现代时间序列模型

1、第十章现代时间序列模型时间序列分析是根据系统的有限长度的运行记录，建立能够比较精确反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型。其主要分为确定性时间序列分析和随机性时间序列分析，本章主要讨论随机性时间序列分析。实验目的：掌握如何建立一个准确的时间序列模型。实验内容：一、时间序列数据的平稳性检验二、时间序列数据的平稳化处理三、时间序列数据模型的识别和定阶四、时间序列模型的参数估计五、时间序列模型的检验六、协整分析和误差修正模型知识准备：一、ARMA模型概述在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳时间序列或通过适当差分可以化成一个平稳序列。如果时间序列满足下列条件： ,

2、为与时间t无关的常数； ,为与时间t无关的常数； , 为只与时间间隔s有关，与时间t无关的常数。则称该随机时间序列是平稳的，而该随机过程是一平稳随机过程。本节的讨论是在此平稳性假设成立下进行的。对于一个平稳时间序列通常用以下三个模型来刻划。1、自回归过程如果一个线性过程可表达为 (1)其中,i = 1, p 是自回归参数，是是均值为零、方差为的白噪声过程，则称为p阶自回归过程，用AR(p)表示。若用滞后算子（L）表示 (2)其中称为特征多项式或自回归算子。与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，其平稳的充要条件是的根全部落在单位圆之外。对于一般的自回归过程AR (p)

3、，其特征多项式可以分解为: （3）则可表达为： （4）其中是待定系数。具有平稳性的条件是必须收敛，即应有, i = 1, 2, , p。而是特征方程的根，所以保证AR(p)具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆之外，即 。由上式可看出一个平稳的AR(p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程（p个无穷级数之和）。保证AR(p) 过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小于1，即 （5）AR(p) 过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，其各自的平稳性条件如下：AR(1)模型 （6）AR(2)模型 ， （7）2、移动平均过程如果一个线性随机过程可用下式表达 （8）其中,

4、 , , 是回归参数，为白噪声过程，则上式称为q阶移动平均过程，记为MA(q) 。之所以称“移动平均”，是因为是由q +1个和滞后项的加权和构造而成。由定义知任何一个q 阶移动平均过程都是由q + 1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。上式还可以用滞后算子(L)表示为： （9）其中称为移动平均特征多项式或移到回归算子。与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程。 (10)的全部根的绝对值必须大于1。 由 (9) 有。由于可表示为 (11)所以有 (12)可见MA(q)具有可逆性的条件是收敛。对于，必须有或，j = 1，2，q成立

5、。而是特征方程的根，所以MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程的根必须在单位圆之外。MA(q) 过程中最常用的是MA(1)、MA(2)过程，其各自的可逆性条件如下：MA(1)模型 ( 13）MA(2)模型 ， （14）移动平均模型与自回归模型的关系如下：（1）一个平稳的AR(p)过程可以转换为一个无限阶的移动平均过程；（2）一个可逆的MA(p)过程可转换成一个无限阶的自回归过程；（3）对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是F (L) = 0的根（绝对值）必须大于1。不必考虑可逆性问题。（4）对于MA(q)过程，只需考虑可逆性问题，条件是Q (L) = 0的根（绝对值）必须大于1，不必考

6、虑平稳性问题。3、自回归移动平均过程由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p, q), 其中p, q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式如下： (15)即 (16)或 (17)其中 和分别表示L的p, q阶特征多项式，分别称谓自回归算子和移动平均算子。ARMA(p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即的根取值应在单位圆之外。二、平稳时间序列模型（一）模型识别以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种

7、模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1、自相关函数在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。对于一个均值为，方差为的平稳随机过程，相隔k期的两个随机变量的协方差即滞后k期的自协方差，定义为 (18) 自相关系数定义 (19) 因为对于一个平稳过程有 所以（19）可以改写为 (20)（1）自回归过程的自相关函数一阶自回归模型AR(1)：的k阶滞后自协方差为 （21）因此，AR(1)模型的自相关函数为 (22）由于AR(1)的稳定性知，因此，当时，其自相关函数呈指数衰减，直至零。这种现象称为拖尾。一般地，AR(p) 过程滞后k期的自协方差函数为 (23)用分别

8、除（8）式的两端得 （24）可见，无论k有多大，的计算均与其1到p阶滞后的自相关函数有关，因此，呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的，则递减且趋于零。（2）移动平均过程的自相关函数对MA(1)过程可以证明其自协方差函数为： （25） 综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函数为 （26）可见，当k>1时，,即之间是不相关的，MA(1)自相关函数是截尾的。一般地，MA(q) 过程的自相关函数为 (27)当k>q 时，说明具有截尾特征。2、偏自相关函数偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用 表示k阶自回归式中第j个回归系数，则k阶自回归模型表示为 其中是最后一个回归系数。若把k

9、 = 1, 2的一系列回归式看作是滞后期k的函数，则称为偏自相关函数。对于AR(p)过程，当k £ p时，当k > p时，。偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，因此可用此特征识别AR(p)过程的阶数。因为任何一个可逆的MA(q) 过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递减的AR过程，所以MA(q) 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征。ARMA(p,q)是自回归模型和移动平均模型的结合体，因此，其自相关函数和偏自相关函数都呈现出拖尾特征。由此得出随机序列识别原则的结论：（1）若序列的偏自相关函数在p以后截尾，即k>q时，,而它的自相关函数是拖尾的，则该序列用自回归模型来拟合

