第七章 运筹学 存贮论

1、第七章 存贮论(存储论,库存论) (Inventory theory)n引言n经济订货批量的存贮模型n具有约束条件的存贮模型n具有价格折扣优惠的存贮模型n单时期的随机存贮模型n教学目的与要求:在掌握EOQ公式的基础上,学会几种存储模型的求解方法及存储策略,并会用WinQSB求解存储问题.n重点与难点:EOQ公式及几个简单模型,难点是公式太多,难于记忆.n教学方法:以分析问题为主,公式推导为辅,结合WinQSB讲解.n思考题,讨论题,作业:本章习题.n参考资料:见前言.n学时分配:6学时.1.引言在生产和生活中,人们经常进行着各种个样的存贮活动,这是为了解决供应(或生产)与需求(或消费)之间不协

2、调或矛盾的一种手段.例如,一场战斗在很短时间内可能消毫几十万发炮弹,而兵工厂不可能在这么短的时间内生产那么多炮弹,这就是供需矛盾,为了解决这一矛盾,只能将军火工厂每天生产的炮弹储存到军火库内,以备战争发生时的需要.这种供需不协调的现象十分普遍,在农业,商业和物资领域大量存在.人们在解决这些矛盾时,很容易想到用存贮这个环节来协调供需之间的矛盾.我们可以把存贮看作中心,把供应与需求看作一个具有输入(供应)和输出(需求)的控制系统.存贮输入(供应)输出(需求)为什么要研究存贮问题?存贮量过大会有什么后果:1.由于不必要的存贮,增加了库存保管费及保管场地,而使产品价格增高;2.过高的存贮量占用了流动资

3、金使资金周转困难,降低了资金利用率;3.过量存贮降低了材料或产品的质量,甚至于产品过时,变质损坏.存贮量不足会有什么后果:1.由于原料不足可能会造成停工,停产等重大经济损失;2.因缺货失去销售机会,失去顾客;3.用频繁订货的方法以补充短缺的物资,这将增加订购费用.为了统一供,需和存贮诸方面的矛盾,就要对存贮系统进行分析.从获得最佳经济效益的目的出发,求出最佳订购批量,最佳订购周期,从而得到最佳存贮量,使整个存贮系统所支付的费用最少.用数学语言来说就是建立一个目标函数,这个目标函数是由总费用与定货批量或定货周期构成的,并求使得目标函数达到最小值的定货批量或定货周期.存储问题的基本概念存贮问题的基

4、本要素(1)需求率:指单位时间内对某种物品的需求量,以D表示.(2)定货批量:定货采用以一定数量物品为一批的方式进行,一次定货包含某种物品的数量称为批量,用Q表示.(3)定货间隔期:指两次定货之间的时间间隔,用t表示.(4)定货提前期:从提出定货到收到货物的时间间隔,用L表示.(5)存贮(定货)策略:指什么时间提出定货(对存储进行补充)以及定货(补充)的数量.几种常见的存储策略:t-循环策略:不论实际的存储状态如何,总是每隔一个固定的时间t,补充一个固定的存储量Q.(t,S)策略:每隔一个固定时间t补充一次,补充数量以补足一个固定的最大存储量S为准.因此每次补充的数量是不固定的,当存储余额为I

5、时,补充数量是Q=S-I.(s,S)策略:设s为定货点(或保险存储量,安全存储量,警戒点等).当存储余额为I,若Is则不对存储进行补充;若I s时,则对存储进行补充,补充数量Q=S-I.补充后的数量达到最大存储量S.(t,s,S)策略:在很多情况下,实际存储量需要通过盘点才能得知,若每隔一个固定时间t盘点一次,得知存储量为I,再根据I是否超过定货点s决定是否定货.与存贮问题有关的基本费用项目(1)一次费用或准备费用:每组织一次生产,定货或采购某种物品所必须的费用(如差旅费,手续费,检验费等).通常认为它与定购数量无关.但是,分配到每件物品上的费用随购买量的增加而减少,此费用用CD表示.(2)存

6、储费:包括仓库保管费,占用流动资金的利息,保险金,存贮物品的变质损失费等.以每件存贮物在单位时间内所发生的费用,用CP表示.(3)缺货损失费:这是一种由于未及时满足顾客需要而产生的损失,包括两种情况,其一是顾客不愿意等待而损失一笔交易,进而影响企业的声誉.其二是顾客愿意等待稍后的供应而发生的处理过期定货的损失,用CS表示.在一个存贮问题中主要考虑两个量:供应(需求)量的多少;何时供应(需求),即量和期的问题.按这两个参数的确定性和随机性,可分为确定性存贮模型和随机性存贮模型.2.经济定货批量的存贮模型1.基本的EOQ(Economic order quality 经济定货批量,1915年,英国

