上海同济大学实验学校必修五第二章《解三角形》检测卷(含解析)

1、一、选择题4, c i . ? c a-b .1在abc中，sin尸歹，角a、8、c的对边分别为。、b、c ,则abc的形状为（）a.等边三角形c.等腰直角三角形b.d.等腰三角形直角三角形2.在左abc中，角a, b, c所对的边分别为。，b, cabc的面积为s,且45=b cosccbccosb, a + b = 2, c = g，则，=(tancv34a.b.61c.6d.v3123-在asc 中，a = 9 a = ,b = a/2 > 则 b =()63titi 1、3 兀b.c.一或4444.在abc 中，若a2-c2 +b2 =y/3ab 贝d c=().a.714d.a

2、. 45°b. 30°c. 60°d.120°5. a abc的内角a,8,c的对边分别为d,b,c,若 sin2 a + sin2 c - sin2 b = 5/3 sin asin c，。= 1,则 2q 2jc 的最小值为()a. -4b. -23c. -2d. -v36.在abc中，a, b,。分别为内角a，b, c所对的边，若b =也,3 = 60。，若abc仅有一个解，则。的取值范围是（）a.(0,v3u2b.。，：3c. i o，a 52d. 27.在abc中，a,b,c分别为三个内角a.b.c的对边，若acosa = bcosb9则abc

3、一定是（a.等腰三角形 三角形8.在abc 中,）b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角角a, b, c所对的边分别是。，b , c .己知。=3,b e 2a/3,3a/2 j,且 cr =3z?cosb + /?2 cos a，贝!j cos a 的取值范围为()13 32494b.'13 3、24'"c.2'4d.<13、s'"9.如图所示，在£）段中，a/在线段df上，de = 3, dm = em = 2, sinf = |,j,则边时的长为（）a.49761615c.4d.5710.在 aabc 中，

4、b = 30°,ac = 10,。是43边上的一点,cd = 2$，若zacd为锐角，徵。)的面积为20,则bc=()a. 25b. 3a/5c. 4、厅 11.在左abc中，角a, b, c的对边分别为。，b, c.己知a = 45。，。= 2,则b为()a. 60°b. 60。或 120。 c. 30°d. 30。或 150。12.已知abc 中，角 a, b , c 的对边分别为 , b , c , sin? b = sin asin c i = 1 + a/3，则 b () c a5兀a.6二、填空题71be 671c.371d213在g'已知半若

5、心20。为业的中点,则8的长为.14. 若a, b, c为 3bc的内角，满足sin a , sinc, sinb成等差数列，贝j cos c的最小值是15. 设角 a, b.c 是 mbc的三个内角，已知向量 /n = (sin a + sin c,sin b-sin a),n = (sin a - sin c, sin b),且 mln-则角 c 的大小为16. 已知 abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,若2ccosb = 2o + /?,且abc的面积为40,则3a2 + c2的最小值为17. 已知abc中，bc = 2,ab = 2ac9则abc面积的最大值为18.

6、在aabc中，£4 = 60。，且最大边与最小边是方程3x2-27x + 32 = 0的两个实根,则aabc的外接圆半径&外=.19. 在 abc中，a = 60°,z? = 12,sabc = 18/3 > 贝va+b+c _sin a+sinb+sinc20. 在aabc中，角a，b , c所对的边分别为。，b , c ,若1 = 4, c = 2,b = 60° ,则/? =, c =.三、解答题21. 巳知在abc中，角a, b, c所对边分别为a, b, c, (sin a一sin b)2 =sin2 c-sin asin b.(i) 求角

7、c的大小；(ii) 若 q = 3/?,求 cos(2b + c)的值.22. 在左abc中，角所对的边分别是a,b,c ,且 4cos(a+c)+ 2cos2b + 3 = 0.(1) 求角3；(2) 若。是的中点，ao = 4jl 43 = 8,求左abc的面积.23. abc的内角a、b、。的对边分别为。、b、c , 。= 4,面积s=/?csinb(1) 若zc = 60°，求s；(2) 若s = 25,求左abc的周长.3224. 在a8c中，角a,3,c所对的边分别为a,b,c,已知人=1,面积s= ,再从8 sin a以下两个条件中选择其中一个作为己知，求三角形的周长.

