考研数学二模拟题

1、考研数学二模拟题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。22x(1)当 x 0 时，设 arctan x ,1 x 1(a 0) , o arcsintdt,把二个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是()(A), , ； (B)一；(C)一；(D),;(2)设函数f(x)在(，)内连续，在(,0) I 1(0,)内可导，函数y y(x)的图像为整理doc则其导数的图像为()(A)(B)(C)(D)若f(x)是奇函数,(x)是偶函数，则f (x)(A)必是奇函数(C)是非奇非偶函数(B)必是偶函数(

2、D)可能是奇函数也可能是偶函数ln(1 x) (axbx2)(A) a 1,b5一 ；(B)20,b2 ； (C) a 0,b5一;(D) a 1,b22(5)下列说法中正确的是(A)无界函数与无穷大的乘积必为无穷大;(B)无界函数与无穷小的乘积必为无穷小;(C)有界函数与无穷大之和必为无穷大；(D)无界函数与无界函数的乘积必无解；y p(x)y q(x)y f (x)的解,(6)设线性无关的函数M, y2, y都是二阶线性非齐次方程Ci,C2,C3为任意常数，则该方程的通解是(A)C1y1C2 y3C3y3 ；(B)C1 y1C2 y3(Ci C2)y3；(C) Ciyi C2y3 (1 C

3、i C2)y3； (D)Ci y1C2 y3(1 Ci C2)y3； 设A是n阶矩阵，齐次线性方程组(I) Ax 0有非零解，则非齐次线性方程组( II )ATxb ,对任何 b(bi,b2,|(bn)T(A)(C)不可能有唯一解;无解；(B)必有无穷多解；(D)可能有唯一解，也可能有无穷多解(8)设A,B均是n阶可逆矩阵，则行列式2 AT 0的值为(A) ( 2)nAIIB ;(B)2 AT B ；(C)2 A B(D) ( 2)2n|A|B二、填空题:914小题,每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。(9)已知yf 3x 23x 2f (x)arcsin x2,贝U 包 dx(10

4、)方程f (x t)dtXo f(t)dt满足f(0)0的特解为(11)2 (今 a2 ±)d b。其中D为x2y2 1。(12)设f (X)有一个原函数为_2f (x )dx(13)1右 f(t) limt 1 一xt2,则 f (t)=(14)设A是三阶矩阵，已知0, A 2E 0, A 3E0, B与A相似,则B的相似对角形为三、解答题1523小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)(本题满分10分)求妈(1(16)(本题满分110分)计算0dy2y22(x y )dx21dy2y0-2y 22(x y )dx 。(17)(本题满分10 分)设 f(X)在

5、0,1)连续，且 0f(X)dXlimXf (X)0。证明:至少0,，使得f ()(18)(本题满分10分)设函数z z(x, y)由方程F (Xz, -yz) y x0所确定,其中f有一阶连续偏导数，求x二X(19)(本题满分10分)一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线10x2.一 25y 一绕y轴的旋转面，容器的外高为 10,比重为一。把它铅直地浮在水中，再注入比重1019为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？(长度单位为厘米)(20)(本题满分11分)设g(x)f (x) ex xxx 0 ,其中f(x)在x 0处二阶可导,ax b x 0且 f (0) f (

6、0) 1。(I) a、b为何值时g(x)在x 0处连续？(II ) a、b为何值时g(x)在x 0处可导?1上任一点作椭圆的切线， 试求诸切线与两(21)(本题满分11分)过椭圆3x2 2xy 3y2坐标轴所围成的三角形面积的最小值。(22)(本题满分11分)设A是实矩阵。证明:(I)AT Ax 0与Ax 0是同解方程组；(II)秩(ATA)=秩口)(23)(本题满分 11分)设A为三阶方阵,1, 2, 3为三维线性无关列向量组，且有(I)求A的全部特征值。(II ) A是否可以对角化?考研数学二模拟题参考答案、选择题：18小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题

7、目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。(1) C解：由lim x2arcsin tdtlim -2limx 0 arctan x x 0x2arcsintdt02x arctan x2 -02x所以由 lim 一x 0limx 0,2arctan x(1 x)a 12.xlim 0x 0 ax。故C成立。B解：由于函数可导(除 x0)且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与且仅有两个交点，故 A, C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故(3) Bx轴有D不正确。解：设 g(x) f (x),贝U g( x) f ( x)f (x) g(x)(4) A加 ln(1 x) (

8、ax bx2)1/ (1 x) (a 2bx)八解：lim -T lim 2 ,因 lim x 0,则x 0xx 02xx 0lim1/ (1 x) (a 2bx) 0,故 a 1。而lxm0ln(1x) (x bx2)2xlimln1x 0x)2x1 一,所以b2【也可以用泰勒公式计算】，即 M2 M1 ,(5) C设 f(x)在(a, b)内有界，即 f(x) M1 ； x0 (a,b), lim g(x) x x使当0 x Xo时，g(x) M2。则g(x) f(x) g(x) f(x) M2 M1M,即对 M 0,当 0 x X0时，g(x) f (x) M ,故 ximm f (x)

9、 g(x)(6) D由yi, y2, y都是已知方程的线性无关的解知yC1( y1y3)C2(y2y3)是二阶线性齐次方程 y p(x)y q(x)y 0的通解;根据二阶线性方程通解的结构定理知,该方程的通解为yC1(yiy3)C2(y2y3)y3CiyiC2y3 (1 Ci C2)y3解:Ax0有非零解，充要条件是r(A)n ,由此即可找到答案。(8)解:AT00 B 1二、填空题：914小题,(9)应填32解:3x 2f?3x 22AT02B 12AT| 2B 1=(2)2n A B每小题f (x)4分，共24分。把答案填在题中的横线上。arcsin x2 得dy dx3x 2 2 arc

