动力学普遍定理综合应用

1、理论力学主主 讲：谭宁讲：谭宁 副教授副教授办公室：教办公室：教1 1楼北楼北305305理论力学2动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能

2、根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析, 提供正确的运动提供正确的运动学补充方程。学补充方程。理论力学3 动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化整体运动的变化所受的作用力所受的作用力动动 量量 定定 理理动动 能能 定定 理理动量

3、矩定理动量矩定理动动 量量力力(冲量冲量)动量矩动量矩力力 矩矩动动 能能力力 的的 功功 动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。两类基本问题。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学4 动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。动变化问题。 动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。问题。 动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动量

4、定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。 动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程程 。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学5 动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。 动能定理的表达式中含有路程参数。动能定理的表达式中含有路程参

5、数。 动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内内力的主矢和主矩均为零力的主矢和主矩均为零) 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，对于理想约束，动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，对于理想约束，则只包含主动力；主动力中可以是外力，也可以是内力则只包含主动力；主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系可变质点系)。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学6 明确研究对象明确研究对象, ,系统系统( (整体整体) )还是部分还是部分 受力分析受力分析-守恒守恒 运动分析运动分析-运动关系运动关系 定理的

6、选取定理的选取 动能定理动能定理-突破口突破口( (整体整体),),适宜理想约束适宜理想约束, ,一个自一个自由度由度, ,主要求解运动量主要求解运动量. . 质心运动定理质心运动定理-求力求力, ,适宜刚体任何运动形式适宜刚体任何运动形式. . 动量矩定理动量矩定理-求力求力, ,适宜刚体转动和平面运动适宜刚体转动和平面运动. .动力学综合问题求解技巧动力学综合问题求解技巧动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学7 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解：（解：（1

7、）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象00)(BBBBMJ F00B，圆盘平动。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例一由相对质心的动量矩定理得：由相对质心的动量矩定理得：理论力学8（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统为研究对象。初始时T1=0 ， 最低位置时：2212222632121BBAvgPPvgPJT)30sin()30sin22(21)(llPllPWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入数据，得代入数据，得m/s 58. 1Bv动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用rad/s 58. 624. 058. 1lvBP1

8、P2lvB理论力学9（3）求）求AB杆的角加速度杆的角加速度。0)(dd)e(FAAMtL所以所以 AB杆角加速度杆角加速度 0 。盘质心加速度：)0( 2BnBBalaa)0( 22CnCCalaa杆质心C的加速度：)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用系统经过最低位置B点时，有根据动量矩定理：理论力学10（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。 0t2t1AxBCixiFagPagPam2122212PPFlgPlgPamAyiyi研究整个系统 动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用 代入数据，可解出

9、.,AyAxFF 理论力学11或者： 以整个系统为研究对象, 在任意位置时系统的质心坐标是： 动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用)30sin(76)30cos(76tLytLxCC)30sin(76)30cos(7622tLatLaCyCx当系统到达最低点时，质心加速度为：当系统到达最低点时，质心加速度为：2m/s91. 87602LaaCyCx理论力学12AyyCyAxxCxFPPFMaFFMa21 代入数据，可解出 .,AyAxFF 动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用 本题应用了动量矩定理、动能定理、质心运动定理，比本题应用了动量矩定理、动能定理、质心运动定理，比较复杂

10、，较复杂，请大家仔细分析求解过程中所应用的定理。请大家仔细分析求解过程中所应用的定理。理论力学13解：取杆为研究对象解：取杆为研究对象2312lPlgPlg 2/3 均质杆OA，重P，长l，如图所示。当绳子突然剪断的瞬时，求杆的角加速度及轴承O处的约束反力。例二动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用当绳剪断瞬间，当绳剪断瞬间，=0=0. .杆作定轴转动。杆作定轴转动。理论力学14由质心运动定理：由质心运动定理：0OxOxCxFFagPPFPFlgPagPOyOyCy41 2动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用aCxaCyCCynCCxaaaa,理论力学15题：均质细杆长为l、质量

11、为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例三理论力学16解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。设杆左端滑于任一角度，如图所示，p为杆的速度瞬心。由运动学知，杆的角速度与质心C 的速度之间关系为：cos2lvCPvCC22222cos311212121CCCvmJmvT任意位置杆的动能为初始动能为零01TvCBPvBC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学171212WTT由动能定理sin120cos3112122lmgvmC即此过程中只有重力作功sin12

12、12lmgWglvC321lg3解出思考:倒地瞬时B点的速度?0当杆完全倒地此时动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用BCmgFNaC理论力学18动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用如何求角加速度？如何求角加速度？sin12cos3112122lmgvmC由（该等式在任意时刻都成立！）可考虑动能定理的导数形式，但求导较复杂！理论力学19CAnCAACaaaaCa点A的加速度为水平， 铅垂，由运动学知ACmgFNaC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用2laaCAC沿铅垂方向投影，得加速度矢量如图所示。AaACaAnCAaCAaaC杆刚刚达到地面瞬时，理论力学20NCFmg

13、ma2CNlJF杆刚刚达到地面瞬时，由刚体平面运动微分方程得ACmgFNaCy动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用2laaCAC运动学补充关系4mgFN代入动力学方程，解得gl 43理论力学21例四动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用已知：匀质杆长30（cm）,重98（N）, 弹簧的刚性系数为4.9(N/m), 原长为20(cm)。开始时杆置于水平位置， 然后将其无初速释放。 由于弹簧作用，杆绕O 轴转动，OO140（cm）。求： 当杆转到铅垂位置时杆的 角速度和轴承O 处的反力。理论力学22解：取研究对象：杆OA受力分析如图：（1） 求杆在铅垂位置的角速度（杆在铅垂位置时的动

14、能）T1 0 （水平位置 10） 应用动能定理： T2 T1 W222022226JmLT动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学23总功为：222221mgLcW22112030OAOOcmcmAO102012可求出：2 5.72( rad / s ) 代入动能定理：WTT12动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学24222002CncCaLaa因此可得 ：（2）求杆在铅垂位置时轴承O 的约束反力 在铅垂位置时，由刚体定轴转动微分方程（即动量矩定理） 有：（因为外力通过O点，所以外力矩为零。）020()0eJmF动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学2

15、5再应用质心运动定理质心运动定理，有:其中弹簧力：可解出N492cFxy（在（在 x、y 轴方向投影）轴方向投影）0OxncOyFmamgFF2298()2OOymLFFFPN动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学26 行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，求杆的角加速度及轮II边缘所受切向力F。ABMr1r2例七动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例五动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用理论力学271. 求杆的角加速度求杆的角加速度222222122122 221 111 1()()2 322 2Tm rrm rrm r运动学条件运动学条件2122()/rrr2221231 1()()2 32Tmmrr主动力系的元功为主动力系的元功为由动能定理得由动能定理得221231()()32m