【玩转压轴题】必考6：特殊三角形综合（解析版）-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编

1、【玩转压轴题】必考6:特殊三角形综合（解析版）一、单选题1.如图，点p, q, r分别在等边abc的三边上，且ap = 8q = cr,过点p, q, r分别作bc, c4,仙边的垂线，得到£段.若要求£段的面积，则只需知道（）a. 的长c. 的长d. op的长【答案】b【分析】 先证4def是等边三角形，可得qef的面积=-df2，设ap= bq=cr=a,ac=bc=ab=b,利用直角三角形的性质可求。f=y/3a ,即可求解.【详解】解：如图，设or交于/延长qf交ac于n,v /abc是等边三角形,.4=60。,.rj1ab,:.zaj7?=90°,

2、9;：pe±bcf 匕 8=60。，zjpd=30°f:.zpdj=zedf=60。,同法可证，zdef=zdfe=60°,:./def是等边三角形，:mef的面积=吏。尸2,4.ap=cr=bq,:.cq=arf在4arj和八c7vq中，za=zc=60°< zajr=zqnc=90。, ar=cq:./arj/cnq (人as),:.aj=cn,s ap=bq=cr=af ac=bc=ab=b9:.ar=b-ci,zarj=30%： aj =m = cn,狠二尽卜。)22.=当3 =空=快,22jd = = ®b-3、nf, v3 6

3、 rf = 2nf = bf),3 _ _ 后(b_a) y(b - 3ci) 也(b - 3ci).de =263.4def的面积=df2= ap2,4 4.只要知道ap的长，可求 def的面积,故选：b.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质, 利用参数求出of的长是本题的关键.2. 如图，在四边形 a8co中，ab/cd, ab±bd, ab = 5, bd = 4, cd = 3,点、e 是ac的中点，则能的长为（）.d5ra. 2b. -c. 5d. 32【答案】c【分析】延长be交co延长线于p,可证naebq/xcep,求出

4、。p,根据勾股定理求出bp的 长，从而求出的长.【详解】解：延长be交cd延长线于p,*：ab/cd,:.zeab=zecp,在aaeb和八cep中，zeab = zecpae = cezaeb = zcepa /aeb/cep (asa):.be=pe, cp=ab=5又 vcd=3,:.pd=2f,: bd = 4 bp = yjdp2 + bd2 = 25/. be=*bp= y/5 .故选：c.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等， 依据勾股定理求出bp.3. 几何原本关于毕达哥拉斯定理，欧几里德给出证明.如图，中,zacb = 90

5、76;, 以ac, bc, ab为边分别向外作正方形，连结co, ce,过c作cfa.de, 的 面积为s” 的面积为若s2=95, cf = 13,则正方形bcgh的边长（）d fea. 210b. 2而c. 3面d. 3而【答案】c【分析】过。作 dma.ac,过 e作 enlbc,设 cf 交人8 于 证明 amdvbca, £?他 丝 acb，分别得到dm = ac, ne=bc,分别得到§和52，根据s2 =95,可得bc = 3ac, 设ac = x9可求出c/和汽/,根据cf=13求出工值，从而可得3c.【详解】解：过。作dm±ac,延长c人交dw于

6、点过e作enlbc,设cf交a8于d fe. zdab = 90° ,zmad + zcab = 90° ,又zmad+ zmda = so°-zm =90° ,.zmda = zcab ,.在异枷与vbc4中，zmda = zcab< zm = zacb ,ad = ab/. 丝bga(aas),. dm = ac,同理，bve1 丝acb,.ne=bc,s =-ac dm =-ac2 f s, =-bc en = -bc2,22- 22. s? =9§ ,a bc2 =9ac2,即 bc = 3ac ,设 ac = x ,则 bc =

7、 3x, ab2 = ac2 + bc2 = x2 +9x2 =10x2,31 ab = yj(ix ' saatfc = ac = ' aaffc =cj ab ,cj 3x2 -v- >/10x = x, fj = ad = ab = >/10x,10 _3vio r- 13而 cf =x + /l ox =x = 13 ,1010，. x = vlo ,/.正方形 bcgh 边长 bc = 3x = 3710 .故选c.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是求出g/, k7得到cf.4. 如图，点a, 8是棱长为1

