10初三数学四校自招A班函数的最值(教师)

1、配方法判别式法 分离常系数法 换元法主元法 数形结合法例:(1)已知 S X22xy4y1 ,且X、y为实数，求S的最小值。解:S X22 Xy 2 y24y 1当X y 0且y 20时,2时，S取到最小值为5(2)设x、y均为实数，求代数式X2Xy2 y的最小值解：设 t X2 Xy y2 X2y则 X2 (y 1)x (y22yt) X、y均为实数，(y1)24(y22y t) 0化简得:3 23t Zy 2y1)2当 y1时，原式的最小值为此时X(3)求分式23x 6x 51 :X X 12的最小值。23x 6x 5解：令y1 2X X22X 2x 2求y的最小值只需求X2 2x2的最小

2、值。z X2 2x 2(X1)2 1当 X 1 时，Zmin1 , y min函数的最值(讲两种方法的话多一题)【基础知识】函数最值几种最常用方法:1.2.3.4.5.6.10/6菁英初中教研(4)已知y X 2 . 1 X ,求y的最大值。解：设t ,1 X ,则1 t22y 1 t 2t(t1)2 2故y的最大值为2(5)已知不等式X2PX4x P3对于一切O P 4均成立求实数X的取值范围。解：方法一：把P看成主元,原式可等价变形为(X 1) P X4x 3 O对于一切O4均成立4(x1)4x24x 3解得：X方法二:X2 PX4x X2(4P)X(3 P) (X 1)x(3p) O t

3、 O由题意知：当1 时，X (3P)O恒成立， X当X 1时,(3 P) O恒成立， X 1 , X 3或 X 1(6)求函数f (x)X21(4 x)24的最小值。解：由题意知：f(x) . (X O)2 (O 1)2；(x 4)2 (O 2)2可以看成是平面上一个点(x,O)到点(O,1)和到点(4, 2)的距离和。 f(x)min 42325。解法二：如图，CE X21 ；DE (4 X)24 f (X) CE DE f (x)min CD . CF2 DF 25.解：已知X2 ba0有-根为X1 1 ba 0 b a12 22八2C2-“ -Z 21、1a ba(a1)2a 2a12(

4、a a-)4212 12(a-)22111当ab(0）时，a2b2的最小值为21.（2015七宝自招）已知 XbXa 0有一根为X2 2 221 ,求a2 b2的最小值。2.X求rX2 2x的最小值。5解：方法一：设 y2 2x 25，变形得X22 5 yX2 X 2整理得 1 y 212 y X 2 5y 0当y 1， X1时，此式成立当y1时，此时把此式看成是关于X的一元二次方程， X是实数,即 1 2y 24 1 y 2 5y 0,解得1 y - ,所求的最小值为-444方法二：y2X X 2X 2 53x 32 2x 53(x 1)X(X 1) (X 1) 4当X 1时，y 137当X

5、 1时，y 1,当X 1时，y 44X 1X 1e 311当X 1时，y 1,所求的最小值为一.4441 X1 X注：当分子分母的二次项系数与一次项系数对应成比例时，可用分离整数的方法; 当不成比例时用判别式法。3.（2014复附）已知 ABC是等边三角形，动点P、Q、R分别同时从顶点 A、B、C出发，沿 AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过ABC的一边所用时间分别为 1秒，2秒，3秒。从运动开始起，在 1秒内，经过 秒厶PQR的面积取到最小值。解:设AB 6 ,则点P的速度为6 ,点Q的速度为3 ,点R的速度为2.4.则 S APR同理：S S APR-AP A

6、RSi n6026t (62t)BPQ、34BPQ当上式取最大值时,3tS CQR(66t)，3 (66t4CQR2t(6 3t)2361 )S PQR面积最小，当t -2时，PQR面积最小。（2015复附）如图在上的一个动点（不与A、B重合），过点D作DE AC于点E，DF 连结EF ,求EF的最小值。Rt ABC 中，BC 3，AB 5，C 90，D为线段AB BC于点F ,解:设AD5x ,贝U DE3x ,AE4x, CE 44x ,16)2144EF 2DE2 CE225( x25)25161612当X即AD时，EF的最小值为25555.解:已知a、由题意知b都是正整数,且满足ab

7、55都为整数“ b65 ,求a的最大值.b 55、 b 65 b 55、b65都是完全平方数故设b552 2m 、 b 65 n , (m、n为正整数). 2 m2 n120 且 a m n (mn)(mn) 120. mn、mn有相同的奇偶性且 mn m nmn2m n 606.解:线，7.解:amax60(2010 年重点 中学 自招 y |x 1 |2| x 2|3| x 3|4 | X是。(图像法)图像过(1,20 )、( 2,12 )、( 3,8 )、( 4,10 )、y的最小值为8) 函数4 |的最小值已知梯形ABCD，AB/CD ,若高为2，AB 2，CDN为CD边上的动点，则设

8、DNX,贝y CN 4S四 边形EMFNS MENS MFNDNDN AMSA AMNSS AMNX 1【教师备用】1.(2015 复附)(5,20)的折4 ,且AB的中点为M , ANB与厶DMC公共部分的面积最大值是多少?AMBANS AMNFNBNs BMNCNCN IXSS BMNXBM s BMN62(X 2)92x1 X2为方程X2 PX0的两个根，P为实数(1)求证：2 PX1 X23P0(2)当 I XiX； 1 |2P3|时,求P的取大值(1 )X1 X22为方程X2 PXP0的两个根4P24P 0, X1X22pX1 X2. 2px1 X；3 P 2 px12 PX2P3pP，4p解:x； 2p