微积分与概率论的初步设想

1、第2期杨玉东等：数学课程改革中教师角色的分析3微积分与概率论的初步设想林 群，薛晓欢（中国科学院 数学与系统科学研究院，北京 100190）摘要：微积分中各种测量都会出现同一公式：在概率论中，这一比例数只在概率意义下成立关键词：微积分；概率论；相对真理；绝对真理；比例数；中图分类号：G40-03 文献标识码：A 文章编号：10049894（2014）01000108第1期林 群等：微积分与概率论的初步设想71 微 积 分微积分是什么？站高些，统一到一个哲学公式，带有比例数 （1）它揭示了追求真理的数字化过程：要经多道坎（即0.9，0.99，0.999，）再将比例提到1或者说，相对真理不可能10

2、0%正确，只能正确到90%，99%，99.9%，就像“一尺之锤，日取其半，万世不竭”微积分各个公式，归根结底只是这个公式的具体化举例：1. 求圆面积，是绝对真理正多边形面积是相对真理，它们的比值1，所以要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，有公式（1）2. 更一般，求曲边围成的面积，是绝对真理“达布小和”（曲边下面小矩形面积之和）是相对真理，它们的比值1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，也有公式（1）但这里的绝对真理是未知数，可以通过下面不等式1来求面积3. 求圆周长，是绝对真理，正多边形周长是相对真理，它们的比值1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999

3、，简言之，也有公式（1）4. 求曲线弧长，是绝对真理黑色三角形的斜边长是相对真理，它们的比值1，1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，也有公式（1）甚或曲率，可作为求弧长的副产品5. 求曲线高，是绝对真理黑色三角形的高（称微分）是相对真理，它们的比值1，1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，也有公式（1）一旦出现，微分和便是一个无限加密的过程，所以有=，这里的绝对真理（全高）是已知数这就是微积分的核心牛顿-莱布尼茨公式6. 求物体的体积，是绝对真理小柱体的体积是相对真理，它们的比值1，1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，也有公式（1）7.

4、 求旋转体的侧面积，是绝对真理小柱体的侧面积是相对真理，它们的比值1，1也要经过若干坎，0.9，0.99，0.999，简言之，也有公式（1）2 生活中更简单的例子讲几个故事，它们背后隐藏着微积分的哲学在中国，最有名的当推庄子·天下篇的一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭在这里，所有切去的部分是相对真理，全长是绝对真理，但是切去的部分会逐渐靠近全长，即比值（或比例）数据化：次数剩下所占比值切去所占比值10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.00781250.9921875即9的

5、个数在增多如果改变取法，即1尺之绳，日取其九，渐得全长，万世不竭，将有整齐的结果仔细说，1尺之绳，每次切去剩下的90%，那么剩下的部分会越来越短，而切去的部分会以0.9，0.99，0.999，整齐的方式，越来越接近1尺数据化：次数剩下所占比值切去所占比值10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999但不一定日取其半或日取其九，如果日取其一，照样出现数据化：次数剩下所占比值切去所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468

6、559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.833228183180849905364

7、71908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.9015229098这里，每次切去10%，即每次剩下90%，全长减去剩下，就是切去的部分从上面的几个例子可以看到，不论每次取法如何，都有比值在生活中可以举出许多例子，却有着相似的结果（1）霍金说，一本书多一个公式，少一半的读者数据化：公式数读者比例放弃者比例10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.0

8、0781250.9921875这里，随着公式的不断增加，放弃阅读的读者人数是相对真理，所有的读者人数是绝对真理，那么，随着公式增加，就有比值（2）在洗衣服的时候，每换一次水，都会洗去90%的污渍，洗的次数越多，衣服就会越干净数据化：次数剩下的污渍所占比例洗去的污渍所占比例10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999这里，随着洗涤次数的不断增加，洗去的污渍是相对真理，所有的污渍是绝对真理，那么就有比值（3）类似的，在冶炼黄金时，每次都提升90%的纯度数据化：次数剩下的杂质所占比值黄金纯度10.10.920.010.9930.001

9、0.99940.00010.999950.000010.99999这里，随着冶炼次数的不断增加，得到的黄金是相对真理，纯金是绝对真理，那么，就有比值（4）秋天到了，有一棵树每天都会掉落10%的叶子，还是类似的一张表次数剩下所占比值掉落所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381

10、059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.83322818318084990536471908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.901522909