8、的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开， 则在展开图中，a, b两点间的距离是()c. $d. vio【答案】c【分析】连接43,根据r4 abc和勾股定理可得出两点间的距离.【详解】解：如图，在 abc 中，ac=f bc=2,国c. 2yf3cmd. 10cm可得：ab=7p+22 =>/5 ,故选：c.【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上人、b两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键.5. 如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点a爬到点b,周率勿取近似值3,则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（【答案】a【分析】首先画出示意图，连接人8,根据圆的周长公式算

9、出底面圆的周长，ac=yx底面圆的周长，再在rtmcb中利用勾股定理算出48的长即可，【详解】解：将圆柱体的侧面展开并过点8作bclae于点c.圆柱的底面直径为4c7,.人 £"=4" = 4x3 = 12ci,/. ac = ae = 6cm2在 r4 acb 中，ab2 =ac2+cb2 =6262 , ab = 6/2cm.蚂蚁爬行的最短的路线长是6屈m，故选:a.【点睛】此题主要考查了平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成 平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图 形上构造直角三角形解决问题.6.

10、 如图，已知nabcd的四个内角的平分线分别相交于点e, f, g, h,若af = 2fg,zabc - 60°,则s四边形efgh+s四边形mcd四边形的值（）ded.1b. 10【答案】a【分析】 由角平分线的性质、两直线平行同旁内角互补性质解得zafb = zefg = 90°,继而证明四边形 efgh 是矩形，设 egw,求得 4尸=2。，ab = aa,bf = 2gi, be = 3& ,ef =，作ck1ad于k,最后根据平行四边形与矩形的面积解题.【详解】解：在cjabcd中,.ad/bczabc+zbad = 180°.zabc = 6

11、0。./bad = 120。. af 平分 zbad, be 平分 zabcf"be = - zabc = -x 60° = 30°22zbaf = - abad = -(180-60°) = 60°22zafb = zefg = 9o。:.ze = 180°-zabc-zbcd = 180°-30°-60° = 90° 22同理可证 ze = zg = zehg = 90°.四边形efgh是矩形，:.ef = gh,fg = eh,设尸g=口，则 af = 2fg=2a,ab = 2

12、af = 4冬 bf = &f = 2 也cirt/bec 中，aebc = 30°eh ci, ch = 2a, ec 3a, bc - 6a:.be = y/3ec = 3 岛:.ef = be bf = 3用a 2/3a = y/ias矩形 efgh =fgfe = a,后a = y/3a2作 ck1ad 于 k,rlmjkdw，zadc = zabc = 60°, cd = ab = 4ack = cgn60sg = 2 屈:.s()abcd = bcck = 6a x 2 的a = 12/3a2s四边形efgh/s四边形abcd=应土2屈2=_!_,12故

13、选：a.【点睛】 本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30。角的直角三角形、正弦、平行 线的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”,它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形abcd9正方形efgh,正方形mnkt的面积分别为si, s2, s3.若5,4-5,4-53=21 ,则s?的值是（）deba. 9【答案】cc. 7d. 6【分析】 根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得 出答案.【详解】 解：.图中正方形abc

14、d,正方形efgh,正方形mna7的面积分别为si, s2, s3, :cg=ng, cf=dg=nf,si= (cg+og) 2 = cg2+dg2+2cg*dg = gr+2cgdg,si=gf2,s3= (ng - nf) a=ngnr-2ng,nf,vsi +s2+s3 = 21= gfucgdggngnf2 - 2ng,nf=3gfs2的值是：7.故选：c.【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，根据己知得出51+52+53=21 =g声+2cgog+g尸+ng2+w - 2ngnf=3gr是解决问题的关键.8.如图，在仙c中，zb = 2zc,以点a为圆心，长为半径作弧，交bc于点

15、交ac于点g；再分别以点3和点。为圆心，大于：砂的长为半轻作弧，两弧相交于 乙点e,作射线交于点f,若以点g为圆心，gc长为半径作两段弧，一段弧过点c,而另一段弧恰好经过点。，则此时匕。度数为（).a. 20°b. 30°c. 36°d. 40°【答案】c【分析】连接ad,通过等腰三角形性质，进行角的等量代换，由zadb + zadg + zgdc = 180 , 求解即可.【详解】解：如下图，连接ao.由作图可知，ae为bd的垂直平分线, ab = ad,. zb = zadb,又.zb = 2zc:.zadb = zb=2zc又： gc = gd,

