1996年考研数学三真题及全面解析汇报

1、实用文档 文案大全 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yxy?确定y是x的函数,则dy? _. (2) 设()arcsinxfxdxxC?, 则1()dxfx? _. (3) 设?00,xy是抛物线2yaxbxc?上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是 _. (4) 设 123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa? ?,123nxxXxx? ?,1111B? ?, 其中(;,1,2,)ijaaijijn? ?.则线性方程组TAXB?的解是

2、 _. (5) 设由来自正态总体2(,0.9)XN?容量为9的简单随机样本, 得样本均值5X?,则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 _. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr?可以写成 ( ) (A) 2100(,)yydyfxydx? (B) 21100(,)ydyfxydx? (C) 1100(,)dxfxydy? (D) 2100(,)xxdxfxydy? (2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nnu?和21nn

3、v?都收敛,则21()nnnuv?收敛 (B) 1nnnuv?收敛,则21nnu?与21nnv?都收敛 (C) 若正项级数1nnu?发散, 则1nun? 实用文档 文案大全 (D) 若级数1nnu?收敛,且(1,2,)nnuvn? ?,则级数1nnv?也收敛 (3) 设n阶矩阵A非奇异(2n?),A?是矩阵A的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()nAAA? (B) 1()nAAA? (C) 2()nAAA? (D) 2()nAAA? (4) 设有任意两个n维向量组1,m? ?和1,m? ?,若存在两组不全为零的数1,m? ? 和1,mk k,使111111()()()()0mmmmmmkkkk

4、? ?,则 ( ) (A) 1,m? ?和1,m? ?都线性相关 (B) 1,m? ?和1,m? ?都线性无关 (C) 1111,mmmm? ?线性无关 (D) 1111,mmmm? ?线性相关 (5) 已知0()1PB?且?1212()()PAABPABPAB?,则下列选项成立的是( ) (A) ? ?1212()()PAABPABPAB? (B) ?1212()()PABABPABPAB? (C) ?1212()()PAAPABPAB? (D) ?1122()()()PBPAPBAPAPBA? 三、(本题满分6分) 设(),0,()0,0,xgxexfxxx?其中()gx有二阶连续导数,且

5、(0)1,(0)1gg?. (1)求()fx?； (2)讨论()fx?在(,)?上的连续性. 四、(本题满分6分) 实用文档 文案大全 设函数()zfu?,方程()()xyuuptdt?确定u是,xy的函数,其中(),()fuu?可微；()pt,()u?连续,且()1u?. 求()()zzpypxxy?. 五、(本题满分6分) 计算20(1)xxxedxe?. 六、(本题满分5分) 设()fx在区间0,1上可微,且满足条件120(1)2()fxfxdx?.试证:存在(0,1)?使 ()()0.ff? 七、(本题满分6分) 设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q 可以表示成aQcpb?,其中a

6、b、 c均为正数,且abc?. (1) 求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少? 八、(本题满分6分) 求微分方程22yxydydxx?的通解. 九、(本题满分8分) 设矩阵010010000010012Ay?. (1) 已知A的一个特征值为3,试求y； (2) 求矩阵P,使()()TAPAP为对角矩阵. 十、(本题满分8分) 设向量12,t? ?是齐次线性方程组0AX?的一个基础解系,向量?不是方程组 实用文档 文案大全 0AX?的解,即0A?.试证明:向量组12,t? ?线性无关. 十一、(本题满分7分) 假设一部机器在一

7、天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分6分) 考虑一元二次方程20xBxC?,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q. 十三、(本题满分6分) 假设12,nXX X是来自总体X的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kkEXak?. 证明：当n充分大时, 随机变量211nniiZXn?近似服从正态分布,并指出其分布参数. 实用文档 文案大全