8、兀(1) b = _;6(2) b = c.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.25. 在左abc中，q,b,c分别为内角a b.c的对边，且2a sin a = (2b + c) sin b + (2c + b) sin c.(1) 求a的大小；(2) 若sin3 + sinc = l,试判abc断的形状.26. 已知a3c的内角a, b,。的对边分别为。，b，c ,向量m = (sin 人,an = (l,sin b)(1) 当 m*n = 2sina 时，求 z?的值；(2) 当 mil n 时，且 cosc =a ,求 tan a*tanb 的值.2【参考答案】*试卷处理标

9、记，请不要删除、选择题1. d解析：d【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出sinb = sinacosc,利用两角和的正弦公式可得出cos asin c = 0,求出a的值，即可得出结论.【详解】/ sin2 = -_= _- , :.b = acosc,由正弦定理可得sin5 = sin acosc,2 22。所以，sin a cos c = sin（a + c）= sin a cos c+cos asin c,则 cos asin c = 0 ,/0<c<,则sinc>0, .cosa = 0 ,71.0vavi, .a =，因此，abc为直角三角形.2故选：d.【点睛

10、】方法点睛：在解三角形的问题中，若己知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择边化角或角化边，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边；（2）若式子中含有。、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理边化角；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理角化边；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2. d解析：d【分析】4s由=b2 cosc + bccosb,利用面积公式和和差角公式求出角c,用余弦定理求出tan

11、cab,求出面积.【详解】45 - cos c 9因为: = b2 cos c + be cos b ,所以 2ab cos c = h2 cos c +he cos b，sine所以 2 sin a cos c = sin b cos c+sinc cos b,所以 cos c =上，sin c =22由 *。= 1 =疽+、一。2=（。+ 人）2_3 2汕,得汕=1,2 2ab2ah3所以s =上。力sin c =212故选：d【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考:从题目给出的条件，边角关系来选择；从式子结构来选择.3. c解析：c【分析】由正弦定理解三角即可求

12、出3【详解】 在左abc 中，a = 9 a b a/2 /6 a b所以=， sin a sin b1 =扼也即1 sinb，解得sinb =一22故b =-或主，44故选：c【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用，考查了运算能力，属于中档题.4. b解析：b【分析】根据余弦定理，可以求出c角的余弦值，进而根据。为三角形内角，解三角方程可以求出c角.【详解】. ct c'2 + b y/3cib，. 八 a2 +b2 -c2 v3 cos c = 2ab 2又c为三角形内角. c = 30°.故选b.【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题.5. a解析：a【分析】

13、 由sin2 a + sin2 c - sin2 b = 3 sin asin c，利用正弦定理和余弦定理，可得b = 再o/根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2q-20c=4cos ? + c，借 (37助角。的范围，即可求得结果.【详解】sin2 a + sin2 c 一 sin2 b =也sin asin c，, . ct + c'2 -，.a2 +c-b v3. .，2ac 2,- cos b -，又 0 <b7i,.b = £,26a c b 1 c sin a sinc sin b 兀 ，sin 6. a = 2 sin a, c- 2 si

14、n c，二 2。- 2右c = 4 sin a - 40 sin c=4 sin(b + c)- 4/3 sin c= 4sin(- + c)-4sinc= 4(-cosc + sin。一 40 sin c22k匕乙)=2cosc-2>/3 sinc/1厂右.a=4 coscsin c22 /(兀 、=4 cos c、3>因为0<c四，所以-<- + c< ,63 36所以当 + c = 7r时，2q-2jc取得最小值，且最小值为4故选：a.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦 型函数的最值问题，考查学生对这些知识

15、的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目 时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.6. a解析：a【分析】根据b = g，3 = 60。，由正弦定理得到。=竺竺= 2sina,然后作出函数y = 2sina的图象，将问题转化为，="与> =2sin a的图象只有一个交点求解.【详解】因为 b = g，8 = 60。，由正弦定理得因为ac（0,120。），y = 2sina的图象如图所示:v=2因为a3c仅有一个解，所以y = a与y = 2sina的图象只有

