误差分布与精指标PPT课件

1、第二章第二章 误差分布于精度指标误差分布于精度指标 2-1 随机变量的数字特征 2-2 正态分布 2-3 偶然误差的规律性 2-4 衡量精度的指标 2-5 精度、准确度与精确度 2-6 测量不确定度 小 结第1页/共66页2-1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一、数学期望E(X) 表示变量集中位置 性质E (C ) = C （ C 为常数）E (CX ) = CE (X ) 设X ，Y 是两个随机变量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) 第2页/共66页2-1 随机变量的数字特征随机变量的数字特

2、征 二、方差D(X) 表示随机变量偏离集中位置的离散程度 性质D (C ) = 0 (C 为常数)D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X )设X ，Y 是两个相互独立的随机变量 D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )计算方差的公式计算方差的公式：DX=E (X2) - E(X) 2定义式定义式：DX=E X-E(X) 2 第3页/共66页2-1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 三、协方差 表示两两随机变量X,Y相关程度 性质cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y)cov (X , Y ) = cov (Y , X )

3、 cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y ) cov(X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y )第4页/共66页2-1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 四、相关系数 性质：|XY| 101 正相关正相关=0 不相关不相关-10 负相关负相关第5页/共66页2-2 正态分布正态分布 一、一维正态分布 1.定义：若连续型随机变量x的概率密度函数为 其中参数是数学期望，是标准差，则称x服从正态分布，记作xexfx,21)(222)(x),(2Nx第6页/共66页2-2 正态分布正态分布 2.数字特征 E(X)= D(X)=20.5一定一定O

4、第7页/共66页2-2 正态分布正态分布 3.性质 曲线在x轴上方,与x轴不相交. 曲线关于直线x=对称 在x=时位于最高点0.512一定一定O第8页/共66页2-2 正态分布正态分布 当一定时， 曲线的形状由确定。越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中 拐点横坐标： x = E(x) = 0.512一定一定O第9页/共66页2-2 正态分布正态分布 4.3原则 P(- X +) 68.3% P(-2 X +2) 95.5% P(-3 X 限)=0 小误差占优性： P(|小|)P(|大|) 对称性 抵偿性：E()=0 或 1lim0niinn第2

5、2页/共66页2-3 偶然误差的规律性偶然误差的规律性 3.的密度函数 P() = f()d误差出现在某误差出现在某一区间内的概率一区间内的概率面面 积积2221( )2fe 的概率密度公式：的概率密度公式：N ( 0, 2 )第23页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标误差的区间误差的区间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495误差的区间误差的区间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.

6、20-0.400.40-0.600.60-0.80 0.0950.0810.0740.059 0.0880.0850.0690.064 和和0.1990.5010.6650.492 表表1 1的误差更接近零的附近，这一组误差分布的较为的误差更接近零的附近，这一组误差分布的较为密集，或者它的离散度小。密集，或者它的离散度小。表表 1表表 2v一、精度一、精度第24页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 0 0.4 0.60.8-0.8 -0.6 -0.4表表 1表表 2第25页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 1.定义 精度指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散度的大

7、小。 2.要点： (1)精度是用来描述偶然误差的，主要是指观测结果与数学期望的接近程度。可以从曲线的陡峭程度看出精度的高度。第26页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 (2)(2)一组观测值对应一种分布，所以这组观测值精一组观测值对应一种分布，所以这组观测值精度相同；不同观测值，分布不同，精度也就不同。度相同；不同观测值，分布不同，精度也就不同。误差的区间误差的区间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495误差

8、的区间误差的区间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.80 0.0950.0810.0740.059 0.0880.0850.0690.064 和和0.1990.501表表 1表表 2第27页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 3.衡量精度的方法 （1）直观法：分布表、直方图、误差分布曲线图 （2）精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差误差的区误差的区间间为负值为负值为正值为正值频率频率频率频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.

9、0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495第28页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 二、方差和中误差 1.定义 （1）方差：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其方差的定义为22221( )()( )limniinDEfdn ？第29页/共66页（2）中误差：方差的算数平方根定义为中）中误差：方差的算数平方根定义为中误差，即：误差，即：（3）如何衡量精度）如何衡量精度2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标)(2E拐拐 = +1- 1+2- 2越小，误差曲线越小，误差曲线越陡峭，误差分越陡峭，误差分布越密集，精度布越密集，精度越高。相

10、反，精越高。相反，精度越低。度越低。第30页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 2.理论值（定义值） 方差： 中误差：nnEDnniinlimlim)()(1222nnnniinlimlim12第31页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 3.估值方差：中误差：n2n第32页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 三、平均误差 1.定义：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其平均误差的定义为 nndfEnniinlim|lim)()(1 平均误差是一组独立的偶然误差平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。绝对值的算术平均值之极限值。第3

11、3页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 2.平均误差与中误差的关系547979. 0245253. 12第34页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标1|niinn w 3.3.平均误差的估值平均误差的估值214455niin第35页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 四、或然误差 1.定义：当观测误差出现在(-，+)之间的概率等于1/2 时，即 ， 则称为或然误差。21)(df f()0闭合差1150%第36页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 2.或然误差与中误差的关系 3.或然误差的估值计算 将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，

