门头沟中考数学模拟试卷一道几何压轴题的多种解法

1、学习必备欢迎下载16：如图，在 ACB和 AED 中， AC=BC,AE=DE,ACD=AED=90°，点 E 在 AB 上， F 是线段 BD 的中点，连结 CE、FE。（ 1） 请你探究 CE和 FE之间的数量关系；（ 2） 将图 1 中的 AED绕点 A 顺时针旋转，使得 AED的一边 AE恰好与 ACB 的一边 AC在同一条战线上，连结 BD，取 BD 的中点 F，求 CE和 FE之间的数量关系；（ 3） 将图 1 中的 AED 绕点 A 顺时针旋转任意角度，使得E 在 ACB，求 CE和 FE之间的数量关系。解（ 1）：分析：要探究 CE和 EF的数量关系，我们不妨连结 C

2、F,通过观察，很容易猜想到 CEF是等腰直角三角形。于是，我们就想方设法证明 EF=CF,在想法证明 ECF=45°，于是就有了 解法 1；另外，我们也可以想方设法证明 EF=CF,再证明 EFC=90°，于是，就有了 解法 2.解法 1：如图，连结 CF，AED=ACB=90°B、C、D、E 四点共圆且 BD是该圆的直径，点 F 是 BD的中点，点 F 是圆心，EF=CF=FD=FB,FCB=FBC,ECF=CEF,由圆周角定理得： DCE=DBE,FCB+DCE=FBC+DBE=45°ECF=45°=CEF, CEF是等腰直角三角形，CE=

3、EF.解法 2：易证 BED=ACB=90°，点 F 是 BD 的中点， CF=EF=FB=FD,DFE=ABD+BEF,ABD=BEF,DFE=2ABD,同理 CFD=2CBD,DFE+CFD=2(ABD+CBD)=90°，即 CFE=90°， CE=EF.学习必备欢迎下载解（ 2）：分析：观察图形，很容易猜想到 CE= EF,所以，就想法求出 ECF=45°，EFC=90°，于是，就有了解法 1；当然，也可以延长 EF交 BC于点 G，先证明 CEG为等腰直角三角形， 再证明 CF EG,从而得出 CE= EF于.是就有了解法 2. 解法

4、1：连结 CF、AF，BAD=BAC+DAE=45°+45° =90°，又点 F 是 BD的中点，FA=FB=FD，而 AC=BC,CF=CF, ACF BCF,ACF=BCF= ACB=45°，FA=FB,CA=CB,CF所在的直线垂直平分线段AB，同理， EF 所在的直线垂直平分线段AD,又 DA BA, EFCF, CEF为等腰直角三角形，CE=EF.解法 2：延长 EF交 BC于点 G，AED=ACB=90°， DEBC,EDF=GBF,DEF=BGF,又 DF=BF, DEFBGF, EF=GF,DE=BG, 又 DE=AE,AC=B

5、C, AC-AE=BC-BG, 即 CE=CG, CFEG,ECF=ACB =45°， CEEF.解 (3) ：分析：要求 CE和 FE之间的数量关系系。观察图形，我们不难猜想，CE=EF.所以，仍需想法证明CEF为等腰直角三角形，于是，就连接CF。考虑到点F为 BD 的中点，我们不妨延长 EF到点 G，使 FG=EF，连接 BG、 CG,易证 DEF BGF，从而得出 BG=DE=AE,而要证 CEF 为等腰直角三角形，只需证明 ECG 为等腰直角三角形即可， 所以必须想方设法证明 CE=CG,ECG=90°，因而， 须再证明 BCG ACE,于是，就有了解法 1.解法

6、1：连接 CF, 延长 EF到点 G，使 FG=EF，连接 BG、CG.易证 DEF BGF，学习必备欢迎下载 BG=DE,FBG=FDE, DEBG, ADE是等腰直角三角形， AE=DE, BG= AE,延长 AE 分别交 BC于点 P、交 BG延长线于点 H，BHA=AED=90° =ACB，CAP+APC=CBH+BPH=90°，APC=BPH,CAP=CBH,在 ACE与 BCG中，AE=BG,CAP=CBH,AC=BC, ACE BCG, CE=CG,ACE=BCG,BCG+BCE=ACE+BCE=90°，即 ECG=90°, CEG为等腰直

7、角三角形，而 EF=FG,ECF=45°， CF EG,即 CEF为等腰直角三角形， CEEF.又分析：要证 CE=EF,需证 CEF为等腰直角三角形，为此，需证EF=CF,因点 F是 BD 的中点，所以，我们不妨延长 BE到点 G，使 EG=DE,延长 BC到 H，使 CH=BC,这样， EF、CF分别成了 DBG和DBH的中位线，我们只需证明BG=DH,便可得出 EF=CF了，显然，这是可以的。下面下面，我们再想法证明 ECF=45°，问题就得以解决了。所以，就有了解法2.解法 2：连接 CF,延长 DE到点 G，使 EG=DE,连接 BG，延长 BC到点 H，使 CH

8、=BC，连接 DH，连接 AG,AH, AEDE,EG=DE,ACBC,CH=BC， AD=AG,AH=AB,DAH+DAB=BAH=90°， BAG+DAB= DAG=90°DAH=BAG, DAH GAB, DH=BG,点 F 是 BD 的中点，且 CH=BC,EG=DG,学习必备欢迎下载 CFDH,CF= DH,EF BG,EF= BG, CF=EF,CAE+DAC=DAE=45°， DAH+DAC=CAH=45°，CAE=DAH,又 AH:AC=AD:AE= ， ACE AHD,ACE=AHD,而 BCF=BHD,ACE+BCF=AHD+ BHD

9、=AHB=45 °，ECF=45°， CEF为等腰直角三角形， CEEF.再分析：要证 CE=EF,需证 EF=CF,CFE=90°，考虑到点 F 是 BD 的中点，且ABC和 ADE均为等腰直角三角形，为了充分利用其特殊性质，我们不妨分别取其斜边 AB和 AD的中点 G、H,再连接 CG、EH、FG、FH，这样，就出现了 CFG和 FEH,而且可以证明这两个三角形全等，从而得出 CF=E,再证明 CFE=90°就达到目的了。于是就有了解法 3.解法 3：连接 CF，分别取 AB、 AD的中点 G、 H,连接 CG、 EH、FG、FH，又点 F 是 BD的中点， FG= AD, AE=DE,AED=90°， EH= AD, FG=EH,同理 CG=FH, FGAD,FH AB,四边形 AHFG是平行四边形，AGF=AHF，易证 AGC=AHE=90 °，A