8、 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】? ?1lndxxy? 【解析】方法1：方程yxy?两边取对数得lnlnlnyxyyy?,再两边求微分 , ? ?11ln1ln1dxydydydxxxy?ln10xy?. 方法2：把yxy?变形得lnyyxe?,然后两边求微分得 ?lnln1ln1lnyyydxedyyyydyxydy?, 由此可得 ? ?1.1lndydxxy? (2)【答案】 ?32113xC? 【解析】由()arcsinxfxdxxC?,两边求导数有 ? ?2211()arcs

9、in1()1xfxxxxfxx? ?, 于是有 1()dx f x ?2221112xxdxxdx ? ? ?221112xdx?32113xC ?. (3)【答案】0ca?(或20axc?),b任意 【解析】对2yaxbxc?两边求导得?0022yaxb,yxaxb,? 所以过?00x,y的切线方程为?0002yyaxbxx,?即 ?200002yaxbxcaxbxx.? 又题设知切线过原点?00,把0xy?代入上式,得 2200002axbxcaxbx,?即20axc.? 实用文档 文案大全 由于系数0a?,所以,系数应满足的关系为0ca?(或20axc?),b任意. (4)【答案】?10

10、00T, , 【解析】因为A是范德蒙行列式,由ijaa?知?0ijAaa?.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TAXB?有唯一解. 根据克莱姆法则,对于 2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa? ?, 易见 1230nDA,DDD.? ? 所以TAXB?的解为12310nx,xxx? ?,即?1000T, , . 【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 11112211211222221122,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb? ? 或简记为 112nijjijaxb,i,n? ? 其系数

11、行列式 1112121222120 n nn nnnaa aaaaDaaa? ?, 则方程组有唯一解 12jjDx ,j,n.D? 其中jD是用常数项12nb,b,b替换D中第j列所成的行列式,即 实用文档 文案大全 1111111121212212111,j,j n, j, jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa? ? ?. (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解： (1)已知方差22 0.9 ?,对正态总体的数学期望?进行估计,可根据 因2 (,0.9)XN ?,设有n个样本, 样本均值11niiXXn?, 有20.9(,) XNn?,将其

12、标准化,由公式()(0,1)()XEXNDXn?得： )1,0(1NnX? 由正态分布分为点的定义 211XPu n?可确定临界值2?u, 进而确定相应的置信区间2 2(,)xuxunn?. (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值?的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间22,xux unn?, 其中21,(0,1)PUuUN? ?,可以直接得出答案. 方法1：由题设,95.01?, 可见.05.0?查标准正态分布表知分位点.96.12?u本题9n?, 5X?, 因此,根据 95.096.11?nXP?,有 51.960.9519P?,即 4.4125.5880.95P?, 实

13、用文档 文案大全 1 x y O 1212 故?的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) . 方法2：由题设,95.01?, 222222()10.95,()0.975PUuPuUuuu? 查得.96 . 12?u 20.9 ?,9n? , 5X?代入22(,)xuxunn?得置信区间(4.412,5.588). 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) 【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos,sinxryr?中是 ?,|0,0cos, 2 Drr? 即

14、是由221124xy?与x轴在第一象限所围成的 平面图形,如右图. 由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y,? 上边界的方程是2yxx?,从而D 的直角坐标表示是 ?2010Dx,y|x,yxx, ? 故(D)正确. 方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 ?1,|0,0sin,2Drr? 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形?0101x,y|x,y,? 所以,他们都是不正确的.故应选(D). (2)【答案】(A) 【解析】由于级数21nnu?和21nnv?都收敛,可见级数?221nnnuv?收敛

15、.由不等式 222nnnnuvuv? 实用文档 文案大全 及比较判别法知级数12nnnuv?收敛,从而12nnnuv?收敛. 又因为?2222nnnnnnuvuvuv,?即级数?21nnnuv?收敛,故应选(A). 设?21112nnu,vn,n? ?,可知(B)不正确. 设?21112nun,nn? ?,可知(C)不正确. 设? ?11112nnnu,vn,nn? ?,可知(D)不正确. 注：在本题中命题(D)“若级数1nnu?收敛,且(1,2,)nnuvn? ?,则级数1nnv?也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这