16、ad = ag,:.zgdc = zc , zadg = zagdf又: zagd = zc+zgdc:.zagd = zadg = 2zc又/ zadb + zadg + zgdc = 180 , 5zc = 180s.zc = 36°故选：c【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质、三角形的外角性质等相关知识点, 根据图形找见相关的等量关系是解题关键.9.如图，在rtabc中，zacb = 90。,分别以ab 9 ac, bc为斜边作三个等腰直角zabd, aace , abcf，图中阴影部分的面积分别记为, 5, s”若已知rtabc的面积，则下列代数式中，一定能

17、求出确切值的代数式是（）a. 54【答案】a【分析】b. s + 54 s3c. s2+s3 + s4d. § + s2 - s3® ac-tn, bc=n,abc的面积为s,用含有m, 的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积,确定面积与/，"，s之间的关系，从而作出判断.【详解】15： ac=m, bc=n,abc的面积为s,v rtabc中，zacb = 90°,分别以ab , ac, bc为斜边作三个等腰直角,ace, abcf,.s= -mn , ab= vm2 + n2:.ae=ec= m , bf=cf= n, ad=bd=22&quo

18、t;厂""2-在直角三角形倒中，z. dc=ec-ed=h = 222 s4 = 1ae>ed=- x m x22 2故s4的值可以确定,a选项符合题意;设ac, 8。的交点为g,则 s3 + sadg = sxadc = cd ae x (m n) x m22- in1 - mn),4s + s"g = smdb = - ad2?9> ri .ri "7 + /?. b + 禹一e=+499+ /?-,45彳（厂-= +s，与有关系，故代数式的值不能确定,fg2 2 m + ""4-lb选项不符合题意;adgs3 + s

19、adg = (m2, s + ss( - 5 = + s ,4 252 + s3 + s4 = bf2 + s + si- -s = + s+s- -s = s,无法确定,224 24 24 2.c选项不符合题意;221牛与有关,.£）选项不符合题意;故选a.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补, 灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键.10.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）丙a.乙丙甲丁c. 丙乙甲丁【答案】a【分析】b.乙甲丙丁d

20、. 丙乙丁甲设最小的直角三角形的直角边长为1,根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长 度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小.【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，可以得出其余的边长分别为2, & 2后分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；甲图中重叠的线段和为：7+2后乙图中重叠的线段和为：5+2扼；丙图中重叠的线段和为5+32 ;丁图中重叠的线段和为：6+32 ;v 6 + 3v2 7 + 22 5 + 3/25 + 2/2，.乙 丙甲丁故选：a,【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和 越大，则周

21、长越小.二、填空题11 .如图，在 mbc中，zb = 18°, zc = 41°,点。是bc的中点，点e在ab上，将也沿庞折叠，若点的落点9在射线c4上，则e4与可。所夹锐角的度数是【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得bd = bd,dc = db，,山等腰三角形性质以及三角形外角定理求得z8庞'度数，在3od中根据 内角和即可求得ba与87）所夹锐角的度数.【详解】如下图，连接。& 84与&£相交于点0,.bde£wde,;.bd=bd,又： d为bc的中点，bd = dc ,.bd=/d,/

22、.zdbrc = zc = 41°,zbdb' = zdbc+zc = 82°,zbod = 180°-zb-匕 bdb' = 80°,即r4与月。所夹锐角的度数是80。故答案为：80°.【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和 定理，综合运用以上性质定理是解题的关键.12.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再试卷第14页，共40页拼成三个小正方形（阴影部分）.则图中的长应是【答

23、案】v2-1【分析】 根据裁剪和拼接的线段关系可知cd = g , bd = ce = 1,在rtacd中应用勾股定理即可求解.【详解】解：.地毯平均分成了 3份,.每一份的边长为也=毛,v3 3cd = g ,在rtmcd中，根据勾股定理可得ad = jcdh，根据裁剪可知bd = ce = 1,ab = ad-bd = >/i-2,故答案为：>/2 1 -【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键.13.如图，在mbc中，ab = ac, 4 = 70。，以点c为圆心，g4长为半径作弧，交直线3c于点p,连结ap,则zw 的度数是【答案】15。或75

