临沂大学线性代数期末试卷

1、临沂大学历年试题-1 2121232贝 U A12 ，A22 ' A32A422 .设矩阵A=00，则A-1等于（A.B.0120C.<1012>D.01303 .设矩阵31V2-1012-14,A*是A的伴随矩阵，则 A中位于（1,（2） 素是（A. -6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC,则必有（A. A = 0C. A #0 时 B=C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（B. 6D. 2)B. B¥C 时 A=0D. |A|#0 时 B=CA. 1C. 36.设两个向量组A.有不全为B.有不全为 C.有不全为D.有不全为AT)等于(

2、B. 2D. 4a 1，0的数0的数0的数* 2,入1,入1,入1,入2,入2,入2,入2 ,a s和 3 1, 3 2,，入s使入1 a 1 +，入s使入1 (,3 s均线性相关，则（X2a2+- + Xsa s=0 和a 1+ 3 1) +入2 (“2+31 1 3 1+ 入 23 2+3A,s3 s=0，入 s 使入 1 ( a 1- 3 1)+入 2("2- 3，入s和不全为0的数2）2）+ + Iss使入1 a(a s+ 3 s) =01+ 入 2 a 2+第一部分选择题（共28分）、单项选择题（本大题共 14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是

3、符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12a13-2a11_ 2 a12_ 2a131.如果行列式a21a22a23=2,则- 2a 21-2a22_ 2a23=-16a31a32a332a312a322a3312.设D = 6318X s a s=0 和 11181+11232+(is3 s=07.设矩阵A的秩为r,则A中()A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，A.刀1+刀2是Ax=0的一个解C.刀1-Y 2是Ax=0的一个解9 .设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）<nC.A=0A. k

4、 <3C. k=312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A|2 必为 1-1 TC. A = A13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14 .下列矩阵中是正定矩阵的为（）2 3A.啰471100、C. 0 2-30-35B. k<3D. k>3）B.|A|必为1D. A的行（列）向量组是正交单位向量组B=C TAC 则（）113 4B.<2 6./1 1 1 ”D. 1 2 0<1 0 2,B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0刀1,刀2是其任意2个解，则下列

5、结论错误的是（B. Y） 1+ 刀2是Ax=b的一个解22D.2 rl 1-刀2是Ax=b的一个解）8.秩（A ）=n- 1D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（>3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量a使Aa = X a ,则a是A的属于特征值 入的特征向量B.如存在数入和非零向量a ,使（入E- A） a =0,则入是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，“1, “2, a 3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则“1, "2, a 3有可能线性相关11.设入0是矩阵A的特征方

6、程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1115. 3 56=.9 25 3616 .设 A =111 I,B = 1 123 I.贝U A+2B=.1 1-17 J-24J17 .设 A =（aj）3 x 3 , |A|=2 , Aj表示|A|中元素 司 的代数余子式（i,j=1,2,3 ），则 （anA21+a12A 22+a13A23） +（a21A21+a22A22+a23A 23） +（a31A 21+a32A2

7、2+a33A23） =18 .设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a）线性相关，则 a=19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a+3与a - 3的内积(a+3, a - 3)=A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 23.设矩阵 A = 11010_1是它的一个特征向量，则<2 /a所对应的特征值为.24 .设实二次型 f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为 4

8、,、计算题(本大题共7小题，每小题正惯性指数为3,则其规范形为 6分，共42分)25 .设 A=/13V126 .试计算行列式27 .设矩阵A =00 b3七212-23 T4 0；.求（1） ABT； （2） |4A.28 .给定向量组a 1=试判断a 4是否为29 .设矩阵A =1-22<3110-5-1313303,求矩阵B使其满足矩阵方程AB =A+2 B.2=302V1>0-14 a-24-131,-12032 20623a 3的线性组合；若是,2、-6.34则求出组合系数。22 .设3阶矩阵A的行列式|A|二8,已知求：(1)秩(A);(2) A的列向量组的一个最大线性

9、无关组。30.设矩阵A=,0-2-2与;2424一3的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使丁1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形一222f(X 1,X2,X3)= X 1 +2x2 -3X3 +4X1X2 4X1 X3 4X 2 X3 ,并写出所用的满秩线性变换。答案：一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)3.B6.D7.C11.A12.B二、填空题(本大题共4.D8.A13.D10空，每空5.C9.A14.C2分，共20分）10.B15. 616.一1-3 718.19.20.21.22.,C为任意常数三、计算题（本大题共，17小题,0 了2每