7、,Harris)模型设一种物品的需求率D(件/年)是已知常数,并以批量Q供应给需求方,瞬间供货,不允许缺 货,货到后存在仓库中,并以速率D消耗掉.该类问题只考虑两种费用:定货费CD(元/次),存贮费CP(元/件年),试确定每次的定货批量为多少时,使全年的总费用为最少.解:先用图形表示这一过程QtT时间数量OTC表示全年发生的总费用,TOC表示全年内的定货费,TCC表示全年内的的存储费,n表示全年的平均定货次数,.QDn 平均存储量为 这是因为在时间t内的需求量为Dt,此时的库存量为Q-Dt,则平均库存量为.21Q.21,QCTCCQDCnCTOCPDD.212121)21(1)|21|(1)(

8、120200QQQDTQDTQTTDtQtTdtDtQTTTT.2.,2, 021,212DCCTCEOQQCDCQCQDCdQdTCTCQCQDCTCCTOCTCPDPDPDPD此时公式称为的最小值求.,2QDnDCCDQTPD最佳定货周期为例1 某商店有甲商品出售,每单位甲商品成本为500元,其存储费用每年为成本的20%,该商品每次的定购费为20元,顾客对甲商品的年需求量为365个,如不允许缺货,定货提前期为零,求最佳定购批量最小费用及最佳定货周期.解:./12),(12083651002022),(121003652022,/365,100%20500,20次天元单位年个DQTDCCTC

9、CDCQDCCPDPDPD如果定货方式不按上边的办法,而是采取任意一种方式,如每隔20天定货一次,每次定购20个单位,其总费用又如何呢?根据前边的证明可知,平均存贮量为 ,则在这种定购方式下,平均存贮量为10个单位,于是Q21).,(36525.1820),(25.1820365),(100010%20500元总费用为元每年的定购费为次每年的定购次数为元每年的存贮费为显然比按EOQ公式计算的结果要差.2.一般的EOQ模型时间库存oAAMBE1S2SCt1t2t3t4t在一般的EOQ模型中,允许库存发生短缺.生产部门按一定的速率P进行生产,需求部门的需求速率为D(PD)

10、,在 段,按速率P生产,如果在这段无需求量,则存贮量可达到 点,如果有需求量实际可达到A点.在 和 内生产停止,但需求仍按速率D进行,到达B点后存贮量为零,到C点发生最大短缺,从该点又恢复生产,到E点补上短缺量,并开始一个新的生产周期.设 为最大存贮量, 为最大短缺量, 为开始一个周期的生产准备费, 为单位产品在单位时间的存贮费, 为发生单位产品在单位时间短缺时的损失费,确定总费用为最小的最佳生产批量Q.1tA2t3t1S2SDCPCSC解:一个生产周期的长度为 ,若分别用OC,CC,SC表示一个周期的生产准备费,存贮费和短缺费,TC表示单位时间的平均费用,则4321tttt.)(2)(2),

11、(2),(2,43214322114321432211ttttttSCttSCCttttSCCCOCTCttSCSCttSCCCCOCSPDSPD2212121111,)(tDPPtttDPDtDttDPDtPtS所以因为)()(),(,)(32432132432134334432ttDPPDttttDQttDPPtttttDPPtttDPDttDPDtS,)(2)()(22322322323322tttCtCDPDPCttDPPtDPPDtCtDPPDtCCTCSPDsPD0)(22)(2)(0)(22)(2)(2322332232323222322322tCtCDtCttDPDPCtttT

12、CtCtCDtCttDPDPCtttTCSPSDSPPD解出.332tCCCttPPSSPDSPSPSPDSPPSDSPSPDSPPPDSPSPDCCPDCCDCTCCCCPDDCCDtSCCCPDDCCDtSPDCCCCDCQCCDCPDCCtCCDCPDCCt)1 (2,)()1 (2,)()1 (2,)1 ()(2)()1 (2,)()1 (23221233.定货提前期为零,允许缺货的EOQ模型设S为最大允许缺货量,在 时间间隔内,库存量是正值,在 时间间隔内发生短缺.每当新的一批零件到达,马上补足供应所短缺的数量S,然后将Q-S的物品储存在仓库.因此在这种情况下,最高的库存量是Q-S,

13、该模型总费用包括:定货费保管费 和短缺费用 ,现在确定经济批量Q及供应间隔期 ,使平均总费用最小.1t2tDCPCSCt时间数量OQSQS1t2tt解:.)(2,)(22,)(2, 0SPSPDSPSPDSPSPDSPSPDCDCCCCTCCCDCCSCCCDCCTCCCCCDCQEOQPD最佳定货周期最佳缺货量模型的公式可得由一般的因为例2 某百货公司对海尔电冰箱的年需求量为4900台,设每次定购费为50元,每台每年存储费为100元.如果允许缺货,每台每年的缺货损失费为200元,试求最佳存贮方案.解:./4900,/200,/100,/50年年台年台元年台元次元DCCCSPD).(57152

