 则 . 另解: .例2 计算二重积分,其中区域为由,围成的矩形.解: .注意：积分区域的特殊性以及被积函数的特殊性.4型区域与型区域(1) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时.(2) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时. (3) 对于任意区域,可将分成若干个型与型区域后分别积分：.例3 计算,由及围成.解 选择型区域计算 如图, 其中由及围成；由及围成.(1) ；(2).(此方法不好，太复杂了)（另一种解法）选择型区域计算则.5交换积分顺序上述的积分使我们看到积分顺序很重要，以下以实例说明如何交换积分顺序

5、.例4 设积分区域是由曲线与直线在第一象限内围成的封闭区域,求.（是初等函数但其没有初等原函数，即必须在型区域上进行积分）解积分区域可表示为 ,.（设积分区域是由曲线与直线在第一象限内围成的封闭区域,计算选用型区域上积分计算）练习：计算,是由直线及抛物线围成的区域.提示:此题用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分，交换积分顺序可计算.取型区域，则区域可表示为.练习 交换二次积分的次序: （1）解积分区域为,，积分区域还可以表示为 ,于是 原式.注意：选择计算顺序非常重要.例5 计算二重积分,其中区域为由,围成的位于第一象限内的图形.解 依题意选择型区域 .例6 计算二重积分,其中区域为由,围

6、成的图形.解 由根据图形,选择型区域.例7 试证 其中 均为常数，且.证 （注意积分区域）（交换顺序）.练习：(1)求证:提示:交换积分次序.（2）(06.7) 计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域.提示：注意积分的顺序，使其计算简单,故 .6.二重积分的几何应用例8 应用二重积分，求在平面上由与所围成的区域的面积.解 由二重积分的性质知两曲线所围成区域的面积为.【此题也可以用一重积分计算，如何算呢？】练习：计算下列曲线所围成的面积：, 解由,所围成的区域为,区域的面积为. 例9（1）求由,圆柱面 及抛物面 围成的曲顶柱体体积. 解 积分区域为显然关于轴对称，被积函数 关于均是偶函数，记则 （积分后合并得）【用递推公式做】.利用极坐标积分将很容易求出.（2）求由曲面 与所围立体的体积.提示：几何体是以为顶，底为 的几何体，两曲面在xoy平面上的投影区域为 ，故 所求几何体的体积为 （过程不全）.例10 某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜边临一条河.由于交通关系,城市发展不太均衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边