高二第三章空间向量单元测试

1、优秀学习资料欢迎下载选修 2-1 第三章空间向量与立体几何检测题一选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量a0、 b0 是与非零向量a、 b 同方向的单位向量，则下列各式中正确的是（）A 、 a0b0B、 a0b0 或 a0b0C、 a0 1D、 | a0 | | b0 |2.在空间直角坐标系中，已知点p(x,y,z)，那么下列说法正确的是（）A 点 p 关于 x 轴对称的坐标是x,y, zB点 p 关于 yoz平面对称的坐标是x,y,zC点 p 关于 y 轴对称点的坐标是x,y, zD 点 p 关于原点对称点

2、的坐标是x,y,z3已知向量 a(0,2,1), b(1,1,2),则 a与b 的夹角为（）A0°B 45°C 90°D 180°4 三棱柱 ABCA1 B1C1 中，M 、N 分别是 BB1 、AC 的中点，设 ABa ，ACb ，AA1c ，则NM等于（）A 1 (a b c)B 1 (a b c)C 1 (a c)D a1 (c b)22225在空间直角坐标系中， A(1,2,3), B(1,0,5), C (3,0,4), D (4,1,3), 则直线 AB与 CD 的位置关系是（）A 平行B 垂直C相交但不垂直D无法确定6已知正方体 ABCD

3、ABCD ， E 是底面 ABCD 的中心，a1 AA，b1 AB，c1 AD， AE xa ybzc ，则（ ）223A 、 x2， y1， z3B、 x 1， y1 ， z1222C、 x11， z1D、 x112， y， y， z322227下面可以作为空间向量的一组基底是（）A a(1,2,3), b(3,0,2), c(4,2,5)B a(1,2,1),b(0,2,4), c(0,1,2)C a(1,1,0), b(1,0,1),c(0,1, 1)D a(1,2,3), b (2,4,6), c (4,2,5)8在下列命题中：若a、b 共线， 则 a、b 所在的直线平行；若 a、b

4、所在的直线是异面直线，优秀学习资料欢迎下载则 a、b 一定不共面；若a、b、c 三向量两两共面，则a、b、c 三向量一定也共面；已知三向量a、b、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为pxaybzc 其中正确命题的个数为（）A 0B1C 2D39在平行六面体ABCD ABCD 中， AB 1， AD 2，AA 3， BAD 90°， BAA DAA 60°，则 AC 的长为（）A、 13B、 23C、 33D 、4310已知正方形 ABCD 的边长为4， E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC平面 ABCD ，且GC 2，则点 B 到平面 EFG 的距离为（）1

5、02113D 1A B11C105二填空题：（ 3× 6 21 分）11已知点A(5,3,7), B(2,6,5),C ( 4,3,10), M 是 AB 的中点，则 MC12若 a(1,1,0),b( 1,0, 2), 则 ab 同方向的单位向量是_.13已知a, b 是空间二向量，若| a |3, | b |2, | ab |7 ,则a与b的夹角为14 a=( x,2,1),b =(-3,x2,-5),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为。15下列说法正确 的是 若 ab ，则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 .若向量 AB,CD 满足 ABCD ，且 AB与 CD

6、同向，则 AB CD .若两个非零向量AB与CD 满足 ABCD0 ,则 AB / CD .同一平面的不同的法向量是共面向量。若 a 是平面的法向量，直线 l, b 是直线 l 的方向向量，则 a b 016已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长是1，则直线 DA 1 与 AC 间的距离为.题._答_._准_.:号 学_不_ . _ _ _ _:内名.姓._ _ _ _线_ _ _ _ _ _:级 封班 密.优秀学习资料欢迎下载选修 2-1 第三章空间向量与立体几何检测题答题卷一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）题23456789101号答案二、填空题（本大题共6