14、001002001005049002),(35. 6)(0174. 02001004900)200100(502)(28)200100(2004900100502),(85200100)200100(5049002元天年台台TCTSQ4.非瞬时进货,不允许缺货的EOQ模型时间库存AAOBS1t2tt.,21为最小内的费用周期使在的值及相应的确定最佳生产批量TCtSttQ公式如下:.)1 (2)(2,)1 (2)1 (2,)1 (221DCPDCDStDPPCDCDPStCPDDCSPDDCCTCPDCDCQPDPDPDPDPD注:P为生产速率,D为消耗速率,PD.例3 某企业每月需某产品100

15、件,由内部生产解决,设每月生产500件,每批装备费为5万元,每件每月存储费为0.4万元/件,求最佳生产批量及最小费用(计划期为一个月).解:D=100件/月,P=500件/月,CP=0.4万元/件,CD=5万元/次.件56)500/1001 (4 . 010052)/1 (2PDCDCQPD万元89.17500/1001 (1004 . 052)/1 (2PDDCCTCPD3.具有约束条件的存储模型如果在存贮模型中包含有多种物品,且定货批量受到仓库面积和资金等方面的限制,这样在考虑最优定货批量时需要增加必要的约束条件.现在只考虑仓库容量的限制条件.最小的数学模型为则使总费用定货费和保管费分别为

16、率为单位时间的需求零种物品的定货提前期为又设第应加上约束条件量时考虑各种物品的定货批则仓库的最大容量为物品占用的存储空间为种已知第物品的定货批量种为第设,.:,), 2 , 1(1iiPDiniiiiiCCDiWwQWwiniiQniQWwQtsQCQDCTCiniiiniiPiiDii, 1, 0. .21min11在不考虑约束条件时,如果用最佳定货批量公式算出的结果满足 式,则此时的各物品的最优定货批量已求出,否则应按拉格朗日乘数法求最优定货批量,即)0(21),(111niiiniiPiiDnWwQQCQDCQQLii002112WwQLwCQDCQLniiiiPiiDiiiiPiDiw

17、CDCQii22在具体计算时,可令 由 式求出 的值,将其代入 式,如果满足此式,则各物品的最佳定货批量已得到,否则,可逐步减小 值,一直到求出的 值代入 式满足为止.0iQiQ例4 考虑一个具有三种物品的存储问题,有关数据如下表,已知总的存储量为W=30立方米,试求各种物品的最佳定货批量.物品 1 2 3 10 5 15 2 4 4 0.3 0.1 0.2 1 1 1DCiDiPC)(3mwi解:当 时,由 可得iPiDiwCDCQii22. 5 .242 . 04152,201 . 0452, 5 .113 . 02102321QQQ:,305631其过程如下值进行试算现在减小即不满足此式

18、式代入iiiwQ0 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 10.0 9.0 8.2 7.6 14.1 11.5 10.0 8.9 17.3 14.9 13.4 12.2 41.4 35.4 31.6 28.71Q2Q3QiiiwQ31.13, 9, 8321QQQ4.具有价格折扣优惠的存贮模型生产或销售部门为鼓励用户加大定货批量,常常规定一次定货量达到规定数量时,给予价格折扣优惠.,.,.,132133222111QQQCCCCQQQCQQQCQQ若计算出经济定货批量价格折扣优惠先不考虑例不允许缺货的模型型为以瞬时进货较加总一起进行比短缺损失费同货物价格存贮费费就需把定货在计算最佳定

19、货批量时中其等等每件价格为时件价格为每时每件价格为时设定货量.,;,22121依此类推时的各项费用总和只须比较定货量为时若总和时的上述各项费用需比较定货量为QQQQQQQQ例5 (P230例6)某复印社每月约消耗 复印纸80箱，他从汇文批发站进货，每进一次货发生的固定费用200元。汇文批发站规定，一次购买量 箱时，每箱120元， 时，每箱119元，当 箱时，每箱118元。已知存储费为16元/年 箱，求该复印社每次进货的最佳批量，使全年的总费用为最少。4A300Q 300500Q500Q 解：960,200,16,22 200 960155.16DPDPDCCC DQC因为 ，故需将一次进货量同

20、 ， 时的全年总费用比较。1300QQ155Q 1300Q 2500Q 当 时，全年总费用为960120016 155960 120117678.701552元Q155当一次进货为 时，全年总费用为1Q300960120016 300960 1191172803002元当一次进货为 时，全年总费用为2Q500960120016 500960 1181176645002元最优决策：每次进货300箱，全年总费用最少。5.单时期的随机存贮模型所谓单时期的随机存贮模型,是指在一个周期内定货只进行一次,若未到期末货已售完也不再补充定货;若发生滞销,未售出的货应在期末处理.这类定货可重复进行,但在各周期之间定货量与销售量互相保持独立(报童问题）.设某种货物仅在每个时期的开始可提出定货.每件的单位成本为C,每件的售价为S,P(x)表示该产品需求量为x时的概率,每短缺一件产品的损失为CS,若到期末有未售出的产品时,每件的处理价为Cg(CgC).试求在该时期初的最优定货批量Q,使预期利润为最大