高二定积分及其简单应用

1、定积分及其简单应用定积分 baf(x) g(x)dx(f(x)>g(x) 的几何意义是什么？提示： 由直线 xa， x b 和曲线 y f(x)， y g(x)所围成的曲边梯形的面积一般情况下， 定积分 bf(x)dx 的几何意义是介于x 轴、曲线 f(x)以及直线x a，x b 之间a的曲边梯形面积的代数和 (右上图中阴影所示 ) ，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3直线 x0， x 2，y0 与曲线 y x2 所围成的曲边梯形的面积为_解析： 221328答案：80x dx x|0 .3334 01 1 x2dx_.解析：

2、由定积分的几何意义可知， 011 x2dx 表示单位圆x2 y2 1 在第一象限内部分的面积，所以121101x dx .答案： 44例 1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)22(3) 21(x 2x1)dx；(2) 0(sin x cos x)dx；0x(x1)dx；(4)22x 1dx；(5)22xdx.1e0sinx2解答 (1) 12(x2 2x 1)dx 12x2 dx 122xdx 121dx x3|12 x2 |12 x |12 19.33(2) 0(sin xcos x)dx 0sin xdx 0cos xdx ( cos x) |0 sin x|02.(3) 22222

3、213212213 0 120x(x 1)dx 0(x x)dx 0 x dx 0xdxx|0 x|03× 2× 2 0 322143 .(4) 22x1dx 22x2 112x22141214121e x1e dx 1 xdx 2e|1 ln x |1 2e2e ln 2 ln 1 2e 2e ln 2.(5)2sin2x20dx02 2112 2cos x dx201 12 dx 2201cos xdx 2 x201 2sin x20 1 4 24.变式练习1求下列定积分：22(1) 0|x 1|dx；(2)01 sin 2xdx.1 x，x 0，1212解： (1)|

4、x 1|x 1， 2故 0|x 1|dx 0 (1 x)dx1( x1)dxx 1，221 11. x x|01 x x |122222(2)21 sin 2xdx2|sin x cos x|dx4(cos x sin x)dx2(sin x cos x)dx0004 (sin x cos x)4 ( cos x sin x) 22 1 ( 12) 222.04例 2、01 x2 2xdx _.解答 01 x2 2xdx 表示 y x2 2x与 x0， x 1 及 y 0 所围成的图形的面积由 yx2 2x得 (x 1)2y21(y 0)，又 0 x 1， y x22x与 x 0，x 1 及

5、y0 所围成的图形为1个圆，其面积为124.0 x 2xdx .44在本例中，改变积分上限，求 20 x2 2xdx 的值解： 20 x2 2xdx 表示圆 (x 1)2 y2 1 在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 20 x2 2xdx2.变式练习2 (2013 ·建模拟福 )已知函数f(x) x0(cos t sin t)dt(x>0) ，则 f(x)的最大值为 _解析：因为 f(x) 0x|0x2sin 4 t dt2cos 4 t2cos 4x 2cos4 sin x cosx12sinx12 1，当且仅当 sinx1 时，等号成立 答案：2 144归纳 1、利

6、用几何意义求定积分的方法(1) 当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2) 利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积例 1、 (2012 ·山东高考 )由曲线 y x，直线 y x2 及 y 轴所围成的图形的面积为()10B 4C.16A. 33D 6解答 由 y x及 yx 2可得， x4，即两曲线交于点 (4,2)由定积分的几何意义可知，由 yx及 yx 2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为423124160xx 2x|03 .答案 C( x x2)dx 322若将“

7、y x2”改为“ y x 2”，将“ y 轴”改为“ x 轴”，如何求解？解： 如图所示，由y x及 y x 2可得 x 1.由定积分的几何意义可知，由y x， 02 01 1223|012y x 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dxxdx( x 2)dx 3x2xx22 72|1 .6变式练习3(2013 ·郑州模拟 )如图，曲线 y x2 和直线 x 0， x1，y1所围成的4图形 (阴影部分 )的面积为 ()2B.11D. 1A. 33C.241，x 1或 x 1解析：选D由 y4?(舍 )，所以阴影部分面积222yx11212111 311 3111S2dxdx

8、2x.0 x1x 44x x0 x 14334242定积分在物理中的应用例 2、列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a 0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答 a 0.4 m/s 2， v0 72 km/h 20 m/s. 设t s后的速度为v，则v 20 0.4t .令 v 0，即 20 0.4 t 0 得 t 50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则 s 500 vdt050(20 0.4t)dt (20t 0.2t2) |05020× 500.2× 502 500(m) ，即列车应在进站前50 s