24、。【分析】分点p在8c的延长线上，点p在的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案.【详解】解：当点户在的延长线上时，如图v ab = ac,以= 70。，zb = zacb = 70°. zcab = 40°.以点c为圆心，g4长为半径作孤，交直线于点p,:.ac=pc:.zp = zcap. zacb = zb + zcap = 70° zp = /cap = 35°zbap = abac + zcap = 40 + 35° = 75°当点p在cb的延长线上时，如图由得 zc = 70° , zg4b = 4

25、0°u：ac=pc. /p = zcap=55° zbap = cap-abac = 55 -40 = 15°故答案为：15。或75。【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键.14.如图，四边形abcd中，zabc = zcda = 90°9分别以它的四条边为斜边，向外 作等腰直角三角形，其中3个三角形面积分别为2, 5, 9,则第4个三角形面积为【答案】12【分析】 连接ac,先根据等腰直角三角形的面积公式、勾股定理可得abbcad2的值，再利 用勾股定理可得cd?的值，山此即可得.【详解】解：如图，连接ac,abe是等腰直

26、角三角形，且它的面积为5,:,-ae be = -ae2=5,艮p4e2=10,22ab2 = ae2 + be2 = 2ae2 = 20 ,同理可得：bc2 = 36, ad2 = 8 ,. zabc = zcda = 90° 9ab2 + bc2 = ac2 = ad2 + cd2,艮p 20 + 36 = 8 + cd2,解得c疔=48,在等腰 rtcdf 中，cd2 = cf2 + df2 = 2cf2,即 cf2=cd2=24,则等腰rt kdf的面积为=ct op =c 2 = = x 24 = 12 ,222故答案为：12.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理，熟

27、练掌握勾股定理是解题关键.15.如图，在aabc中，zacb=90°, ac<bc.分别以点a, 为圆心，大于! a8 的长为半径画弧，两弧交于o, e两点,直线。e交bc于点兄 连接以点a为 圆心，af为半径画弧，交8c延长线于点乩 连接若bc=3,则的周长 为【答案】6【分析】 根据作图可得of垂直平分线段利用线段垂直平分线的性质可得af = bf,再根 据等腰三角形的三线合一可得左afh的周长= af + ah + fh = 2（af-hcf）= 2（bf-i-cf）= 2bc 9 即可求解.【详解】解：由作图可得垂直平分线段:.af = bf,.以点人为圆心，af为半径

28、画孤，交bc延长线于点h, af = ahf:.af = ah = bf.ac上bh ,:.cf = ch ,:.afh 的周长= af + a/ + f7/ = 2（af + cf）= 2（8f + cf）= 2bc = 6,故答案为：6.【点睛】本题考查尺规作图一线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定 理是解题的关键.16. 如图，矩形abcd中,ab=1, ad=29 e为对角线bd上一个动点，过e作eflae 交bc于f.（1）当ae= 1时，ef的长为；（2）ef长的最小值为【答案】！ 季【分析】（1 ）根据矩形的性质，得到zfbe=zfeb，证明出左abf#3e

29、f,推出am1be, zabm=zbfm，得到abfsmxb,运用相似三角形对应边成比例得出结 论，（2）当aelbd时，点8与点f重合，此时ef为最小值，用勾股定理求出bd = y5, 由zabe=zdba, zaeb二zdab,得至ij/kaebsdab,再运用相似三角形对应边成 比例得出结论.【详解】解：（1）如图，连接人f交8e于点m,.四边形旭c。是矩形, zabc=zdab=90°f 9ab=ae=9:.zabe=zaeb,9：ae±ef,:.zaef=90°,:.zfbe=zfeb,:.bf=ef,在左abf和左aef中，u：ab=ae9 bf=ef

