绝对值不等式专题

1、绝对值不等式专题题目:简单绝对值不等式研究进阶重点:对不等式性质的深入研究难点:多绝对值符号不等式内容一、对于下例我们通常采取几何意义”法例1.求解关于x的不等式：1<|x-2|<3分析：将不等式的几何意义翻译如下：求数轴上到2这点距离绝对大于 1又小于等于3的显然画出数轴我们有:原不等式的解集-1,1) U (3,5。同样使用几何意义方法分析可以方便解决的问题还有下例这样的双绝对值不等式：例2:求解关于 x的不等式：|x+10|+|x-2|>4分析：用几何意义翻译如下：求数轴上到-10与到2的距离和小于 4的点看数轴-10, 2将数轴分成3部分，各点到这两点距离之和以-10

2、 , 2区间上的取值最小，为12。因此我们知道不等式左侧的最小值为12,恒大于4,由此我们有：原不等式的解集为Ro深入一步我们会想这样的问题：如果现在左侧是三个绝对值符号(或更多)，这样的不等式我们能不能解呢？答案是肯定的，对于处理绝对值符号的基本方法：分区间确定符号在这里仍然有效，无非是n个一次零点将数轴分成n+1段，逐段讨论。当然这里n较大时讨论的计算量也随之加大。那我们有没有简单直接的方法呢？首先我们有如下共识：不等式 f(x)>0的解集是函数y=f(x)图象在x轴上方对应的x的集合。 进而：不等式 f(x)>m(m 6 R)的解集是函数 y=f(x)图象在直线y=m上方对应

3、的x的集合。当然,f(x)<m情形类似，只 是考虑在直线y=m下方的x。所以求解不等式|x-x1| + |x-x2| + |x-x3|+|x-xn|>m其中xi(i=1,2,n)是常数的问题就转化成了，求作左侧函数图象的问题。这里我们不妨作出几个草图，从中观察一些规律。函数 yi=|x-2|V草图：1函数 y2=|x-2|+|x+1|草图：函数 y3=|x-2|+|x+1|+|x-1|.U草图：1函数 y4=|x-2|+|x+1 |+|x-1 |+|x+2|草图：函数 y5=|x-2|+|x+1 |+|x-1 |+|x+2|+|x-3|草图：1简单观察上述函数与其草图，加上对这些图

4、象外观的思考,函数 y=|X-X i| + |x-x 2|+|X-Xn|的图象宏观上看呈”型我们不难发现如下的一些规律:当n=2k (k 6 Z+)时，图象为 平底”型，即在一个区间上取最小值；当n=2k+1 (k Z+或k=0)图象为 尖底”型，即在某个点取最小值。在相邻两个xi和xj之间图象为线段，我们称之为分段线性所以，求不等式的问题已经转化成”型图象与直线y=m相互关系的问题。对于不等式y>m,若方程y=m有两个根，则解集仍满足所得大于在两边，小于在中间 ”的规律。对于多绝对值符号不等式的研究我们暂告段落，看下面一个例子：2请-I例3:求解关于x的不等式：|耳|<32Z分析

5、一：将绝对值符号内的分式上当作一个整体来分析， 转化为最简绝对值不等式|X|<3,故有：2r-l-3<*<3,而这是一个分式不等式组，对其求解我们没有研究过。分析二：|， 尸 <3将之视为多绝对值问题，将数轴按0,金分成三段:原不等式解集x<-1或x>5 分析三：当x/0时,|x|>0不等式两边同乘|x|2x-1|<3|x|两边平方(2x-1)2<(3x)2(2x-1-3x)(2x-1+3x)<0画二次函数草图：1二次不等式解集即原不等式解集为：x|x<-1或X>5 。本周练习1 .求解下列不等式：|x-2|+|x+2|&