10、小题-225.解(1) ABT= 31*1°，6分，共42分）17. 4-10Y 1 +C( Y 2 Y 1)(或 Y 2+C( Y n- r-5 t223. 1222224. Z1 Z2 Z3 -Z4'8181010(2) |4A|=43|A|=64|A|,而|A|二-1 2所以 14A|=64 - (-2) =- 12826.解3-5-13-55-11-5-5-13-1-11-5-527.解5-6-5-6-5-5=30 - 10 =40.-5AB =A +2 B 即(A-2 E)B= A,而/1(A-2E) -1<1-4一3了4所以B=( A -2E)-1A=-54

11、八一 1332-8-9-6-612130、0-53_210-11与0-102240112<34-191013-112.)28.解一1000100001000100所以a 4=2 a3181400102110，52814,1008010031105、2101+a2+a3,组合系数为2, 1, 1).解二考虑 4 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,-2x1 +X2 +3x3 =0X1 3X2 = 12X2 +2X3 =4 3X1 +4X2 -X3 =9.组合系数为2, 1, 1).方程组有唯一解（2, 1, 1）29 .解对矩阵A施行初等行变换10001000-2039-2300

12、(1)秩(B)-1026-1200二3,0683086-212 )|-2-222、 与-27100所以秩（A）=秩-2300(B)1200 =3.08302-1 0,B是阶梯形，B的第1、2、4列是 的第1、2、4列是A的列向量组的一（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）30 .解 A的属于特征值 入=1的2个线性无关的特征向量为E 1=-1, 0) T,2= 0, 1) T经正交标准化，得Y 1=2后/5 -5/5、0 2= 2=275/15 475/15 .、d&#

13、39;5/3 1/3，3 3= 2 / 3 .L2 / 3,入=-8的一个特征向量为1 I1E 3= 2 ,经单位化得<-2.;1/32/3口3/所求正交矢I阵为 T =,1 0对角矩阵 D = 0 10 0,2<5 / 5(也可取T =0g / 52j5/5 2715/15 55/5 4J5/15、0<5/30 '0-8J2715/151/3、-J5/32/3 .)-4<5 /15 -2/331.解y1 =X1 +2X2 2X3设 5y2 = X2 -X3，1y 3 =X3,1-2因其系数矩阵C= 0 100X1 =y1 一2y2即X2 = y2 +y3,X3

14、 =y301可逆，故此线性变换满秩。f(X1, X2, X3)=(X1+2X2- 2X3)2- 2X22+4X2X3- 7X32 =(X1+2X2-2X3)2- 2(X2-X3) 2-5X32.经此变换即得f(X1, X2, X3)的标准形 y1 - 2y2 - 5y3 .临沂大学信息学院一.填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 111.356=.92526112 .设 D = 111 ,贝U A31+ A32+A33 = .4-103 .设 A=|2 01 314.行列式3302八7 n1T,B= 4 2 3 ,W

15、J (AB)=“0。L-4232 =.297 20312-1、.*、. * . .*15.已知矩阵A=0 21 , A是A的伴随矩阵.则（A ） =<0 01 >6 . A、A分别为线性方程组AX=b的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组AX =b有解的充分必要条件是.尸2 -3 1 '7 .设A= 1 a 1 ,且秩（A>=2, WJa=.、5038 .设A为三阶方阵，且A =3,则2A=.9.向量组3=(1,2, 1,1)Ta? =(2,0,3,0)T, %=(-12<1) T的秩等a1 .已知A = xyA. -110.设% ?是n（n ±3）元齐次

16、线性方程组AX=O的基础解系，则r（A） =、选择题（每小题2分，共20分）x y1 0 ,则A中元素a的代数余子式A1等于（0 1B.1C. -aD. a2 .已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,-2,2 ,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1 , 则 A =().A. 3B. -3C . 5D . -53 . A,B均为n阶矩阵，且(A +B)2 =A2 +2AB +B2 ,则必有().A.A-BB.A-IC.B-I D. AB - BA4 .设A、B均为n阶矩阵，满足AB=O,则必有()其中四,O(2,P1均为3维列向量,A. A+|B=0 B.r(A)=r(B) C.A = O