30、, af=aff：./abfaef csss),:.zbaf=zeaff am上be,:.zabm=zbfm,*： zbad=zfba=90°,:./xabfdab,.ab bf . = ，ad ab.1 bf =，21:.bf=ef=»故答案为：(2)如图，当aelbd时，点b与点尸重合，此时ef为最小值,(f)在rtl abd中，ab=f ad=2f由勾股定理得:bd = jf+22 =际，： zabe=zdba, zaeb=zdab,:./aebdabf.be ab. . i =,ab bdbe 1此时欧长的最小值为亚,5故答案为：季【点睛】 本题主要考查了矩形的性质

31、、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题关键在于运 用矩形的性质证明三角形全等，再证明出三角形相似，根据相似的性质得出结论.17. 等腰三角形abc中，过c作cdvab交ab边于点e,ab=ac=cdf连结ad并延长交c8延长线于点f,若db=5. bc=89则zafc=_, ab=【答案】45。；【分析】（1）要求nf的度数，要利用zadc是的外角，将其转化中巳知的两个等腰三 角形之中加以解决；（2）因为ab=cd,所以要求ab的长，需求cd的r即可，这样， 将未知量和已知量集中在dbc中，分别过点。、4作dmlfc于m,于n,借助于勾股定理求得cq的长，但需考虑问题本身没有给出图形，可能

32、需要分情况进行 讨论.【详解】解：（1）如图1所示，设zf = a,zdcf ="则 zadc = zf+/dcf = a*(3 .'：ac=cd9：.zcad=zadc=a + fi,cd lab,:.zabc+zdcf=90°,. zabc=90°- z dcf= 90°-/ ,u：ab=ac,.i zacb=zabc=9o°-j3. /acd = zacb -匕dcb = 9v - /3 - 0 = 90° - 2。.在 acd 中，zadc+ zdac+ zacd= 180°,v2 (a + 0) +90&#

33、176;-2/? = 180°. a = 45。.故答案为：45°.(2)过点。作dmlfc于m, an)fc于n分两种情况: 当点m在点b左侧时，如图2所示，f m b n c 图2zcan+zacb=90°f /ocm+nabc=90。，zacb=zabc,:.zcan=zdcm,dcm = -can在dcm 和c4n 中，wdmc = zcna = 90 ,cd = ac:.4dcm m caa a4s).:.dm =cn = -bc = 4.2.在 rgdbm 中，bm = ldb2-dm2 = /52-42 = 3 -:.cm=cb+bm=s+3=.在

34、rs dcm 中，dc = jcm，+dm2 =3+疽=应.:.ab=dc=y/yj . 当点m在点8右侧时，如图2所示,fb m nc图2此时，cm=cb-bm=s-3=59其它不变.在如。cm 中，dc = vcm2 + dm2 =52 +42 =741 -:.ab=dc=y/4 .综合、得，ab=4m或ji药.故答案为：或j137 .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类的 数学思想等知识点.熟知各种图形的性质是解题的基础，分类讨论是本题的关键.18. a abc 中，ab = 40, ac=6, £4 = 45。，折叠aabc,使点

35、 c 落在 ab 边上的 点。处，折痕ef交ac于点当点。由3向a连续移动过程中，点e经过的路径 长记为 m,贝!| bc=, m=.【答案】2妪20-12扼【分析】过b作bm1ac,垂足为m,求出cm长度，利用勾股定理即可求出bc长度, 分析。点的运动路径，分段计算出长度加在一起即可.【详解】解：过8作bmlac,垂足为m,如图1,v za=45°, ab=4,:bm=am=4,v2vac=6, / ca/=6-4=2,. bc = yjcm2 + bm2 = v22+42 =25： 由折叠知，ef垂直平分cd, .当。与8重合时，此时ae最小,如图2,作eig±4b,垂

36、足为g,连接e12,设 ae=x.4=45。,:.ag=eig=.eif垂直平分c8, / eb=ec=6-x9:.在 rt4 ei gb 中,£i b2=ei g2+gb2，即（6-x）2 =解得x=l,（舍去负值）aaei=l, .ed=ec,.当ae最大时，ec最短，led最短，.当edlab时，玖）为垂线段，取最小值,如图3,作e2d2±ab9垂足为庆，设 ae2=yf贝ij adi=d2e2=_v2-2v，v eif垂直平分c£h, e1d2=e2c,孚/ y= 12-6 v2，:.ae2=2-6y2.e从最近到最远走了 12-672-1 = 11-67