9、和进站前500 m 处开始制动变式练习4一物体在力 F(x) 10 0 x 2(单位： N)的作用下沿与力F( x)相3x 4 x>2同的方向运动了 4米，力 F(x)做功为 ()A44 JB46 JC48JD50 J解析： 选 B 力 F( x)做功为 0210dx 24(3x 4)dx 10x|02322x 4x 24 2026 46.例 3、(2012 ·上海高考 )已知函数 y f(x)的图象是折线段ABC ，其中 A(0,0) ，B1，5 ，2C(1,0)函数 yxf(x)(0 x 1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_解析 由题意可得10x， 0 x1，10x2，

10、 0 x1，f(x)2所以 y xf(x) 210 10x， 1<x1，10x10x2，1<x 1，22111021210322315与 x 轴围成图形的面积为2dx(10x 10xx10x1)dx30 5x 3x1.答案 024254变式练习1由曲线y x2，y x3 围成的封闭图形面积为()1B.1C.1D. 7A. 124312解析：选 Ayx2 ， 01(x2 x3 )dx1 1由得 x0 或 x 1，由图易知封闭图形的面积y x3，3 4112.2(2012 山·东高考 )设 a>0.若曲线 yx与直线 x a，y 0 所围成封闭图形的面积为2a ，则a

11、_.323234a222a222解析： 由题意 0xdx a .又3x 2x，即 3x|0 a ，即3a a .所以 a 9.五、课后作业巩固提高 e1 ln x)1.1xdx (A ln x 1ln2xB.2 1C.3D.12e22e1 ln xln2 x e3解析：选C 1xdx ln x 21 2.2 (2012 湖·北高考 )已知二次函数y f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()243A. 5B.3C.2D.23解析：选 B由题中图象易知f(x) x2 1，则所求面积为201( x2 1)dx2 x x3140 .3x2，x 0，1 ，)3设 f(x)则 02

12、f(x)dx (2 x，x 1， 2，345A. 4B.5C.6D不存在解析：选C如图2122131122115 0f( x)dx0 x dx 1(2 x)dx3x|0 2x 2x|13 42226.4以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v40 10t2，则此物体达到最高时的高度为 ()160804020A. 3mB. 3 mC. 3mD. 3m解析：选 Av 40 10t2 2240t10 32 40×210× 8160 0，t 2，0(4010t )dt3t033|(m)与曲线 y cos x 所围成的封闭图形的面积为5(2013 青·岛

13、模拟 )由直线 x，x ，y 033()13A. 2B 1C. 2D. 3解析：选D结合函数图象可得所求的面积是定积分3 cos xdx3sin x 33 333.22在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 _6设 a 0 sin xdx，则曲线 y f(x) xaxax 2xxx解析： a 0sin xdx ( cos x) |0 2， y x·2 2x2. y 2 x·2 ln 2 2.曲线在点 (1， f(1) 处的切线的斜率k y |x 1 4 2ln2.答案： 4 2ln 22，a 45 项之和S5等于 _7在等比数列 an 中，首项 a1341(1 2x)dx，

14、则该数列的前424，因为数列23解析： a4 1(1 2x)dx (xx )|1 18 an 是等比数列， 故 18 q ，解得 q 3，3253 13242242所以 S51 33.答案： 3，则当 a8 (2013 孝·感模拟 )已知 a 0， 20(cos x sin x)dx 取最大值时， a _.解析： 0a(cos x sin x)dx (sin x cos x) |0a sin a cos a 1 2sina 1，4 a0， 1取最大值 答案：2，当 a 时， 2sin a4449计算下列定积分：231212x(1)2x(3)20sin xdx；(2) 2dx；0e d

15、x.x解： (1)222sin xdx001 cos 2xdx11sin 2x02 12x4sin 0.244431231 2 dx1239 6 ln 3 (24 ln 2)(2)2xdx2xx 2xln x| x222x9932 ln 3ln 2 2 ln2.12x1 2x111(3)202.e dx ee022210如图所示，直线y kx 分抛物线 y x x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值解： 抛物线 y x x2 与 x 轴两交点的横坐标为x1 0， x2 1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积2212x 131y x x ，S 0 (x x )dx2 3x|061.又 y kx，由此可得，抛物线y x x2 与 y kx 两交点的横坐标为x30， x4 1k，所以，S1k2 kx)dx1 k2131 k131，所以31 0(x x2 x3x|06(1 k) .又知 S 6(1 k) ，223134于是 k121 2 .11如图， 设点 P 从原点沿曲线y x2 向点 A(2,4) 移动，直线 OP 与曲线 y x2 围成图形的面积为 S1，直线 OP 与曲线 yx2 及直线 x 2 围成图形的面积为S2，若 S1 S2，求点 P 的坐标解： 设直线 OP 的方程为 y kx，点 P 的坐标为 (x， y)，则 x22 2，0(kx x )d