Mathematica软件使用入门

1、 Mathematica软件使用入门 目录 第一章 基本知识与基本操作 . 3 1.1 Mathematica的基本语法特征 . 3 1.2 Mathematica的启动、基本操作 . 4 1.3 操作小技巧 . 7 1.4 数值计算 . 8 1.5 赋值与替换 . 9 1.6 自定义函数 . 10 1.7 方程与方程组解 . 11 1.8 解不等式与不等式组 . 12 1.9 由递推式求数列的通项公式 . 13 1.10 作函数图像 . 14 第二章 运用Mathematica实现高等数学中的基本运算 . 16 2.1 求极限运算 . 16 2.2 求导数与微分 . 19 2.3 求不定积分

2、 . 25 2.4 求定积分 . 26 第三章 实验练习题 . 28 Mathematica是当今世界上最为流行的计算机代数系统之一 Mathematica系统是美国物理学家Stephen.Wolfram领导的一个小组开发的,后来他们成立了Wolfram研究公司1987年推出了系统的1.0版；现在的最新版本是8.0版 Mathematica可以做： ? 符号计算和数值计算问题,如：能做多项式的计算、因式分解和展开等； ? 做各种有理式计算，求多项式、有理式方程和超越方程的精确解和近似解； ? 做向量、矩阵的各种计算； ? 求极限、导数、积分，做幂级数展开，求解某些微分方程等； ? 做任意位数的

3、整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数值）的计算 ? 可以很方便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形,通过图形,可以立即形象地掌握函数的某些特性，而这些特性一般是很难从函数的符号表达式中看清楚 第一章 基本知识与基本操作 1.1 Mathematica的基本语法特征 使用Mathematica，一定要牢牢记住： ? Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名； ? 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出， 内部函数一般写全称， 而且一定是以大写英文字母开头， 如Sinx, Cosz等； ?

4、 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如 2 32*36 , 2 Sinx2* Sinx ? 乘幂可以用“”表示，如 x0.5 表示： Tanxy 表示： ? 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头 ? 当你赋予变量任何一个值，除非你： 明显地改变该值 或 使用Clear变量名 或 使用“变量名=.” 取消该值，否则它将始终保持原值不变 ? 一定要注意四种括号的用法： 0.5xyTanx ( )： 表示项的结合顺序，如： (x+(yx+1/(2x)； ： 表示函数，如：Logx, Sinx； ： 表示一个“表”(即是一组数字、或任意表达式、或函数等的一个有序集合)，如：2x

5、,Sin12 Pi，A，1, 1+A,y*x，1，2； ： 双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如： a2,3表示：23a； 3,5,72=5 ? Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔） ? 当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果 ? Mathematica命令中的标点符号必须是英文的 1.2 Mathematica的启动、基本操作 1.2.1 启动“Mathematica”： 在windows操作系统中安装了Mathematica后，与其他的常用软件一样，可从“开始”“程序”“Mathe

6、matica5” Mathematica的主窗口并出现第一个notebook窗口（Untitled-1）: 1.2.2 简单使用： 例1.1 计算 33 的值 在“ntitled”窗口中输入： 329/412+33 按下“ShiftEnter”（或数字键盘上的Enter键）,就得到计算结果： 其中“In1:=”是Mathematica自动加上的，表示第一个输入；“Out1:=”表示第一个输出 一般地： Inn:= 表示第n个输入 Outn:=表示第n个输出 注意：“Inn:=” 自动加上的，不能人工输入! 1.2.3 保存结果： 保存方法同一般的Windows软件：“文件” “保存”“另存为”

7、窗口 在“查找范围”内找到目标文件夹 输入文件名（比如输入“1”）“ ” Mathematica 4或Mathematica 5的文件的后缀是“nb”，当输入“1”时，即产生文件“1.nb” 1.2.4 打开文件1.nb 启动Mathematica “文件”“打开” 打开”窗口： 在“查找范围”内找到文件“1.nb” “ ”即可 1.2.5 退出Mathematica： 与一般应用软件一样，单击右上方的“ ”按钮（或用菜单：“文件”“退出”） 1.3 操作小技巧 1.3.1 Ctrl+K的用途 如果只知道命令的首写字母， 可在输入该首写字母（要大写），再按下“Ctrl+K”组合键， 则所有以该