37、2 : 当。从z>2点继续向4移动，ed增加,.人£减小,当。与a重合时，如图4,图4此时&眼&。=¥。=捉6=3,.e从&到&运动了 12-672-3=9-672 ,.点e从ei,运动到&,再运动到&,路径长为11-67+9-675=20-1275,故答案为：25 ; 20-122 .【点睛】 本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，熟练掌握图形的翻折 变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，是解题的关键.19. 中，za=36°, n8是锐角.当n=72。时，我们可以如图作线段将mbc分成两

38、个小等三角形如果存在一条线段将a8c分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则匕8的角度还可以取到的有【答案】54°, 36°, 18°, 12°【分析】直线从a、8、c出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形 的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案.【详解】解：这条直线从人、b、c出发皆可，设n8 = x(/)假设从村出发，如下图： 当 bd=ad, ad=dc 0'j:.zb = zbad, zdac = zc/.180o-36°-x = 36°-x此时工的值不存在； 当 bd=

39、ad, aooc 时zb = zbad, zadc = adac. zadc = zb+abad = abac-abad:.2x = 36°-x解得：x = 12°； 当 bd=ad, ad=aczb = zbad, zadc = zc/ zadc = zb + z.bad = 2x, zc = 180°-x-36° = 144°-x.2x = 144°-x解得：x = 48°此时48° >36° ,此种情况不存在； 当 ab=ad, ad=dc bj*,zb = zadb, zadc = zc/z

40、bap = 180°-2x, zc = 180-x-36°. 180° - 2x = 36° - (180 - x - 36°)解得：x = 96° (不符合题意)()假设从8出发，如下图：d当 ad=bd, bd=bc rt /bqc = za + zab£> = 36。x 2 = 72。 zc = 72。, zb = 72。，此情况成立;ad=bd, bd=dc /bdc = 72。，z£>bc = x-36° /.x-36° = 180o-36°-x解得：x = 90

41、°,此时不成立;(m)假设从c出发，如下图:bd=dc, ac=dczadc = za = 36° = zb+zdcb = 2x解得：* = 18。，此时成立;bd=dc, ad=dczadc = 180。一 36。x 2 = 108。，zadc =+zdcb = 2x = 08°解得：工=54°，此时成立; bd=bc, ad=dc1 80。 %-nbdc"bcd =十,4 =圭。=36。，曷心za+zac。解得：x = 36。；综上所述，匕8的角度还可以取到的有54。、36。、12。、18°.故答案为：54°, 36&#

42、176;, 18°, 12°.【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情 况讨论，注意不要漏掉.20. 如图，在等腰直角三角形abc中，以= 90。，点d为ab的中点，一块45。的三角板底角与点q重合，并绕点。旋转，另外两边分别与ac和bc相交于点e,点f,在旋转过程中，恰好存在de = df,此时，bf = 2,则cf=【答案】4>/2-2【分析】过点。作dg1a c于点g,通过角度等量代换，证明 dbf栏zgd,进一步推导ag = dg=2,在rtadg中，根据勾股定理求得a。长度，转化求得ab、8c长度，根 据cf=b

43、c-bf,即可求得cf的长度.【详解】如下图：§nolhh7 .><6月"一|.。wuxln 富a' l 06 n h6 长卜uytoqya 长划2 彳ug 2寸告v -qqnczv. s寸h ady.06 n q¥g寸 n <1.ix0 蚩 hoa .。aoh" %a7 .m n ge 006 n 胃 & *1.n 二lha卷7 . 。a也07 n n.h7 .。备工nhxi z7&.x “ nhh7&.cf = bc-bf = 4y/i-2,故答案为：42-2【点睛】本题考查三角形的全等、等腰三角形的

44、性质、勾股定理等相关知识点，根据条件，准确 找到相关的条件是解题的关键点.三、解答题21. 已知：如图，点a、b、c、。在一条直线上，fb/ea交ec于h点,ea=fb,ab = cd."bcd(1) 求证：nacebdf ；(2) 若ch = bc,匕4 = 50。，求zd的度数.【答案】(1)见解析；(2) 80°【分析】(1) 由ea/fb,利用同位角相等可得/eac2bd.由ab = cd,利用等式性质可 得 ac = bd,可证 acebdf(sas)；(2) 由fb/ea可得ze4c = zfbz>50°,由ch = bc利用等角对等边，可求zh