12、当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为或然误差。 在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。234826. 1,326745. 020.67453第37页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 中误差、平均误差、或然误差 当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏的反映大误差的影响 中误差有明确的几何意义 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系世界上各国采用中误差作为衡量精度的指标，世界上各国采用中误差作为衡量精度的指标，我国也采用中误差作为衡量精度的指标。我国也采用中误差作为衡量精度的指标。分布曲线的拐点坐标分布曲线的拐点坐

13、标第38页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 例例1.1.为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角的水平角= = 454500000000，作作1212次观测，结次观测，结果为：果为： 45450006 440006 445955 445955 445958 5958 454500040004 45450003 450003 450004 450004 450000 0000 444459585958 44 445959 445959 445959 455959 450006 0006 454500030003 设设没有误差，试求观测值的中误

14、差、平均误没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。差和或然误差。第39页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标编号编号123456789101112+6-5-2+4+3+40-2-1-1+6+32362541691604113691571573.6212137373.0812ni 2.44第40页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 例例2 2：为了比较两架经纬仪的观测精度，分别对同一角度进行了：为了比较两架经纬仪的观测精度，分别对同一角度进行了3030次观测，观测结果见课本表次观测，观测结果见课本表2-32-3，。改角，。改角已预先用精密经纬仪测定，其值为已预先用

15、精密经纬仪测定，其值为76764218.04218.0。设将此值作为改角的真值。试计算这两架经纬仪的中。设将此值作为改角的真值。试计算这两架经纬仪的中误差、平均误差和或然误差。误差、平均误差和或然误差。第41页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标解：根据表解：根据表2-32-3数据得数据得： 12，12，12 第二台经纬仪的精度高第二台经纬仪的精度高58. 13065.74193. 03086.25246. 1309 .43181. 0304 .24250 . 11 36 . 01 第42页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 四、极限误差 误差落在(-，+)，(-2，+2

16、)，(-3，+3)的概率分别为 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值限，并称为极限误差。%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(PPP限限 = 3()()( )()2 ( ) 1kkPkkPkkk 第43页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 中误差的统计意义 误差分布的离散度大小 对真误差做出区间估计第44页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 五、相对误差 相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。 与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等称为绝对误差。N1?Nssss11第45页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精

17、度的指标 例例3：有一段距离，其观测值及其中误差为有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m15mm。估计这个观测值的真误差。估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出它的相对中误的实际可能范围是多少？并求出它的相对中误差。差。 |3 |45mm，即，即-45mm45mm3111345.675*102304515ss第46页/共66页2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标 例例4：观测了两段距离，分别为：观测了两段距离，分别为1000m2cm和和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？是否相等？

18、它们的相对精度是否相同？ 真误差不一定相等真误差不一定相等 中误差相等中误差相等 相对精度不等相对精度不等第47页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 一、精度（precious） 1.协方差 （1）XY =YX （2）当Y=X时， XY = 2X （3）独立性 XY = 0 时，X与Y不相关，也就是说X与Y相互独立。cov(, )()( )XYX YE XE XYE Y第48页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 取值理论值：估值：11221limlim(.)nnxyXYxyxyxynnnn 1()iinxyiXYn 第49页/共66页2-5 精度

19、、准确度和精确度精度、准确度和精确度 2.观测向量的精度指标协方差阵11 212 12212,222()() nnnnnxx xx xx xxx xx xxTXnxnxXE XE XXE XD 特点特点 对称矩阵对称矩阵 正定矩阵正定矩阵 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，为等精度观测为等精度观测, ,为数量矩阵。为数量矩阵。第50页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 例：观测向量例：观测向量 的协方差阵的协方差阵 试写出观测值试写出观测值L L1 1,L,L2 2 和和L L3 3 的中误差以及协方差的

20、中误差以及协方差 3,34202930316XXD 1233,1TXLLL1 21 32 3L LL LL L、第51页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 3.互协方差阵 1() 11nn rrXXXYZZYXYYXDDZDDDY若，则1 211 12 122 212x yrx yrnnx yn rx yx yx yx yXYx yx yD其中两组观测值两组观测值间精度指标间精度指标第52页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 （1）定义式 （2） （3）n = r = 1时，互协方差阵就是X关于Y 的协方差阵 （4）DXY = 0 时，X与Y是相

21、互独立的观测向量()( ) TXYDE XE XYE YTXYYXDD第53页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 二、准确度 1.描述系统误差和粗差 2.定义：观测值的真值与其数学期望之差 3.系统误差不存在： = 0)(XEX 第54页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 三、精确度 1.描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，是一个全面衡量观测质量的指标。 2.衡量指标：均方误差 3.公式22222()()()XXMSEEXXXXEX第55页/共66页2-5 精度、准确度和精确度精度、准确度和精确度 4.当 时 观测值中只存在偶然误差，均方误差就等于方差，此时精确度就是精观测值中只存在偶然误差，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。度。)(XXE2222()()(XXE XXE XMXSE X第56页/共66页2-6 测量不确定度测量不确定度 一、测量数据的不确定性 广义的误差，包括偶然误差、系统误差和粗差。 范围：数据误差的随机性 数据概念上的不完整性及模糊性第57页/共66