10、。（2）若序列的自相关函数在q以后截尾，即k>q时，=0,而它的偏自相关函数是拖尾的，则该序列用移动平均模型来拟合。（3）若序列的自相关函数是拖尾巴的，并且它的偏自相关函数也是拖尾的，则该序列用自回归移动平均模型来拟合。（二）模型定阶模型的定阶方法主要有残差方差图定阶法、F检验定阶法、自相关函数和偏自相关函数定阶法及最佳准则函数定阶法。在这主要介绍利用样本的自相关函数和偏自相关函数，同时结合F检验来确定模型的阶数。1、自相关函数和偏自相关函数定阶法当然一个过程的自相关函数和偏自相关函数通常是未知的，用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数。因此，在实际识别时，由于样本偏自相关函数的

11、随机性，当k>p时，不会全为零，而是在零的附近波动。但可以证明，当k>p时，服从渐近正态分布 （28）式中n表示样本容量。因此，如果计算的满足,我们有99.5%的把握判断该时间序列在k>p之后截尾。同样可以证明，当k>q时，也服从渐近正态分布 （29）因此，如果计算的满足,我们就有99.5%的把握判断该时间序列在k>q之后截尾。2、F检验定阶法先对数据拟合ARMA(p,q)模型(假设不含常数项)，设其残差平方和为Q0，再对数据拟合 较低阶的模型ARMA(p-m,q-s)，设其残差平方和为Q1。建立原假设H0： (30)在原假设成立的条件下有： (31)若，则拒绝原

12、假设，说明两模型差异是显著的，此时模型阶数存在升高的可能性。若，此不能拒绝原假设，说明两模型差异不显著，此时模型阶数存在降低的可能性。（三）参数估计模型的参数估计方法有矩估计、最小二乘估计和最大似然估计。矩方法估计就是利用样本自协方差函数或样本自相关函数对模型参数进行估计，其估计精度较低。因此在模型估计过程中，常使用后两种。在此对这两种方法不在重述。（四）模型检验这一阶段主要检验拟合的模型是否合理。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是检验模型的残差序列是否为白噪声。参数估计值的显著性检验是通过t检验完成的，而模型的残差序列是否为白噪声的检验是用Box-Pierce (1970) 提出的

13、Q统计量完成的。Q检验的零假设是： (32)即模型的误差项是一个白噪声过程。Q统计量定义为 (33)近似服从 分布，其中,n表示样本容量，m为模型中的参数个数， 表示用残差序列计算的自相关系数值。Ljung和Box认为(33)式定义的Q统计量的分布与分布存在差异（相应值偏小），于是提出修正的Q统计量。 (34) 其中 ，L，m的定义如(33)式。（EViews中给出的Q统计量就是按(34)式定义的。） 若 ，则拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列。 若 ，则接受原假设，认为该序列为白噪声序列三、非平稳时间序列模型给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个

14、平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳时间序列则往往表现出在一个不同的时间段具有不同的均值。然而，这种直观的判断也常出现错误，因此需要进一步的判别。通常的做法是检验样本相关函数图，如果一个序列的自相关函数或偏自相关函数既不截尾又不拖尾，则可以判定该序列是非平稳的。对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则更为准确和重要。单位根检验是统计检验中普遍使用的一种检验方法。1、DF检验一般地，检验平稳性，可通过检验 （35）中的参数是否小于1，或检验其变形等价式 （36）中的参数是否小于零。如果或（或），则时间序列是非平稳的。由此建立相应的假设:

15、H0: ;H1: （37）上述检验可通过OLS的t检验来完成。但在原假设成立的情况下，通常的t检验是无法使用。Dicky和Fuller提出了这一情形下t统计量服从的分布（t统计量），即DF分布。检验仍然采用OLS法估计（36），并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较。如果t<临界值，则拒绝零假设H0：d =0，则认为时间序列不存在单位根，是平稳的。2、ADF检验在DF检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，或时间序列的长期趋势，用OLS

16、法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。因此在DF检验的基础上提出了扩展的单位根检验（ADF）。 ADF检验是通过下面三个模型完成的：模型1： （38）模型2： （39）模型3： （40）实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相应的临界值。一个简单的检验方法是同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设。只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的。当三

17、个模型都不能拒绝原假设时，则认为时间序列是非平稳的。这里所谓模型的适当形式是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声。四、协整和误差修正模型1、单整单整性：若一个随机过程 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称具有d阶单整性。用 I(d) 表示。对于平稳过程表示为I(0)。注意：单整过程是指单整阶数大于零的过程。对于I(d) 过程 (41)因含有d个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test）。2、协整如果序列都是d阶单整，存在向量，使得I(d-b),其中，b>0，则认为序列是(d,b)阶协整，记为x

18、tCI(d,b)，a为协整向量。为了检验两变量是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，若k个序列都是1阶单整序列，用OLS方法估计方程,并计算非均衡误差，得到： （42） （43）第二步，检验的单整性。的单整性的检验方法仍然是DF或ADF检验。由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项。如使用模型,进行检验时，拒绝零假设H0：d=0，意味着误差项是平稳序列，从而说明存在协整关系。协整检验的目的是决定一组非平稳时序的线性组合是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回归方程设定是否合理，这两者的检验思路和过程是完全相同的。利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，进而确定回归方程的变量之间是否存在协整关系，同时还可判断模型设定是否正确。如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明变量间存在长期均衡关系。3、误差修正模型误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。 假设两变量x与y的长期均衡关系为: （44）但是现实经济活动中x和y很少处在均衡点上，因此我们实际观测到的只是变量间的短