7、小题，每小题3 分，共 18 分）111213141516三、解答题：本大题共4 小题，共 42分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（ 8 分）已知向量 a、 b（ 1，0，2）。求：（1，1,0） a 与 b 夹角的余弦值 | 3a 2b |确定实数 k，使 kab 与 2a b 互相垂直。优秀学习资料欢迎下载18（ 12 分）棱长为1 的正方体中 ,E,F 分别是 DD 1 , DB 的中点 ,G 在棱 CD 上 ,且1D1C1CG= CD ,H 是 C1G 的中点 .3A1B1(1)证明:EFB1C . (2) 求 cos EF, C1G .EH(3)求 FH的长.DGC

8、FAB优秀学习资料欢迎下载19（ 10 分）如图甲，在平行四边形ABCD 中， AB1, BD2,ABD90 , 将它沿对角线 BD 折起，折后的 C 变成 C1 ，且 A,C1 间的距离为 2，如图乙所示。（ 1）求证：平面 AC1 D 平面 ABD（ 2） E 为线段 AC1 上的一个动点，当线段EC1 的长为多少时，DE 与平面 BC1D 所成的角为 30AADEDBB甲乙C1C优秀学习资料欢迎下载20（ 12 分）如图ABCD是直角梯形，ABC BAD 90°，SA平面ABCD，SAAB BC1，AD 12（ 1）求SC 与平面ASD所成的角余弦值；（ 2）求平面SAB 和平

9、面 SCD 所成角的余弦值；B（ 3）求点 C 到平面 SBD 的距离。CAD优秀学习资料欢迎下载19（ 12 分）如图甲，在平行四边形ABCD 中， AB1, BD2,ABD90 , 将它沿对角线 BD 折起，折后的 C 变成 C1 ，且 A,C1 间的距离为 2，如图乙所示。（ 1）求证：平面 AC1 D 平面 ABD（ 2）求二面角 B AC1D 的大小（ 3） E 为线段 AC1 上的一个动点，当线段EC1 的长为多少时，DE 与平面 BC1D 所成的角为 30AADEDBB甲乙C1C20（ 12 分）如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2 的正方形， AE EB，

10、F为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE （）求证： AE 平面 BCE；（）求二面角B-AC-E 的余弦值；DC（）求点D 到平面 ACE 的距离。FABE优秀学习资料欢迎下载19、已知平行六面体ABCD ABCD 的底面是菱形，且CCB CCD BCD.求证： CC BD ；当的值为多少时，能使AC 平面 CBD ？给出证明；求证平面AED 平面 AFD.优秀学习资料欢迎下载D'CAB'DCAB1已知 A 、B 、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点M与点A、B、 C 一定共面的是（）A OMOAOBOCB OM2OAOB OCC OMOA1

11、 OB1 OCDOM1 OA1 OB1 OC233332直三棱柱ABC1 1 1中，若 CAa CBb CCC则A B （）A B C,1,1A a b cB a b c C a b c D a b c3若向量 m垂直向量 a和b,向量 na b(,R且 、0)则 （）A m / nB mnC m不平行于 n, m也不垂直于 nD以上三种情况都可能4设向量 a, b, c 是空间一个基底， 则一定可以与向量pab, q ab 构成空间的另一个基底的向量是（）A aB bC cD a或 b5对空间任意两个向量a, b(bo), a / b 的充要条件是（）A a bB abC baD ab6已知

12、向量 a(0,2,1), b(1,1, 2),则 a与b 的夹角为（）A0°B 45°C 90°D 180°7设 A 、 B、 C、 D 是空间不共面的四点，且满足ABAC0, AB AD0,AC AD 0则 BCD 是（）优秀学习资料欢迎下载A 钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定8已知 a( 1,0,2), b (6,21,2),若 a / b,则与 的值分别为 （）11B 5，211D -5， -2A ,2C,2559在下列命题中：若a、 b 共线，则 a、 b 所在的直线平行；若a、 b 所在的直线是异面直线，则 a、 b 一定不共面；若a