16、一个交点，所以 0 < q v v3 或。=2,故选：a【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方 法，属于中档题.7. d解析：d【分析】根据acosa = bcosb,利用正弦定理将边转化为角得到sin acos a = sin bcosb,然后 再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为"cos a = deos 8,由正弦定理得：sin a cos a = sin bcos b,所以 sin 2a = sin 2b，所以 2 a = 2b 或 2a = 一28,71即a=b或a+b=一2所以 abc-定是等腰三角形或直角三角形

17、，故选：d【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.8. b解析：b【分析】9 + 邑 _ 9由正弦定理进行边角互化可得c = ,由余弦定理可得com二屏 进而可求出h cos 一cos a的范围【详解】因为。=3, a2 = 3hcosb + b2 cosa，所以 a2 = abcosb + b2 cos a所以 sin2 a = sin asin bcos b + sin2 bcos a = sin bsin (a+g) = sin bsinc,9即疽=施=9,所以。习，则c°sa =u 81八b + c cl182hc因为b*也,3心所以屏£(12,18

18、),q 1y = x + 在(12,18)上递增，<75 45)t3,贝ij cos a e<244j故选:b【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用表示cosa.9. d解析：d【分析】利用余弦定理求得coszemd,由此求得coszemf ,进而求得sin zemf,利用正弦 定理求得段.【详解】92 ?2 321在三角形施w中，由余弦定理得cos zemd = =,2x2x28所以cose；，由于。ef =q 3争= 5$3 45所以sin/s局无苗=孕在三角形e/沥 中，由正弦定理得一=旦-=> sin aemf sin f故选：d【点睛】本小题

19、主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.10. c解析：c【分析】先利用面积公式计算出sinzacd,计算出cos匕4cd,运用余弦定理计算出ad,利用 正弦定理计算出sin a ,在 mbc中运用正弦定理求解出3c【详解】解：由aacd的面积公式可知，上acmdsin zacq =上102而sin zacd = 20,222ii 1可得sin/acd =苫，匕4cd为锐角，可得coszacd =寸；=茶在a4cd中,ad2 =1004-20-2.10.275= 80,即有 ad = m，ad cd2右x三由慕g=眼可得林=竺ad10xf ac bc r/ " acsina

20、赂，匚由=可知 bc = =4。5 sin b sin asinb 12故选c【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题.11. c解析：c【分析】根据正弦定理得到sin8 = 1,再根据a>b知a>8，得到答案.2【详解】根据正弦定理：一 =上，即sinb = -,根据a>b知a>3,故3 = 30。. sin a sinb2故选：c.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.12. b解析：b【分析】根据正弦定理，边角互化可得h2=ac再根据幺+ f _1顼,利用余弦定理求 c aac角.【详解】. sir? 3

21、 = sin asin c，.生=1，aca c 1 a2 +c2 -b2 仄.+ 1 = j3 ,c aac cos b =巫，又 b e/. b =.26故选:b.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13. 【分析】由条件求得利用正弦定理求得在中利用余弦定理即可求得【详 解】故由正弦定理知即解得在中所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关 键在于求出通过三角恒等变换求出利用余弦定理求解考查了运算能力属于中档 题解析：v5【分析】at)由条件求得sin3,sinc,利用正弦定理=求得ab ,在bcd中，利用余弦定 sin a si

22、n c理即可求得cd.【详解】25,/ cos b =, b e （0,兀）,sin b = jl - cos? b =,故 cos c = cos( -b) = cos cos b + sin sin b3面sin c = jl cos? c = jl -(44410bcab2后 _ 由正弦定理知 =即"布，sin a sinc210解得ab = 6,在bcd中,2 /zcd2 = bc2 + ad2-2bc- ad cos b = (25)2 +32-2x3x2v5x= 5所以cd = b故答案为：v5【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出cos8,利用余弦定理