17、 或 B = O D.A = 0 或 B=05 .设 3x3阶矩阵 A=(%,B, 丫), B =(s2f 泮)，若 A =2, B = -1,则 A + B =()A. 4B . -4C. 2D. 1A.当m=n时，人*=8有唯一解B.当r=n时，以=8有唯一解C.当r=m时，AX=B有解D.当r<n时,任 X1 X2 X3 =07 .若齐次线性方程组 依+九x2 +x3 =0有非零解，则九=(x1 +x2 +Zx3 =0A.1 或 2B.1 或2C. 1 或2AX = B有无穷多解).D . -1 或一28 . n阶矩阵A的秩r = n的充分必要条件是A中()A.所有的r阶子式都不等

18、于零B.所有的r+1阶子式都不等于零C .有一个r阶子式不等于零D .有一个r阶子式不等于零，且所有r +1阶子式都零9 .设向量组口 1 =(1,a,a2)T, 口2 =(1,b,b2)T, % =(1,c,c2)T ,则g,a2,a3线性无关的充分必要条 件是().A. a,b, c全不为0 B . a, b, c不全为0 C . a,b,c互不相等D . a, b, c不全相等10 .已知白，3为AX =b的两个不同的解，%,口2为其齐次方程组AX=0基础解系,k1,k2为任意常数，则方程组 AXA-1 - -2A. kv 1 k2(: 1-2) -22. B _ BC . k1 -1

19、*2( ：i ：2)-222 3八 一，一一2三、(8分)计算行列式D = 2-11=b的通解可表成()B . kr;-1 ' k2 (-1-1 - 2)D.15k4192 5-20-13k2(-1 - -2)P +P1 22P十P1 22).6 .设AX = B为门个未知数m个方程的线性方程组，r( A) = r,下列命题中正确的是(4 2 3'四、（10 分）设庆=1 1 0,且 AX=A+2X。（1）计算 AAT; （2）（A 2I）,；（3）求矩阵 Xd 2 3，_|_x1 x2 kx3 = 4五、(12分)k取何值时，线性方程组 Lx1+kx2+x3=k2有唯一解、无

20、解、有无穷多 x1 -x2 2x3 = -4组解？并在有无穷多解的情况下，求出其通解。六、(10分)求下列向量组的秩与它的一个极大线性无关组,并用极大无关组表示该组中的其余向量。：1 =(1,-2,-1,0, 2)T,二 2 =(2,4,2,6,6)T,13 = (2,-1,0, 2,3)T,： 4 = (33,33,4) . T七、(12分)给定线性方程组2x1 -x2 +3x3 x4 =13x1 -2x2 -2x3 +3x4 =3x1 - x2 -5x3 4x4 = 27x1 -5x2 -9x3 10x4 = 8(1)利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方 程组的一

21、般解；(2)求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方 程组的全部解。八、(8分)设%,%,5 为Ax = 0的基础解系。证明01 =o(1+2«2 , P2=2%+3a3, 氏=3«3十%也是Ax =0的基础解系。线性代数期末试题答案一、填空题(每小题2分，共20分)1.6 2.03.014-317、13104.55.1/200-1/2、1/21/2 ,6. r(A) =r(A) 7. a8.9.10.、选择题（每小题2分,共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D32112320155-119-2332-119.C(232 ，0 4

22、740四、(10分)解:(1)AAT(2) (A-2E)11-1-4-5610.B8-8310*1)-831=(一1)18123634)001=(一1)181363-184 1L-3、_ 343 丫43人3-123 J'29699114;(3) 由 AX =A+2X ,得(A -2E)X =AX =(A -2E) A =1：1-1-3-34人一132C2-8- 912-6-69五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵:一1-1 J1 k -1-12k -12k -23Y8 k2 -4 J2k -22(1 k)(4 -k)21-4k(k -4)所以， 当k/且k#4时，r照尸r (A )=3,此时线性方程组有唯一解. 当k =_1时，r(A )=2 , r(A )=3 ,此时线性方程组无解.(3)当k =4时，r (A ) = r (A