13、、 b、 c 三向量两两共面，则a、 b、 c 三向量一定也共面；已知三向量 a、b、 c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc其中正确命题的个数为（）A 0B 1C 2D 310 已知正方形 ABCD 的边长为4， E、F 分别是 AB、AD 的中点， GC平面 ABCD ，且 GC 2，则点 B 到平面 EFG 的距离为（）A 10B 2 11C 3D 110115二、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）11若 A( m 1，n 1,3)，B(2m,n,m 2n)，C(m 3,n 3,9)三点共线， 则m+n=12已知S 是 ABC所在平面外一点，D

14、 是SC 的中点，若 BD xAByACzAS ，则x y z13 在棱长为1 的正方体ABCD A 1B1C1D 1中， M和N分别为A1B1和BB 1 的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是14（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60 ，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。z三 解答题D1C115在正方体 ABCD A1 B1 C1 D1中，如图 E、F 分别是 BB1，CDA1B1的中点，（ 1）求证： D1 F平面 ADE ；DECyFxAB优秀学习资料欢迎下载（ 2） cos EF ,CB1 16如图，直三棱柱

15、 ABC-A 1B1C1 底面 ABC 中， CA=CB=1 ， BCA=90 °，棱 AA 1=2M ，N 分别是 A 1B1， A 1A 的中点。（ 1）求 BN 的长度；（ 2）求 cos（ BA1 ， CB1 ）的值；（ 3）求证： A1BC1M 。优秀学习资料欢迎下载第 16题图2直三棱柱 ABC A1 B1C1 中，若 CAa,CBb,CC1c, 则 A1B（）A a b cB a b cC a b cD a b c若向量 m垂直向量 a和 b( a与b不共线）,向量 nab(、0)则（）3A m / nB mnC不平行于也不垂直于nD以上三种情况都可能mn, m4已知

16、a(1,0,2), b(6,21,2), 若a / b,则 与 的值分别为（）A 1,1B5，2C1,1D-5，-252525已知向量 a(0,2,1), b( 1,1, 2),则 a与b 的夹角为（）A0°B45°C90°D 180°6已知 a, b, c 是空间三向量，则 ab 与 a cbc 的大小关系为（）A a b a c b cB. a b a c b cC a b a c b cD. a b a c b c7已知 A（1，2-1），OC 与 OA 关于面 xoy 对称，OB 与 OA 关于 x 轴对称，则 BC =()A （-2，0，2）

17、B（0，-4，0） C（0，4，0） D（-2，4，2）8如图，正方体 ABCD A 1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A 1B1C1D1 的中心，则O 到平面 ABC1D1 的距离为：优秀学习资料欢迎下载（）A 1B 224C 2D 32211 1 1中，M和N分别为 A11和 BB1的中9在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C DB点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（）A2B 2C 3D 105551010 O 是平面上一 定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPOAABAC),0,). 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的(| AC|AB|（）

18、A 外心B内心C重心D垂心11如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC0 ； BAC 60 ；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC 的法向量和平面 ABC其中正确的是的法向量互相垂直A（）BCDAADBBDCC12如图，正三棱锥P-ABC 的底面边长为1， E,F,G,H,分别是 PA,AC,BC,PD 的中点，四边形EFGH 的面积为 S(x)，则 S(x)值域为（）优秀学习资料欢迎下载A1B（0, +）C（ 3 , +） D（ 3 , +）4126二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分

19、，共 12 分）13若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 三点共线，则 m+n=。14已知 A（ 0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若 | a |3, 且 aAB, aAC,则向量 a的坐标为。15已知点 G 是 ABC 的重心， O 是空间任一点，若OA OB OCOG,则 的值 为。1 11D1 中， O 为正方形 ABCD 的中心， E、16在棱长为 1 的正方体 ABCD A B CF 分别为 AB 、BC 的中点，则异面直线 C1O 与 EF 的距离为。三、解答题（本大题共6 题，共 40 分）17如图， M 、N、E、