23、求解c£>, 考查了运算能力，属于中档题.14. 【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号 所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应解析：|【分析】根据sina, sinc, sinb成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c = a+b,然后由+利用基本不等式求解.2ab2ab【详解】因为sin a , sinc, sinb成等差数列，所以 2 sin c = sin a+sin b,由正弦定理得2c = a+b,所以cose顼+屏仃=(。+)2*2_,la

24、b2ab>(a + b)2-c23c21 (a + b2c22,当且仅当ci = b时取等号，所以cos c的最小值是.2故答案为：2【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运 算求解的能力，属于中档题.15. 【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题解析：【分析】先利用m-n = 0得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cosc,即得角c.【详解】因 zn = (sin a+si

25、n c9 sin b - sin a) , n = (sin a - sin c, sin, 且扃 j, 云所以 m-n = (sin a+sin c)(sin a-sin c) + (sin b-sin a)sin b = 0即 sin2 a+sin之 b-sin2 c = sin asin b根据正弦定理得a2+b2-c2=ab2 j 22 i故根据余弦定理知cosc=a + c =-,又因为ce(o,)lab 2nc=-3tt故答案为：.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.16. 80【分析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积

26、公式有 再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由 及正弦定理可得.即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得当且 解析：80【分析】2由己知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有c = ，根据面积公式有油=16,再应 3用余弦定理可得*=疽+屏+16，结合目标式有3疽+2=402+02+16,利用基本不 等式即可求最小值；【详解】由 2ccos b = 2a+b及正弦定理可得 2sin ceos b = 2sin a+sin b,2sinccosb = 2sin(b + c) + sinb ,即 2sinbcosc+sinb = 0，又sinb>0,故cosc

27、= -,故c = .23因为abc的面积为4右，所以上渺sinc = 40,即_l泌x虫=4右，故油= 16,222由余弦定理可得 o'? =。 + 屏2qz?cos c =+ b” 2 x 16 x =。 + 屏 + 16,i 2j. 3«2 + c2 = 3ti2 + 6z2 + z?2 +16 = 46/2 + /?2 +16 > 4 +16 = 80，当且仅当 2ct = b =瑚 时等号成立，故3疽+。2的最小值为80故答案为：80.【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最 值；17. 【分析】设则根据面积公式得由

28、余弦定理求得代入化简由三角形三边关系 求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余 弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案4解析：【分析】设ac = x,则ab = 2x,根据面积公式得smbc=x1_cos2c ,由余弦定理求得cosc代 入化简smsc=j-(3x2-)2 ,由三角形三边关系求得|<x<2,由二次函数的性质v 9 1633求得sqbc取得最大值【详解】解：设ac = x,则ab = 2x,根据面积公式得smbc =上 acbcsin c = x*sin c = x - cos，c ,4x4x4 + 检4r2 4

29、 3%2 由余弦定理可得cosc =可得:sbc = xj'-cosc = xjl -(_2由二角形二边关系有：工+2x> 2 ,且人+2> 2x ,解得：< x< 2 , 3 故当x=a时，sbc取得最大值?，2 3故答案为:【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用.当涉及最值问题时，可考虑用函 数的单调性和定义域等问题，属于中档题.18. 【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a接着由正弦定理可得本题答案 【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定 理及韦达定理的综合应用解析:73【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a

30、,接着由正弦定理可得本题答案.【详解】32由题意得，b + c = 9.be =,3所以疽=+ c2 - 2z?ccos a = (b + c)2 - 2bc - 2z?ccos a = 81 -=49,得a 2 i o1 = 7,因为= 2r,即苫，得日=坐sin a32故答案为：213【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用.19. 【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理 可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用 属于中档题 解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.【详解】= lsina = lxl2xxc=

31、 180.c = 6由余弦定理可知"=ylb2+c2-2bccosa = j144+36-72 = 63 a + b + ca r- 2.=6v3x-= = 12sin a + sin b + sin c sin a j3故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.20. 【分析】由余弦定理直接进行计算即可得的值根据正弦定理可求结合大边 对大角可求的值【详解】解：由余弦定理得：则由正弦定理可得：为锐角故答 案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用考查计【分析】由余弦定理直接进行计算即可得z?的值，根据正弦定理可求sinc,结合