45、bc = zbhc = 50。.利用三角形内角和可得zeca = 80°.利用vace4v位加性质， 可得 zec4 = zd = 80°.【详解】(1)证明：ve4/fb,.zeac = zfbd.ab = cd,ab + bc = cd+bc ,即 ac = bd,在 ace和股"'中，ac=bd. zeac = z.fbd ,ea = fb acebdf(sas).(2)解：fb/ea,:.zeac = zfbd=50。,: ch = bc,:.zhbc = £bhc = 50。.:.zeca = 180°-50°-50

46、° = 80°.,: naceibde,. zec4 = zd = 80°.【点睛】本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握 平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键.22. 1）门框的尺寸如图1, 一块长3m,宽2.1m的长方形薄板能否从门框内通过？请 通过计算进行说明.长为1.4m,现（2）放在墙角的立柜（图2）上下面是一个等腰直角三角形（图3）,要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道，能通过吗？请通过计算进行说明（参考数据:val.4, v5 «2.2)图1图2【答案】（1）能通过，理

47、由见解答；（2）能通过，理由见解答.【分析】（1）只要求出门框对角线的长再与己知薄木板的宽相比较即可得出答案；（2）根据等腰直角三角形可得cd«0.98m< 1.2m,可得a3边平行通道两边来平移立柜 就可以通过.【详解】解：（1）能，理由是：如图，连接ac,则ac与ab.构成直角三角形，1)2m根据勾股定理得,则 ac =加2 + 昭2 =+ 22 =好2.2，/2.1cm < 2.2cm ,二该长方形能从门框内通过（将该长方形的宽沿着ac斜着进去）；（2）能，理由是：在等腰直角三角形中（图3）,.腰长为1.4m,ab = v2ac = -v2（m）,:cdlab,cd

48、 = ： ab =普扼 a 0.98（m）,/0.98m < 1.2m,能通过（ab边平行通道两边来平移立柜就可以通过）.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理的应用.23. 如图，已知等边abc,在ac 9 bc边分别取点p, q,使ap = cqf连接aq, 相交于点。.(1) 求证：zvwp竺c4q(2) ap = -ac. 求器的值s 设mc的面积为s,四边形cpoq的面积为s"求寸的值.【答案】(1)见解析；(2)瓷=-¥ = ：【分析】(1) 由等边4abc,可得zbac=zacb=60°9 ab=a

49、c,己知 ap=c0 利用 sas 判定 可得结论；(2) 过点p作pd/bc,交a。于点。，利用平行线分线段成比例定理可得结论；设mbc的面积为。，连接pq,四边形cpoq的面积等于 opq的面积与 cpq 的面积之和，利用等高的三角形的面积比等于它们底的比，分别用。表示opq的面 积与cfq的面积，通过计算可得出结论.【详解】证明：.曲。是等边三角形，a zbac=zacb=60 ab=ac.ab = ac在牍夕？与caq 中，-bap = zacqfap = cq所以acaq.pd ap 1(2).-过点p作pd/bc,交a。于点。，如图，: pd/bc,pd ap 1 1.而pd =

50、cq ,又因为qc =、qb,所以pd二bq,2 6一 op pd 1 由于也况，所以=a.如图，连接pq，设s/w. ap = -acf3:.cp = -ac.3s a bpc=ci.3*：cq = -bc ,3 scpq=-sbpc=-a.3 94 sbpq= sbpc- spqc=-a .竺=_. ob 6， 0p_. .bp 711 44s opq=s bpq=x ci=ci77 9 634 22 s2=s0pq +scpq=ci + ci=ci.63972 . sl_，"_2.s2 一a7【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，利用高相同的三角形的面积的比等于底的比的性质表示出两个三角形的而积比是解题的关键.24. 已知：如图，在五边形 abcde 中，ab = ae, zb = ze, bc=ed.(1) 求证：abczaed .(2) 当ac!/de,匕at也= 40。时，求匕4cd的度数.【答案】(1)见解析；(2) 70°【分析】(1) 利用sas即可证明结论；(2) 结合(1)可得ac=a