20、F、G、 H 分别是四面体 ABCD 中各棱的中点，若此四面体的所有棱相等，求 (1)EF与GH的夹角; (2) EF ( NHMG) 。（8 分）18直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， BC1AB1，BC1A1C求证： AB 1=A 1C。（ 10 分）优秀学习资料欢迎下载19正四棱锥 SABCD 中，所有棱长都是 2，P 为 SA 的中点，如图 ,如果点 Q 在棱 SC 上，那么直线 BQ 与 PD 能否垂直？请说明理由。（ 10 分）1设向量 a,b, c 是空间向量的一个基底， 则一定可以与向量pab, qab 构成空间的另一个基底的向量是（）A aB bC cD a或 b思路分析：

21、 不共面的三个向量可以构成空间向量的基底。而a 、 b 、ab 、 ab是共面向量，又由于向量 a,b,c是空间向量的一个基底，则a 、 b 、 c 必不共面，因此，c 与 ab 、 ab 不共面，可以作为基底。答案： C优秀学习资料欢迎下载2已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是（）A OMOAOBOCB OM2OAOBOCC OMOA1 OB1 OCD OM1 OA1 OB1 OC23333思路分析： 对空间任一点 O 和不共线的三点A 、B、C，则满足向量关系式：OMxOAyOBzOC （其中 x yz 1）的

22、四点 P、A 、B、 C 共面。答案： D3在空间直角坐标系中，已知点P( x, y, z) ，那么下列说法正确 的是（）A.点p 关于x 轴对称的坐标是p1x,y, zB.点p 关于yoz 平面对称的坐标是p2x,y,zC.点p 关于y 轴对称点的坐标是p3x,y, zD.点p 关于原点对称点的坐标是x,y,z思路分析： 考虑由点关于点、直线、平面的对称的知识解答即可。答案： D已知a 3i2 j k, bi j2k, 则5a与 2b的数量积等于4（）A-15B-5C-3D-1思路分析：设空间向量 a( a1 ,a2 , a3 ) ，b(b1,b2 ,b3) ，则 a ba 1b 1 a 2

23、b 2 a 3b 3 ，把 5a(15,10, 5) ， 2b(3, 3,6)代入上式即可。答案： A5已知向量 a(0,2,1), b( 1,1,2),则 a 与 b 的夹角为（）A0°B45°C90°D180°思路分析： 设 a( a1 ,a2 , a3 ) ， b(b1, b2 ,b3 ) ，则优秀学习资料欢迎下载cosa, ba1b1a2 b2a3b3，把 a ( a1, a2 , a3 ) ， b(b1, b2 ,b3) 代入a12a22a32b12b2 2b32上式即可求得 cosa, b，从而得出 a 与 b 的夹角。答案： C6到定点 1

24、,0,0的距离小于或等于 1 的点集合为（）A.2y2z21B.x, y, z | x 12y2z21x, y, z | x 1C.x, y, z | x 1 y z 1D.x, y, z | x2y2z21思路分析： 在空间直角坐标系中，已知A( x1 , y1, z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) ，则 A 、 B 两点间的距离公式：， dA ,B(x2 x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2，设所求点为 ( x, y, z) ，则代入上式后，两边平方可得x12y2z21。答案： A7设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足 AB AC0, ABAD0, ACAD

25、0则 BCD 是（）A 钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定思路分析： 由 ABAC0, AB AD0, AC AD0 可知： ABAC ,ABAD, ACAD ，即四面体 ABCD 的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形。答案： C8已知 a(1,0,2), b (6,21,2), 若 a / b ，则与的值分别为（）A 1,1B5，2C1 , 1D-5，-25252思路分析： a / b ，则存在 mR，使得 a mb，又 a(1,0,2 ), b(6,21,2),优秀学习资料欢迎下载1 6m1则有， 0m(21) ，可得：5 。22m12答案： A9已知 P3cos,3sin ,1

26、 和Q2cos,2sin,1，则 PQ 的取值范围是（）A. 0,5B. 0,25C.1,5D. 1,5思路分析： 由空间两点的距离公式：PQ(3cos2cos)2(3sin2sin )2(1 1)213 12cos()，又由 1cos()1，则 1PQ5 。答案： C10思路分析： 建立空间直角坐标系1D111，（图略），则易知：AM(0,1)，AC D1) ，代入向量的夹角公式可求得：22CN (1,0,cos AM ,CN25答案： B第卷 (非选择题共 70 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)11已知i, j , k 为单位正交基底，且 aij3k,b