11、8注：每天掉落10%，即每天剩下90%，全部减去剩下，就是掉落的叶子这里，随着时间的不断增加，落叶是相对真理，所有的树叶是绝对真理，那么就有比值，当叶子掉光的时候，冬天就到了在测量一根1米长的木棒时，每次都利用刻度更密，精度更高的工具，使得测量结果增加一位小数，测量结果如下表：次数精确到的位数测量结果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999这里，测量结果0.9，0.99，0999，是相对真理，实际长度1是绝对真理那么就有比值还有非常类似的故事，需要化整为零，也是测量精度会影响最后结果，叫愚公量山愚公家门前有一座高山，愚公想知

12、道山高，但是方法粗糙，工具有限，只能测出山高的90%，但是经过不断改进，每次都利用刻度更密工具，精度更高的方法，使得测量结果增加一位小数，测量结果如下表：分割次数测量精度测量结果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999这里有一个巧合，分割精度恰好与测量精度相等这里，测量结果0.9，0.99，0999，相对真理，实际长度1是绝对真理那么就有比值有人说：“你们一家永远得不到精确的山高，不要白费功夫了！”愚公坦然回答：“汝心之固，固不可彻，子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不得山高？”以上

13、故事各不相同，却有着惊人的相似，都有一个共同的特点：不断重复，每次都以一定比值进行，最后都出现特别是愚公量山的故事，需要化整为零，不断重复测量，并且测量仪器的刻度越密，测量方法的精度越高，9的个数就会越多，直至最后出现这样就可以看到，精度的大小（局部的比值），直接影响了最后的测量结果（整体的比值），即9的个数3 理论分析从实验数据中已看到规律，下面通过理论证明这些规律首先在曲线求高的例子中，可以证明1对初等函数成立（见参考文献1和2），这时，分子的微分和由于分割无限加密，便定义为积分，所以这个积分就是全高，或牛顿-莱布尼茨公式，所以，一旦变成积分，就能计算了（假设被积函数可以写成导数的形式）据

14、此可推出以下许多结论1. 面积来看求圆面积的例子，其实，面积有着实际的意义：直接可以用来计算图中的角为，半径为1那么可以计算得到正n边形的面积，圆的面积，面积比，数据化：正n边形多边形面积与圆面积之比 62.59810.8270 72.73640.8710 82.82840.9003 92.89250.9207 102.93890.9355 123.00000.9549 143.03720.9668 163.06150.9745 183.07820.9798 203.09020.9836 253.10860.9895 303.11870.9927 353.12470.9946 403.1287

15、0.9959 503.13330.9974 603.13590.9982 703.13740.9987 803.13840.9990 903.13900.99921003.13950.9993类似的，在计算其它图形的面积时，仍采用上述思想，也就是：=0.999，所以分子即面积，或积分，后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算举个例子，在，此时曲边梯形变为一个直角三角形，且面积为0.5利用达布和来计算分割数达布和面积比 20.5 3 40.75 50.8 60.83333 70.8571428571 80.875 90.8888888889100.9110.9090909091120.9166666667

16、再来看一个计算面积的问题，计算在区间与x轴所围曲边梯形面积通常的做法是：将区间分割，利用小矩形面积的和S来计算但是，可以看到，这是有误差的，但是，随着分割的加密，S也在不断地增加，取一个曲边梯形来看，用个数越多的矩形来代替小的曲边梯形，结果越精确可以看到，分割越密，S越大，但是S不会超过曲边梯形的面积，就像0.999在不断接近于1却不会超过1一样，这样，随着分割加密，小矩形的和会逐渐靠近一个数，就像0.999逐渐靠近1一样，那么就是曲边梯形的面积，显然，是一个关于b的函数，把它定义为计算在区间与x轴所围曲边梯形面积等分次数S与的比值 20.4043358553 30.4274407613 40

17、.4398183896 50.4475200249 60.4527711399 200.9822 400.9910 50*0.9928100*0.9964注：*：*：2. 弧长公式前面已经知道了如何求山高，现在来看一个更加有意思的问题，如何来求上山走过的路程？还是回到曲线求高图：在每一个小的直角三角形中，底为h，高微分为，那么根据勾股定理，可以得到小直角三角形的斜边长为，将各个小直角三角形斜边之长加起来就得到曲线弧长的近似值，且随着分割加密，得到的值会越精确当斜边长之和在分割加密，即不断减小时，越来越靠近弧长，那么此时所以，弧长即积分，后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算还是举圆周求长的例子来说明单