8、字母为首的命令都列出来，只要用鼠标双击命令名就输入了该命令 1.3.2 使用前面已有的结果 举例如下： 例1.2 做如下操作： 输入：Integratex2*(11-Sinx),x,-1,1 按：“ShiftEnter”； 输入：%，按：“ShiftEnter”； 输入：%，按：“ShiftEnter”； 输入：%11，按：“ShiftEnter”； 输入：%31，按：“ShiftEnter”， 计算结果如下： Integratef,x是求： ()fxdx? Integratef,x,xmin,xmax是求： maxmin()xxfxdx? 可见，“”表示前一个计算结果；“n”表示第n个计算结

9、果. 1.3.3 删除行： 见下图示 1.4 数值计算 请看下例： 只要选 定且删 除此即 可 系统默认的计算结果,是精确的 N，取近似值函数，默认输出6位有效数字 N，取近似值函数，指定输出3位有效数字 N，取近似值函数，指定输出18位有效数字 1.5 赋值与替换 X=. 或Clearx 清除赋给x的值 expr/.x->xval,y->yval 用xval、yval分别替换expr中的x、y 例1.3 输入：x=3；y=4；w=x+y 计算 输入：Clearx,y； 计算 输入：z=(x+y)2 计算 输入：z/.x->5 计算 输入：Clearx,y； 计算 将(x+y

10、)2赋给z 清除变量的定义和值 变量替换： 用5代替表达式z中的变量变量替换： 分别用5、6代替表达式u中的变量x、y 输入：u=x+y 计算 输入：u/.x->5,y->6 计算 计算结果如下： 1.6 自定义函数 用户可以自行定义函数，一个函数一旦被定义好之后就可以象系的内部函数一样使用 例1.4 如要定义函数 f(x)=x23x-2 只要键入： fx_:=x2+3x-2 即可又如要定义分段函数 “:=”是定义符 左边f是函数名,方括号内x是自变量，其后的下划线“_”不能少 右边是函数的表达式 2+1 < 0()= 2sin 0xxgxxx? 可键入： gx_:= Whi

11、chx<0,x2+1,x>=0,2Sinx 或 gx_:=Ifx<0,x2+1,2Sinx 请见以下计算结果： 1.7 方程与方程组解 例1.5 解方程: 0652?xx 输入： Solvex2-5x+6=0,x 即可 解方程组 输入： y Solve是解方程或方程组的函数其格式为：Solveeqns,vars 其中方程用exp=0的形式（其中exp为未知元的表达式，“= =”必须是2个等号）； 方程列表 22131xyxy?未知数列表 即可（结果见下图） 1.8 解不等式与不等式组 例1.6 解不等式组 ?01012 22xxx 输入: <<AlgebraIne

12、qualitySolve InequalitySolvex2-5x-6<0,x2-1>0, x 即可 解不等式 3)3(12?xx 输入： <<AlgebraInequalitySolve InequalitySolveAbsx-1(x2-3) > 3, x 即可（结果见下图） 不等式列表 变量列表 加载解不等式的程序包，这是必须的，可谓是固定的格式， “< ”为键盘上的小于号, “”为数字键1的左侧的 Algebra 代数类 InequalitySolve 解不等式程序包 绝对值函数 注： Mathematica系统有内部函数.还有一些系统扩展的功能但不是

13、作为内部函数的、以文件的形式存储在磁盘上的文件，要使用它们，必须用一定的方式来调用这些文件，这些文件我们称之为程序包. 调用方式之一如上所述： <<AlgebraInequalitySolve 或用： NeedsAlgebraInequalitySolve 1.9 由递推式求数列的通项公式 例1.7 设 求数列的通项公式 只要输入： <<DiscreteMathRSolve RSolvean=nan-1, a1=1, an, n 即可（结果见下图） 11,1,nnanaa?函数名 递推关系 初始条件 调用程序包 类名，此处是函数类 函数类中的这个函数 离散类 离散类中的

14、这个函数 1.10 作函数图像 例1.8 在同一坐标系中作出2-1yx?和y=sinx在2,2内的图像 输入：-2,2 结果见下图 例1.9 作出sinxcosy的三维图形 输入： Plot3DSinx*Cosy,x,2Pi,2Pi,PlotPoints->100 即可（结果见下图） 增加取样点提高光滑度 第二章 运用Mathematica实现高等数学中的基本运算 极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和基本运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica可以帮你快速解决这些问题。 Mathematica 提供了方便的命令使这些运算能在计算机上实现，使一