16、是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C) 【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAAAAE?, 现将A?视为关系式中的矩阵A,则有()AAAE?. 方法一：由1nAA? 及1()AAA?,可得 121()().nnAAAAAAAA? 故应选(C). 方法二：由()AAAE?,左乘A得 1()()nAAAAA?,即1()()nAEAAA?. 故应选(C). (4)【答案】(D) 【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,s? ?线性无关,即若11220ssxxx? ?,必有120,0,0sxxx? ?. 既然1,m? ?与1,mk k不全为零,

17、由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般情况下,对于 1122110,sssskkkll? ? 实用文档 文案大全 不能保证必有11220,sskkk? ?及110,ssll? ?故(A)不正确.由已知条件,有 ?1111110mmmmmmkk? ?, 又1,m? ?与1,mk k不全为零,故1111,mmmm? ?线性相关. 故选(D). (5)【答案】(B) 【解析】依题意 ? ? ? ? ? ?12121212)(,.()()()()()PAABPABPABPABABPABPABPBPBPBPBPB? 因()0PB?,故有?1212)(PABABPABPAB?.因此应选

18、(B). 注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,AA应满足12()0,()0PAPA?,且12,AA是对立事件 . 【相关知识点】条件概率公式：()(|)()PABPBAPA?. 三、(本题满分6分) 【解析】(1) 由于()gx有二阶连续导数,故当0x?时,()fx也具有二阶连续导数,此时,()fx?可直接计算,且()fx?连续；当0x?时,需用导数的定义求(0)f?. 当0x?时 , 22()()()()(1)().xxxxgxegxexgxgxxefxxx? 当0x?时,由导数定义及洛必达法则,有 20

19、00()()()(0)1(0)limlimlim222xxxxxxgxegxegxegfxx?洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxgxgxxexxfxgx? (2) ()fx?在0x?点的连续性要用定义来判定.因为在0x?处,有 200()()(1)lim()limxxxxgxgxxefxx? 实用文档 文案大全 0()()()(1)lim2xxxgxxgxgxexex? 0()(0)1lim(0)22xxgxegf?. 而()fx?在0x?处是连续函数,所以()fx?在(,)?上为连续函数. 四、(本题满分6分) 【解析】由()zfu? 可得(),()zuzufufu

20、xxyy?. 在方程()()xyuuptdt?两边分别对,xy求偏导数,得 ()(),()().uuuuupxupyxxyy? 所以 ()(),1()1()upxupyxuyu?. 于是 ()()()()()()()01()1()zzpxpypxpypypxfuxyuu?. 五、(本题满分6分) 【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为 21(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee?分部积分 1(1)1111ln(1),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe? 所以 20limln(1)ln2.(1)1xxxxxxxe

21、xedxeee? 而 limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxexeeeeee? limln(1)1xxxxxexee? 实用文档 文案大全 lim001xxxe?, 故原式ln2?. 方法 2: 220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee? 00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee? 六、(本题满分5分) 【分析】由结论可知,若令()()xxfx?,则()()()xfxxfx?.因此,只需证明()x?在0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件. 【解析】令()()xxfx?,由积分中值定理可知,存在1(0

22、,)2?,使 1122001()()()2xfxdxxdx?, 由已知条件, 有1201(1)2()2()(),2fxfxdx?于是 (1)(1)(),f? 且()x?在(,1)?上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),?使得 ()0,?即()()0.ff? 【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()fx在积分区间 ,ab上连续,则在 ,ab上至少存在一个点?,使下式成立： ?()()()bafxdxfbaab?. 这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()fx满足 (1)在闭区间 ,ab上连续； (2)在开区间?a,b内可导； 实用文档 文案大全 (3)在区间端点处的