6、lt;10|x-3|-|x+3|>2£32 .如果关于的不等式|ax+1| £曲解集是：<x4，求a, bo3 .解关于x的不等式|ax-2|<4 o二.解绝对值不等式例1：解不等式卜7 + k +2M分析和解：为了去掉不等式左端的绝对值符号，我们应首先找到使每个绝对值等于零的X值，解 |x-1|=0 得 x=1 ,解 |x+2|=0 得 x=-2 o.,-2(1,/.当工)对，有x-2,这时工一 1和工斗？都是正数；当-2工附，有t 和工4 2州;当W-2时,1和t + 2都有负数 于是我们有如下的解法：Q注工3的,康不等式化为工 一 1 + 工 4 2

7、<5其解为1 <式？(2谓-2 4式1时，原不等式化为1一 h十工十25其解为-2 W(3造工-2时原不等式化为1 jt - x - 2(5其解为- 3 < x < -2综合上述，不等式|x-1|+|x+2|<5的解是-3<x<2。小结：含有两个和两上以上绝对值式子的不等式的解法是：1、找零点，分区间；2、在每个区间上解去掉绝对值符号的不等式；3、把各个区间上的解拼在一起（即求它们的并集），就得到原不等式的解。例2:求|X-1|+|X+2|的最小值。分析和解：根据绝对值的意义，|X-1|就是数轴上表示 X点到表示1点的距离;2就是数轴上表示X的点P和表

8、示-2的点A的距离与这个表示X的点P和表示1的点B的距离之和。易知，表示-2的点A与表示1的点B的距离是3,当表示X的点P落在线段AB的外部（即 点P在B点的右侧或 P点在A点的左侧）时，P、A距离与P、B的距离之和大于 A、B的距离； 当点P东落在线段 AB的内部时，P、A的距离与P、B的距离之和恰好等于 A、B的距离。 对数轴上任意一点 P总有PA+P用AB ,当P在线段AB内部（包括端点）时取等号。-1|+ |x+ 2最小值是3,当且仅当T 4及，时,卜-1卜卜+ 2| - 3小结：解含有绝对值符号的不等式的基本思路是想办法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号 的不等式。去掉绝对值的方法

9、很多，我们讲了以下两种：1、根据绝对值的意义|x-a|就是数轴上表示 x的点P与表示a的点A之间的距离。2、根据去掉绝对值符号的法则：正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反 数。即当了一4 2阿卜一 -x-a当;r（附, - 4 - a- x在解决具体的问题时，可从上述两种方法中选取对某个题来说是较方便的一种，无论哪种 方法，与数轴相联系，都会使问题或它的解变得直观，有利于思考。绝对值不等式练习:1、解不等式2、解不等式3、解不等式4、解不等式|z| 2 2|3工-2卜4卜 10| + |x- 2,4卜一3|叶7k2答案或提示:3、全体实数I40X4、无解解一元二次不等式【教学目的

10、】：熟悉一元二次不等式与一元二次方程及二次函数之间的自然联系，并利用 这种联系会讨论含有字母系数的一元二次不等式的解集问题。【重点】：掌握含有字母系数的一元二次不等式的求解问题。【难点】：分类讨论的原则及方法的掌握。因一元二次不等式的解集与一元二次方程及二次函数的性质密切相关，则解一元二次不等 式的标准形式，可以利用判别式和函数的图象进行。本节主要讨论含有字母系数的一元二次不 等式的求解问题，并通过对实例的分析解答，归纳出解决系数含有字母的一元二次不等式的求 解方法步骤。例1、解关于x的不等式+3”叫分析：本题所给不等式的形式虽表面上是一元二次不等式的一般形式，但未必一定是一元二次不等式，因

11、a未限定，若a=0时,便不是一元二次不等式了 ，因此分为4 . 0和”。两大类,当叱。时为一元二次不等式，利用判别式并结合图形便可获得解集。解：a>0可分为3种情形:(1)当A>0；工>。时对于方程°的两个根(2)当0 = £:不等式的解集为:土2g三w土彳三_时r对于方程曰V +以+白。J CK ='有两个相等实根， 此时,不等式的解集为:卜康)0A<00/ - 4北 0时，对于方程；不等式的解集为：KWRa>0时所对应的图象如下:a< 0也分为三种情形:(4)当限<0|A>0 =«0队4Go时对于樱.十取