15、些难题迎刃而解。 2.1 求极限运算 极限的概念是整个高等数学的基础，对表达式进行极限分析也是数学里很重要的计算分析。Mathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为： Limit函数, 极限过程 具体命令形式为 命令形式1:Limitf, x->x0 功能:计算?xflim0xx? , 其中f是x的函数。 命令形式2:Limitf, x->x0, Direction->1 功能:计算?xflim0-xx?，即求左极限, 其中f是x的函数。 命令形式3:Limitf, x->x0, Direction->-1 功能:计算?xflim0xx?，即求右极限，

16、其中f是x的函数。 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Mathematica的默认状态为求右极限。 例题： 例2.1 求极限?)11ln1(lim221?xxxx 解：Mathematica 命令为 In1:=Limit1/(x Logx2)-1/(x-1)2, x->1 Out1=121 此极限的计算较难，用Mathematica 很容易得结果。 例2.2 求极限nnn?11lim 解：Mathematica 命令为 In2:=Limit(1+1/n)n, n->Infinity Out2=E 例2.3写出求函数xe1在x->0的三个极限命令 解：Mathem

17、atica 命令为 1.LimitExp1/x, x->0 2.LimitExp1/x, x->0, Direction->1 3.LimitExp1/x, x->0, Direction->-1 读者可以比较其结果，观察区别。 例2.4 求?2020022lim?xtxtxdxetdxe 解：Mathematica 命令为 In3:=LimitIntegrateExpt2, t,0,x2/Integratet Expt22,t,0,x, x->0 Out3=2 命令中的“Integrate”表示求定积分（见4.4节） 例2.5求极限1)(arctanlim

18、202?xdttxx 解:若输入命令 In4:=Limit IntegrateArcTant2, t,0,x / Sqrt1+x2 , x->+Infinity 屏幕会出现如下的红色英文提示信息: On:none: Message SeriesData:csa not found. ComplexInfinity + <<1>> encountered. 说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限: In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2), x->Infinity Out5=4Pi2 2.2 求导数与微分

19、 2.2.1 求一元函数的导数与微分 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，一元函数求导有显函数求导、参数方程求导和隐函数求导，Mathematica 对应的命令有： ? 显函数求导 命令形式1: Df, x 功能:求函数f对x的偏导数。 命令形式2: Df, x, n 功能:求函数f对x的n阶偏导数。 例2.6 变上限函数dttxfx?2021)(求导 解：Mathematica 命令为 In6:=DIntegrateSqrt1-t2, t,0,x2, x Out6= /2x2xSqrt1xSqrt12xxSqrt12x4454? In7:=Simplify% Out7= x2xSqrt14

20、? ? 参数方程求导 对参数方程?y(t)yx(t)x所确定的函数y=f(x)，根据公式dtdxdtdydxdy/?和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对参数方程的求导: r=Dx, t； s=Dy,t； Simplifys/r 或用Mathematica自定义一个函数： pDx_, y_, t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r 来实现。 例2.7求参数方程?ttyttxcos)sin1(的一阶导数。 解:Mathematica命令 In8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost; s=Dy,t; r=Dx,t; Simplifys/

21、r Cost - t Sint Out8= - 1 - t Cost - Sint 或 In9:= pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r In10:= pDt*(1-Sint ), t*Cost, t Cost - t Sint Out10= - 1 - t Cost - Sint ? 隐函数求导 由方程f(x, y) = 0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为 impDeqn_,y_,x_:=Modules, r, t, s=Deqn, x, NonConstants->y; r=Solves, Dy,

22、x, NonConstants->y; t=Dy,x, NonConstants->y/.r; Simplifyt 注：这里NonConstants->y指出y不是常数，eqn为f(x, y) = 0，但等号要双写。 例2.8 求0?exyey所确定的函数y=y(x)的导数。 解:Mathematica命令 In11:= impDeqn_, y_, x_:=Modules,r,t, s=Deqn,x,NonConstants->y; r=Solves,Dy,x, NonConstants->y; t=Dy,x, NonConstants->y/.r;Simp

