北师大版高中数学必修4第三章

1、北师大版高中数学必修4第三章 三角恒等变形高一数学备课组 复备人_北师大版高中数学必修4第三章 三角恒等变形教案扶风高中高一数学备课组§3.1 同角三角函数的关系（2课时）一、教学目标：【知识与技能】（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算；（3）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；（4）运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。【过程与方法】回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在

2、具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。【情感态度价值观】通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。二、教学重、难点 重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。三、学法与教学用具在初中，学生已经见过同角三角函数之间的关系，在高中就要求学生能对这些关系进行证明，最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，

3、本节课通过例题讲评和学生练习的形式开展教学。教学用具:投影机、三角板四、教学思路 【创设情境，揭示课题】同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。第一课时【探究新知】在初中我们已经知道，对于同一个锐角，存在关系式： 理论证明：（采用定义）注意：1°“同角”的概念与角的表达形式无关， 如： 2°上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。 3°据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，

4、最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。【巩固深化，发展思维】1例题讲评例1已知sin，且在第三象限，求cos和tan.解： cos21sin21()2 又在第三象限，cos0 cos，tan例2已知解：若a在第一、二象限，则 若a在第三、四象限，则例3化简： 解：原式例4求证： 证一： （利用平方关系）证二： （利用比例关系）证三： （作差）2学生课堂练习教材p113练习1和p114练习2五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你

5、在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业教材p115习题中3-1 16七、课后反思 （第二课时）一、 复习回顾1. 2.条件成立条件为任意角成立条件为二、 新授三、 练习p114 1、2四、 小结注意：1的变化 式子成立的条件五、 作业p115 a 6六、 课后反思 3.2.1两角差的余弦函数 3.2.2两角和的正、余弦函数一.教学目标：【知识与技能】（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、

6、探求的学习态度，强化学生的参与意识.【过程与方法】通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.【情感态度价值观】通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的

7、过程. (3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【创设情境】思考:如何求cos（450-300）的值.【探究新知】1思考:如何用任意角与 的正弦、余弦来表示cos(-)？你认为会是cos(-)=cos-cos吗? 展示课件在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3-2）.学生思考：以上推导是否有不严谨之处？教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对与为锐角的情况，但与为任意角时上述过程还成立吗？当-是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角0，2），使cos=cos(-) 若0， ，则= cos=cos(

8、-) 若,2)，则2 -0， ，且=cos(2-)=cos=cos(-).结论归纳: 对任意角与都有cos=cos·cos+sin·sin这个公式称为：差角的余弦公式 注意：1.公式的结构特点2.对于,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos()展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.利用差角余弦公式求cos的值分析: cos= cos= cos= cos思考：你会求sin的值吗?例2.已知cos , ,求cos的值.【巩固深化，发展思维】1.cos·cos+sin·sin= .2.cos·cos+sin·sin=

9、 .3.已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值. 展示投影思考：如何利用差角余弦公式导出下列式子：cos= cos·cos- sin·sinsin=sin·cos cos ·sinsin=cos·coscos ·sin (可让学生自己讲解，教师只是适当点拨而已)展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例3.已知sin，cos求cos，sin的值.思考题：已知、都是锐角, cos，cos求cos.学习小结.两角差的余弦公式：cos=co

10、s·cos+sin·sin .两角和的余弦公式：cos= cos·cos- sin·sin 两角和的正弦公式： sin=sin·cos cos ·sin 两角差的正弦公式： sin=cos·coscos ·sin .注意公式的结构特点五、评价设计1作业：习题3-2 a组第1,2,3题 2（备选题）：求证：cosa+sina=2sin(+a)证一：左边=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右边 （构造辅助角）证二：右边=2(sincosa+cos sina)=2(co

11、sa+ sina)= cosa+sina=左边3、进一步理解这四个公式的特点六、课后反思：3.2.3两角和与差的正切函数（1课时）一、教学目标：【知识与技能】（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.【过程与方法】借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.【情感态度价值观】通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有

12、了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 重点: 公式的应用.难点: 公式的推导.三、学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。教学用具:电脑、投影机四、教学设想 【探究新知】1两角和与差的正切公式 ta+b ,ta-b问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tana，tanb表示tan(a+b)和tan(a-b)吗？（让学生回答） 展示投影 cos (a+b)¹0tan(a+b

13、)=tan(a+b)= 当cosacosb¹0时分子分母同时除以cosacosb得：tan(a-b)=以-b代b得：2运用此公式应注意些什么？（让学生回答）展示投影 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2°注意公式的结构，尤其是符号。）展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.求tan15°，tan75°及cot15°的值：解：1° tan15°= tan(45°-

14、30°)= 2° tan75°= tan(45°+30°)= 3° cot15°= cot(45°-30°)= （为什么？）例2.（见课本p119例4）例3.已知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0°<a<90°, 90°<b<180°.解：cot(a-b)= tan(a+b)=又0°<a<90°, 90°<b<180° 90°<

15、a+b<270° a+b=135°例4. 求下列各式的值：1° 2° tan17°+tan28°+tan17°tan28° 解：1°原式= 2° tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28° 原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1 展示投影练习教材p120第1、2、3、4

16、题.学习小结1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2注意公式的结构，尤其是符号。五、评价设计作业：习题3-2 a组第4、5、6、7、8题六、课后反思：3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函数（两课时）一.教学目标：1.【知识与技能】（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养

17、学生综合分析能力.2.【过程与方法】让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.【情感态度价值观】通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.三.学法与教学用具 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐

18、美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想 【探究新知】1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式：展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）3特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用. 展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值：sin2

19、2°30cos22°30=例2.化简例3、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。 解： sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 展示投影思考：你能否有办法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sina、cosa和tana分别表示sin3a，cos3a，tan3a.展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例4. cos20°cos40°cos80° = 例5.求函数的值域. 解： 降次展示投影学生练习：教材p123练习第1、2、3题

20、展示投影思考（学生思考，学生做，教师适当提示）你能够证明： 证：1°在 中，以a代2a，代a 即得： 2°在 中，以a代2a，代a 即得： 3°以上结果相除得：展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1°左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。 2°公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆） 4°还有一个有用的公式：（课后自己证）展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例6.已知cos，求的值.例7.求cos的值.例8.已知

21、sin，求的值.展示投影练习教材p125练习第1、2、3题.学习小结1公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）.3特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用.4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的结构，尤其是符号.五、评价设计作业：习题3-3 a组第1、2、3、4题六、课后反思：第三章 三角恒等变形复习课（2课时）第一部分：基础知识基本公式一、两角和与差公式及规律 常见变形 二、二倍角公式及规律 常见变形四、学习本章应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.第二部分：基本技能与基本数学思想方法整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；角度配凑方法 如等;方程思想；消参数思想；“1”的代换；关于间的互相转化；关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化；配凑辅助角公式:一般地，其中9、关于已知条件是的求值、化简、证明的