12、20的两个根。-由士 n/Z2a,不等式的解集M誓，¥)(5)当r<o b2 -4ac K 0时，结合图象可得:不等式的解集为a<0所对应的图象如下:a=0时，不等式可化为：bx< c若b>0时，不等式解集为:白工0时,不等式解集为若若b=0时，不等式变为 0> c。当c>0时，不等式解集为xwR当时,不等式解集为0。评述：1、解一元二次不等式要习惯于结合二次函数的图象，这样可简化求解过程采用它来 验证结果的准确性。2、若a=0时则转化成含有字母系数的一元一次不等式型的不等式的求解问题，此时，不可 轻易下结论，认认真真地对待每一个字母取值的分类。例

13、2、解关于x的不等式 2* 4 2ax °解：若"；一二土 =-4a = 4式a - 1)4时求二粮,2(1)当a a - 1) R。a占 M8一0匕,(4 -1)a - 1)工厘十 J晔 1) I.不等式的解集为二0 = c：；:0 =厂瓯根知:不等式的解集为>|工.1厘0<0 =n口<1时，方程无实根| a （a -不等式的解集为五时求二眼2 =吧叵三 - m （色一 0 > 口+也（0一 °:不等式的解集为笈。十仙 一 I） /口一杀（。- D<五<若a=0时，不等式为：1 >0为绝对不等式，解集为 了E反。评述：因

14、本题中系数只含有一个字母，因此在确定不等式的解集时一定要先确定出字母的 取值范围。例3、解关于x的不等式矶"+工，）分析：先将所给不等式化成一元二次不等式的标准形式，然后，看看能否分解因式，若能, 则先分解因式。因为若能分解因式的话，对于一元二次方程的判别式为大于等于零。解：原不等式可化为分解因式 J，-相应方程的两根为 a与口,。若/戊d -就。O 金(也 - 1)0O迂。或鼻1a = d O a =。或曰=14ys O 0由1:当厘0或白1时,解集为3或J胤当a=0或1时，解集为M " U或"1当.一.,一一.1 ,而且能分解因式，这给解评论：这是一个比较特殊

15、的一元二次不等式，即二次项系数为 题带来很大方便。归纳：总结上面实例，归纳出讨论一般含有字母系数：一元二次方程解集基本步骤：(1)定型：化成标准形式；(2)定开口:看最高次项系数的取值范围；(3)根的判别式：若能分解因式的话，则可以不考虑判别式，因此时的判别式必大于等于令；(4)比较根的大小；(5)结合图象写出解集。注意：解含有字母系数：一元二次不等式，必定要伴随着分类讨论，而分类讨论”是学生难以把握的，因此，在使用中要反复重申分类讨论”的基本原则，其一是能不分就不分；其二是若不分类则无法进行下去。使分类讨论问题变成一种非常自然而然的解题程序。£ £例4：已知ax2+2x+

16、c0的解为-3 x飞,试求a,c,并解不等式-cx2+2x-a0。£ £解：解为口 x5的不等式是1 1 1 1 '(x- 2 )(x+ 3 )<0 ,即 x2- x_ 6 <q两边同乘以(-12)得:-12x 2+2x+2>0 o该不等式与ax2+2x+c>0同解，将这两个不等式比较系数后得:a=-12,c=2 o不等式-cx2+2x-a>0,IP-2x2+2x+12>0 o 解得-2<x<3。例5:设不等式ax2+bx+c>0的解集是x|a<x<b(0<a<b),试求不等式cx2+bx

17、+a<0的解集。分析：如图，因为不等式ax2+bx+c>0的解集是xa<x<b,根据二次函数的图象可以推断，抛物线y=ax 2+bx+c的开口向下，并且与x轴相交于x=a与x=b两点。解：因为ax2+bx+c>0的解集是x|a<x<b(0<a<b),所以a<0,并且a,b是方程ax2+bx+c=0的两 个正根，于是有b ca+b=- a >0, ab= 口 >0 ；并可推得b>0,c<0 o11_« + #_b 1 1_ 1 _a1S 邛c>0, & f 切 a>0。£ 1J_ £故“步恰好是方程cx2+bx+a=0的两个正根，并且0<,期o故不等式cx2+bx+a<