10、sin()3x 23x 23x 2).3x 2、2 arcsin()3x 2(3x12第dydx123一arcsin1 一42(10)应填f(x) 2( x 1) 2ex解：令xt u ,原方程变为xxx0 f (u)du 0 uf (u)dux0 f(t)dtx方程两边对x求导得0 f(u)dux2 f (x)再两边对x求导得f (x) 2x f (x),即出 y 2x dx2(x1) Cdxdxy e ( 2x)e dx C由y(0) 0得C2,f (x)2(x 1) 2ex.1(11)应填一(一24 a2F)d2(-2y2a22x_)db2 )db12)(xDy2)d12 a1ab12)

11、 b12)1r3dr0(12)应填 1(e21)1解：由 x 0_2f (x )dx2 -222 1x f (x )dx u x 210uf (u)du10xf (x)dx2其中 f(x) (ex )22xex利用分部积分法，有11o xf (x)dx ° xdf (x)xf(x)10f(x)dx22x ex2x2 e1 321故 0x f (x )dx (e1)故原式1xe0dxx2 2dx31e1)2(13)应填 2tet (1t2)2斛：由于f (t) t e所以fet2 (t2 2tt22t)2tet (t1)整理doc(14)应填 21形式不唯一，只要是对角线上为-1 ,

12、-2 , -3就对】解：由A E 0, A 2E 0, A 3E 0,知A的特征值为 11, 122, 33,相1,12,3，似矩阵具有相同的特征值，所以B的特征值也为11, 122, 33 ,故B相似的标准1形为 23三、解答题1523小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)(本题满分10分)解:2223X x /彳 xx x由。x -)e(1 x _)1 x222!3!33xx 1 61333 ox31 x (1 x )2 1 一 x2(1 x x2/2)ex .1 x3所以lim *x 0x31 lim - x 0x31(16)(本题满分10分)解：本题积分区域利用

13、极坐标表示D (r, )0,sin r 2sin 22sin1原式 d r 卜dr15sin d0 sin4 0154151645641 (1 2cos 2-cos4 、，)d2整理doc(17)(本题满分10分)证明：作函数 F(x) f(x) x,有1110F(x)dx 0f (x) xdx 0 f (x)dx0。所以由积分中值定理，存在a 0,1,1使 ° F (x)dx(1 0)F(a)0,即 F(a)0。又 limx x/a F(b)使0 , b由极限的保号性,存在 b即 F(b) 0。因此，由介值定理,至少存在一个a,b (0,),F()0,f()(18)(本题满分10分

14、)解：设xz u ,亭则xf(u,v) 0FuuxFvvxFu(- yx-) y xFv(当 丫z) 0解得:-fu yFuuyFvVyFu(xzyz-) yFv(-) x x y解得:xzyFu-Fv y/ -Fuy、Fv x所以z y一y4VxxzFu yxzFu 迄Fv y x/ -Fuy=0(19)(本题满分10分) 解：设容器体积为v ,容器的容积即由抛物线2 x101 在1,10上绕y轴旋转所得立体的体积V ,则1010V o 10ydy 500 , Vi1 10(y 1)dy 405252375所以，容器重量为(V V1)25 f751919设注入液体的最大深度为h,则注入液体的

15、重量为h 1 23 1 10(y 1)dy 15 h2若液体和容器形成一体的比重为1,则可保持其在水中不沉没2375所以，由9500h2一1,可得h2 25(20)解：(I ) lim g(x)x 0limx 0f(x) ex xxlim f (x) ex 1x 01limx 0g(x) lim( ax b)x 0若要g(x)在x 0处连续，必须lim g(x)x 0lim g(x) g(0)，即 bx 01,a为任意实数时，g(x)在x 0处连续。(II )若要g(x)在x 0处可导，则必须 g(x)在x 0处连续(b1),且 g (0) g (0)所以(0)lim g_°llim

16、 f(x) ex 2x ( 1)xx 0 xx 0x所以(0)limfHmx 0 xx 01 - f (x) f (0)2 x 0 xlimx 0ax 1 ( 1) a12f (0) 1，b1时,f (x) ex2xx.e 1lim x 0 xg(x)在 x1 lim f (x) f (0) 2x 0x1 r2f (0) 10处可导(21)(本题满分10分)解：设(x, y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x, y)处的切线方程(3x y)(X x) (x 3y)(Y y) 0它与两坐标轴的交点为(X 3y)y x,0和0,(3X y)X3x y '' x 3y所以切线与坐标轴

17、围成的三角形面积为G 1 (x 3y)y(3x y)Sx2 3x y x 3y则只须求(3x y)(x 3y)在条件设 F(x, y, ) (3x y)(x 3y)Fx 6x 10y 6 x 2 y 由 Fy 10x 6y 2 x 6 y 223x2 2xy 3y2 1 0解得x -, y -或x 44,八，11由此分别求的S或S42x 11-yr2|(3x y)(x 3y)|3x2 2xy 3y2 1下的极值即可。- 2_23x 2xy 3y 10011一, 一。22所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为(22)(本题满分11分)证明：若x0是Ax 0的解，显然x0是ATAx 0的解；反之，设x0是 AT Ax 0 的解，则 x0TATAx0 0。即(Ax0)TAx0 0,从而Ax0 2 (Ax0,A%) (Ax0)T Ax0 0 ,于是 Ax。 0 ,即 凡 是 Ax 0 的解。ATAx 0 与Ax 0是同解方程组(II )既然ATAx 0与Ax 0是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩(ATA) =秩(A)(23)(本题