27、2i3 j2k ，则向量 ab 与向量 a2b 的坐标分别是 _;_.思路分析： 本题主要考查向量的加、减法运算及坐标表示。易求得：abi2 jk , a2b5i7 j7k 。答案：（ 1,-2,1），（ 5,7,7）12已知 A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若 | a |3, 且 aAB, aAC,则向量 a 的坐标为.思路分析： 设 a( x, y, z) ，又 AB( 2, 1,3) ， AC(1, 3,2) ，则由优秀学习资料欢迎下载| a |3, aAB , aAC ,可解得： x=y=z=1或 x=y=z=-1 。答案：（ 1， 1， 1）或（ -1， -

28、1，-1）13.已知 a(cos,1,sin ), b(sin ,1,cos), 则向量 ab与 ab 的夹角是 _.思路分析： 由 ab(cossin,0,sincos) ，a b(cossin ,0,sincos) ，因为 (ab)( ab)0 ，则 ab, ab900答案： 90014已知 a1t ,1t, t , b2,t, t，则 ba 的最小值是 _.思路分析： 由于 b a1t ,2t1,0，则 b a2t )2(2t1)25t 22t 2(15(t1 )29 ，当 t1 时， ba3 5 。555min5答案：3 55三、解答题 (本大题共 6 小题，共 54 分.解答应写出文

29、字说明、证明过程或演算步骤)15（6 分）已知 a2,4, x ,b2, y,2 ，若 a6且 ab ，求 xy 的值 .思路分析： 本题主要考查空间向量的基本定义问题，只需代入向量的模的公式及向量垂直的条件，解方程组即可。答案：由 a 62242x236 又 a ba b0即： 44y2x0 由有： x4, y3或 x4, y1 x y 1或 316（8 分）设向量 a3,5, 4,b2,1,8 ，计算 3a2b, a b, 并确定 ,的关系，使 ab与 z 轴垂直 .思路分析： 本题主要考查向量的运算及向量的垂直问题。优秀学习资料欢迎下载答案：3a 2b3(3,5, 4)2(2,1,8)（

30、9,15,-12） -(4,2,16)=(5,13,-28)a b(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21，由 (ab) (0,0,1)(32 ,5, 48 ) (0,0,1)4 80即当 ,满足48 0 即使 ab 与 z 轴垂直 .17（8 分）如故EF 与GH成90 的角。由，同理可证：EFMN ，EF平面 GMHM ，EFHN , EFMG故EF (NH MG) 018（10 分）直三棱柱 ABC A 1B1C1 中，BC1AB 1，BC1 A 1C.求证：AB 1=A1C.思路分析： 欲证明直三棱柱 ABC A 1B1C1 两侧面的对角线 AB 1=A 1C，则需证明两侧

31、面全等即可。答案：证明：AB1 BC1( ABBB1 )( BCCC1 )AB BCAB CC1BB1 BCBB1 CC12ABBC00CC10，又 AC1 BC1(AC1 1C1C )( BC CC1 ) AC11 BCCC1201 1BC0，又AC1 1 ，BC (AB AC) 0。AB BC ACAC取BC中点D，ABAC2 AD， BCAD0,从而知 BCAD,ABC 为等腰三角形。ABAC又棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，AB1AC1 .19（10 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， E, F 分别是 D1 D, BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG1 CD ， H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题 .4（1）求证： EFB1C ;优秀学习资料欢迎下载（2）求 EF 与 C1G 所成的角的余弦 ;（3）求 FH 的长 .(14 分)思路分析： 显然，根据本题的条件，需建立空间直角坐标系，求得相应的向量的坐标，然后根据垂直、求角以及求模公式进行求解或证明。答案：解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空