23、函数值相等,即()()fafb?, 那么在?a,b内至少有一点?(ab?),使得?0f?. 七、(本题满分6分) 【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数?0fx?,则函数?fx单调递增,反之递减. 【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则 ? ?22(),().abcpbaRpQpcRppbpb? 令0,R?得 0()0abbpbabccc?. 当0()bpabcc?时,0R?,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加. 当()bpabcc?时,有0R?,所以随单价p的增加,相应销售额R将减少. (2)由(1)可知, 当()bpabcc?时,销售额R取得最大值,最大销售额为

24、 2max()abaRbcabccabc?. 八、(本题满分6分) 【解析】令yzx?, 则dydzzxdxdx?. 当0x?时, 原方程化为21dzzxzzdx?, 即21dzdxxz?,其通解为21ln(1)lnzzxC? 或 2C1zzx?. 代回原变量, 得通解22(0)yxyCx?. 当0x?时,原方程的解与0x?时相同,理由如下: 令tx?,于是0t?,而且 222222yxyyxyytydydydxdydtdxdtdxxxt?. 实用文档 文案大全 从而有通解22(0)ytyCt?, 即22(0)yxyCx?. 综合得, 方程的通解为22yxyC?. 注：由于未给定自变量x的取值

25、范围,因而在本题求解过程中, 引入新未知函数yzx?后得 2221xyxz?, 从而,应当分别对0x?和0x?求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分8分) 【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3?是A的特征值,故 31001300313138(2)0,003113110011yEAyy? 所以2y?. (2)由于TAA?,要2()()TTAPAPPAP?,而 21000010000540045A? 是对称矩阵,故可构造二次型2TxAx,将其化

26、为标准形Tyy?.即有2A与?合同.亦即2TPAP?. 方法一：配方法. 由于 22222123434558TxAxxxxxxx? 22222212334444222212344816165()55255495(),55xxxxxxxxxxxxx? 那么, 令1122334444,5yxyxyxxyx?即经坐标变换 实用文档 文案大全 1122334410000100,400150001xyxyxyxy? 有 222221234955TxAxyyyy?. 所以,取 10000100400150001P?,有 211()()595TTAPAPPAP?. 方法二：正交变换法. 二次型2222212

27、3434558TxAxxxxxxx?对应的矩阵为 21000010000540045A?, 其特征多项式 2310000100(1)(9)00540045EA?. 2A的特征值12341,1,1,9?.由21()0EAx?,即 123400000000000044000440xxxx?, 和24()0EAx?,即 123480000080000044000440xxxx?, 分别求得对应1,2,31?的线性无关特征向量 实用文档 文案大全 123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)TTT?, 和49?的特征向量4(0,0,1,1)T?. 对123,?用施密特正交化方法得1

28、23,?,再将4?单位化为4?,其中： 12341111(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,),(0,0,)2222TTTT?. 取正交矩阵 ? ?123411100001000000,221122P?, 则 1221119TPAPPAP?, 即 211()()19TTAPAPPAP?. 十、(本题满分8分) 【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,tkkk k使得 1122()()()0,ttkkkk? ? (1) 则因12,t? ?是0AX?的解,知0(1,2,)iAit? ?,用A左乘上式的两边,有 12()0tkkkkA? ?. (2) 由于0A?,故120tkkkk

29、? ?. 对(1)重新分组为121122()0tttkkkkkkk? ?. (3) 把(2)代入(3)得 11220ttkkk? ?. 由于12,t? ?是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,0tkkk? ?. 实用文档 文案大全 代入(2)式得:0k?. 因此向量组12,t? ?线性无关. 证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有 ?1212,.tt? ? 因此 ?1212,.ttrr? ? 由于12,t? ?是基础解系,它们是线性无关的,秩?12,trt? ?,又?必不能由12,t? ?线性表出(否则0A?),故?12,1trt? ?. 所以 ?12,1.trt? ? 即向量组12,t? ?线性无关. 十一、(本题满分7分) 【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即(5,0.2)B. 由二项分布的概率计算公式,有 ?500.80.32768,PX? ?14510.80.20.4096,PXC?232520.80.20.2048,PXC? ?310120.0