32、大边对大角可求c的值.【详解】解：.。=4, c = 2, b = 60° ,二由余弦定理得：i+ie = 16 + 4 2x4x2x； = 20 8 = 12,则人=2 jlb c由正弦定理=，sin b sin c2芸可得：sinc = w = t = >b 202故答案为：2也，6【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力.三、解答题71121. ( i ) ； (ii) 一一37【分析】(i) 利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.(h)利用正弦定理的边角互化可得sina = 3sinb,再由a+b = -/r求出tanb =虽,35再

33、利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】(i ). (sin a-sin b)2 = sin2 c-sin asin b.由正弦定理得(a-b)2=c2-ab9即a2+b2-c2=ab/. cos c =,2又.c e (0, tt)/. c = -；3(h) ,/ a = 3b,由正弦定理得sina = 3sinb,/. sin'z一g = 3sin8,3二 tanb =55sinb =巨,c°sb = 1414(be 0,一i 2 j sin2b = 2sinbcosb = ,cos2b = lcos(2b + c) = cos 2bcosc-sin 2bsin c = 一

34、； 22. (1) b = -； (2) 16a/3 .3【分析】(1) 利用诱导公式和二倍角公式化简已知等式可求得cosb,由be(o,7t)可得结果；(2) 在abd中利用余弦定理构造方程可求得8d，根据5皿=25、利用三角形 面积公式可求得结果.【详解】(1) a+c = 7i-b ,cos(a + c) = -cosb,由 4cos(a + c)+ 2cos2b+3 = 0 得：4cosb + 4cos2 3 2 + 3 = 0，即(2cos3 1)2=0,解得：cosb = ?,.腿(0*),:.b =三,(2)在a5d 中，由余弦定理得：ad2 = ab2 + bd2 -2ab-

35、bdcosb， 即 位)2-8bd + 16 =(bd-4)2=0,解得：bd = 4；qd为bc中点，1 sabc = 2s*bd = 2x x ab bdsin b = 8x4x = 16右23. (1)翠；(2) 26+42734+4.【分析】(1) 利用三角形的面积公式可得出q = 2b,利用余弦定理可求得人、。的值，再利用三 角形的面积公式可求得s；(2) 由已知条件可得sinb = ，由余弦定理得出cosb = 3" *6 ,结合6b16bsin2 b + cos2b = 1可求得。的值，由此可得出a3c的周长.【详解】（1）sdsinb*csina,所以，sina =

36、2sinb,冒=2们由余弦定理可得16 = cjw_2gsc = 4屏+屏-2屏=3屏，3 =孕8>/3cl =，3田井 < 1厂 184v383因it匕， s = absinc = x=x=x22v3v3 2（2）s = bcsin b = 4bsin b =,可得 sin b =36bcosb =±jl =竺匹lac16bsin由 sin2b + cos2b = l 可得与屏+16丫 i 16。j整理可得27矿-480z/+1088 = 0，即(3胪-8)("_134)= 0,解得b = 或,2应b =.3? 7当时，abc的周长为q + z? + c =

37、3z? + c = 2j + 4；3当人=仝坦时，abc 的周a + b + c = 3b + c = 2 + -3综上所述，abc的周长为2把+ 4或2v34 + 4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若己知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择边化角或角化边，变换原则如下：(1) 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理角化边；(2) 若式子中含有。、b、。的齐次式，优先考虑正弦定理边化角；(3) 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理角化边；(4) 代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.24. 2 + 3.【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得sinbsinc = -,再利用所选条件结合正弦4定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】由三角形的面积公式可知，s=-absinc92:.absinc =-，28sin a整理得 4z?sinasinc = a,由正弦定理得:4sinbsinasinc = sina,因为sinaoo, .4sinbsinc = l,sinbsinc =,471若选择条件（1）由b = -：得sinb = ,贝ijsinc = -,622jr9yr又a,b,c为三角形的内