18、位圆在区间的弧长 已知所求弧长为，另一方面，=五次分割点00.20.40.60.8斜边长0.20.20410.21820.25000.3333十次分割点00.10.20.30.4斜边长0.10.10050.10210.10480.1091点0.50.60.70.80.9斜边长0.11550.12500.14000.16670.2294二十次分割点00.050.10.150.2斜边长0.050.05010.05030.05060.0510点0.250.30.350.40.45斜边长0.05160.05240.05340.05460.0560点0.50.550.60.650.7斜边长0.05770

19、.05990.06250.06580.0700点0.750.80.850.90.95斜边长0.07560.05020.09490.11470.1601来看计算的结果分割次数51020斜边长的和1.20561.29311.3314比值0.76750.82320.84763. 曲率有了弧长公式之后，就可以研究曲线在一点处的弯曲程度，曲线的曲率，是角度的变化，是弧长的变化，定义，带入计算即得4. 体积对于一般物体的体积计算，将其切片之后利用小的柱体来计算，设小柱体底面积为，高为，柱体体积和，那么随着切片的加密，会以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不断靠近1所以立体的体积即积分，可由牛顿-莱

20、布尼茨公式来算特别的，对于绕x轴旋转的旋转体来讲，此时小柱体的体积，那么，会以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不断靠近1所以旋转体的体积即积分，后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算5. 旋转体的侧面积小圆台的表面积为，其中为弧长，根据弧长公式可得：，那么会以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不断靠近1所以旋转体的体积即积分，后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算6. 级数再来看看在剪绳子的例子中得到的两种方法，随着n的不断增大，左边的求和项不断增加，但是从右边来看，逐渐减小，和式逐渐靠近1可以得到等比数列的求和公式，(p1)（根据（1），两边乘以，令即可得到）不是所有的和式都会随着n的增大

21、靠近一个固定常数（例如），那么，如果随着n的增大靠近某一个固定常数S，即随着n的增大以0.9，0.99，0.999的方式靠近1，那么称级数收敛到S，即，即仍然统一为一个公式：如果，从（2）已经得到，随着N的增大，会以0.9，0.99，0.999，的方式不断靠近1下面给出一个例子，例如计算，数据化N1610150.33330.91220.98270.9977N202530350.99970.999960.9999950.9999993从例子中可以看到随着N的不断增大，以0.9，0.99，0.999，的方式不断靠近1所以，级数也可以用比值的方法来研究，收敛的级数也会出现7. 测度在测度论中，若，则

22、外测度满足1康托尔集康托尔集C是由不断去掉线段的中间三分之一而得出，那么1，随着过程的不断重复，可得，即康托尔集的“长度”为0，却含有无穷多的元素依测度收敛：设在X上依测度收敛于，即14 概率论初步设想概率论的两个基本定理：大数定律和中心极限定理，也可能纳入前面的哲学框架统计学本身就是研究数据和处理数据的学科，可以看到，上述思想在统计学中同样出现下面出现的分式，都假设是有意义的1. 大数定律（1）设在n次伯努利试验中，事件X发生的次数为，事件X在每次实验中发生的概率为，那么对于任意的随着的不断增大，会以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）设随机变量列，独立同分布，且 (i=1，2，n

23、)，则对任意的随着的不断增大，会以0.9，099，0.999，的方式靠近12. 中心极限定理（1）若是次Bernoulli实验中事件A出现的次数，则对任意区间a, b（1.1）若，那么随着的不断增大，会逐渐靠近1，即会以0.9，099，0.999，的方式靠近1（1.2）随着的不断增大，会逐渐靠近1，即会以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）设随机变量列，独立同分布，且具有有限的期望和方差，(i=1，2，n)，则随着n的不断增大，会逐渐靠近1，即会以0.9，099，0.999，的方式靠近1其中是标准正态分布的分布函数钉板实验，将小球从顶端释放，下落的位置如下图，类似正态分布的钟形曲线3

24、. 数据实验徐美萍、李琴对概率与统计中的上述理论做了计算，证实公式（1）在概率意义下会出现，但她们在算例中发现：不像一般微积分的数列那样出现，只是在概率意义下所以，公式（1）不同领域可能有不同的意义这是值得注意的地方另外，陈竑焘还利用随机数求积分，哲学公式的比值还是统一到同一数总的来说，这里只是对微积分与概率论做了初步考察（这两个领域的专著太多，这里仅列举研究者感兴趣的几篇文献：3、4以及5、6、7、8、9），别的领域有没有类似现象，更值得探讨所以这里只是抛砖引玉致谢：本文是在天津师范大学国培计划的一个讲座作者由衷地感谢天津师范大学王光明教授提供的机会以及魏文元教授对概率部分的指导性意见，他们使本文的最后成文成为可能参 考