23、lifyt In12:=impDExpy+x*y-E=0, y, x Out12= xEyy? ? 微分 微分是函数增量的线性主部，函数y=f(x)的微分与导数的关系为dy = df =f (x)dx，Mathematica命令为： 命令形式：Dtf 功能:对函数f(x)求微分df 例2.9 求2sinxy?和y=sinv的微分. 解:Mathematica命令 In13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 Dtx In14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv 2.2.2 求多元函数偏导数与全微分 ? 偏导数 对多元函数f(x1,x2,xn)的求导数的命令有如下几个：

24、命令形式1: Df, x 功能:求函数f对x的偏导数； 命令形式2: Df, x1, x2, 功能:求函数f高阶混合偏导数fx2x1?； 命令形式3: Df, x, NonConstants->v1,v2, 功能:求函数f对x的偏导数，其中v1,v2,是关于x的函数。 例题 例2.10 求z=asin(xy)对y和2zyxeu?对z的偏导数. 解:Mathematica命令 In15:=Da*Sinx*y, y Out15=axCosx y In16:=DExpx+y+z2, z Out16=z2E2zyx? 例2.11 对函数sin(xy)yxz23?, 求yxz2? 解:Mathem

25、atica命令 In17:=Dx3 *y2+Sinx*y, x, y Out17=?yySinxxyxCosy6x2? 例2.12 对函数sin(xy)yxz23?, 求33xz? 解:Mathematica命令 In18:=Dx3 *y2+Sinx y, x,3 Out18=?yxCosy6y32? 例2.13 222zyxu?，其中y，z是x的函数。 解:Mathematica命令 In19:=Dx2+y2+z2, x, NonConstants->y, z Out19=2 x + 2 y Dy, x, NonConstants -> y, z + 2 z Dz, x, Non

26、Constants -> y, z 其中:Dy, x, NonConstants -> y, z和Dz, x, NonConstants -> y, z分别表示y对x和的z对x的导数。 ? 全微分 多元函数f(x,y,z,)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为： 命令形式: Dtf 功能:求函数f的全微分。 例2.14 求22yxz?的全微分dz。 解:Mathematica命令 In20:=Dtx2+y2 Out20=2 x Dtx + 2 y Dty 如果多元函数的变量都是或部分是某一个变量的函数，则该函数关于此变量的导数称为的全导数，Mathematica有如下两个求

27、全导数的命令： 命令形式1: Dtf, x 功能:求函数f的全导数。 命令形式2:Dtf, x, Constants->c1,c2, 功能:求函数f的全导数，其中f中的变元与x无关。 注意:Df, x与Dtf, x的区别。 例2.15 求22yxz? 的全导数dxdz，其中y是x的函数。 解:Mathematica命令 In21:=Dtx2+y2,x Out21=2 x + 2 y Dty, x 例2.16 求? ?xzsinxyx22?，其中y是与x无关的独立变量。 解:Mathematica命令 In22:=Dtx2+Sinx y+z2, x, Constants->y Out

28、22=2 x + y Cosx y + 2 z Dtz, x, Constants -> y 2.3 求不定积分 高等数学中求不定积分是较费时间的事情，在Mathematica中，只要输入一个命令就可以快速求出不定积分来。 命令形式:Integratef, x 功能:计算不定积分?dxxf?。 例2.17 计算dxxxcossin122? 解:Mathematica命令 In23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),x Out23=-(Cos2 x Cscx Secx) 2.4 求定积分 定积分的计算是实际问题中经常遇到的问题，定积分计算同样也是较费时间的事情，而且有时还

29、会遇到因求不出原函数而积不出结果的情况，这些在Mathematica中，也只要输入一个命令就可以快速求出定积分值来。 命令形式1: Integratefx,x,xmin,xmax 功能:计算定积分?xmaxxminf(x)dx，xmin，xmax分别表示积分变量的下限和上限。 命令形式2: NIntegratefx,x,xmin,xmax 功能:计算定积分?xmaxxminf(x)dx的数值积分，xmin，xmax必须是数字，不能是字母。 命令形式3:Integratefx,y, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax 功能:计算重积分?ymaxyminxmaxxminy)dyf(x,dx,xmin,xmax ,ymin,ymax表示