(完整版)2013湖北高考数学文科试题及解析

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)乐享玲珑，为中国数学增光添彩!免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U 1,2,3,4,5,集合 A 1,2 , B 2,3,4,则 BI «A2x2sinD.2,3,4,51的D.焦距相等A. 2B. 3,4C. 1,4,52222.已知0-,则双曲线C1 :1与C2 : -2-4sin coscosA.实轴长相等 B.虚轴长相等C.离心率相等3 .在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一

2、次.设命题p是“甲降落在指定范围” ，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A . ( P) V ( q)B. p V ( q)C. ( P) A ( q) D. p V q4 .四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且y2.347x6.423；y与x负相关且y3.476x5.648；y与x正相关且y5.437x8.493；y与x正相关且§4.326x4.578 .其中一定不.正砚的结论的序号是A.B.C.D. 5 .小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间

3、，后为了赶时间加快速度行驶以上事件吻合得最好的图象是6 .将函数y J3cosx sinx (x R)的图象向左平移 m (m 0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是.兀A .12B.C.-3 uur uurD.7.已知点A 1,1）、B(1,2)、C(2, 1）、D（3, 4）,则向量 AB在CD方向上的投影为B.3 1523 2 C.2D.3 1528. x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数 f（x） x x在R上为B.偶函数C.增函数D.周期函数9.某旅行社租用 A、B两种型号的客车安排 900名客人旅行， A、B两种车辆的载客量分别为36人和21辆，且B型车不

4、多于A型60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 车7辆.则租金最少为A. 31200 元B. 36000 元C. 36800 元D. 38400 元10 .已知函数 f(x) x(ln xax）有两个极值点，则实数 a的取值范围是A . (, 0)1B- (0,2)C. (0, 1)二、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清，模棱两可均不得分11 . i为虚数单位，设复数 乙，Z2在复平面内对应的点关于原点对称，若Z12 3i ,则 Z212 .某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7

5、, 8, 7, 9,5, 4, 9, 10, 7, 4则（I）平均命中环数为（n）命中环数的标准差为则输出的结果i13 .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2,第13题图一 1一.22，TT、一 1一.，一，一一、 一 ，14 .已知圆O : x y 5 ,直线l : xcos ysin 1(0 万).设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k .515 .在区间2,4上随机地取一个数 x,若x满足|x| m的概率为，则m616 .我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺

6、八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)17 .在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)的坐标x, y均为整数，则称点 P为格点.若一个多边形的顶点全 是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记为 N ,边界上的格点数记为L.例如图中4 ABC是格点三角形，对应的 S 1, N 0, L 4.(I )图中格点四边形 DEFG对应的S, N, L分别是;(n)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c,其中a, b, c为常数.若某格点多边形对应的三、解答题：本大题共 5小题，共65分.解答应写出

7、文字说明、证明过程或演算步骤18 .(本小题满分12分)在 ABC中，角 A, B, C对应的边分别是 a , b , c.已知cos2 A 3cos(B C) 1 .(I)求角 A的大小；(n)若 ABC的面积S 5底,b 5 ,求sinBsinC的值.19 .(本小题满分13分)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4 , S2, S3成等差数列，且a2 a3 a418.(I)求数列an的通项公式；(n )是否存在正整数 n ,使得Sn由.2013?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理20 .(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A, B, C三处垂直向地下钻探，自A点

8、向下钻到Ai处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A处正下方的矿层厚度为AA2 di.同样可得在B, C处正下方的矿层厚 度分别为B1B2 d2, C1C2 d3,且di d2 d3.过AB, AC的中点M , N且与直线A4平行的平面截 多面体ABiG A2B2c2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为 S中.(I)证明：中截面 DEFG是梯形；(n)在4ABC中，记BC a , BC边上的高为h ,面积为S.在估测三角形 ABC区域内正下方的矿藏 储量(即多面体AiBiCi A2B2c2的体积V)时，可用近似公式V估S中h来估算.已知1V (di d2 d

9、3)S ,试判断V估与V的大小关系，并加以证明 3第20题图21.(本小题满分13分)设a 0, b 0,已知函数f(x) axb.x 1(I)当a b时，讨论函数f(x)的单调性；(n)当x 0时，称f(x)为a、b关于x的加权平均数. 判断f(1), fdb) , f(b)是否成等比数列，并证明- a a(ii) a、b的几何平均数记为 G.称空为a、b的调和平均数，记为H.若H f(x) G,求x的取值范围22.(本小题满分14分)如图，已知椭圆 Ci与C2的中心在坐标原点 O,长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别 为2m , 2n (m n),过原点且不与 x轴重合的直线l与Ci , C

10、2的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A, B, C, D.记 m, BDM和 ABN的面积分别为Si和8.n(I)当直线l与y轴重合时，若Si8,求的值；(n)当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线I,使得S1S2 ?并说明理由.第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类)试题参考答案一、选择题：1. B BI QA 2,3,4 3,4,5 3,4.22222. D在双曲线 C1：-2-1 与 C2：-2- 1 中，都有c2sin2cos21,即焦sin coscos sin距相等3. A 因为p是“甲降落在指定范围” ，q是“乙降落在指定范围”，则 P是“没

11、有降落在指定范围” ，q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p) V ( q).4. D在中，y与x不是负相关； 一定不正确；同理 也一定不正确.5. C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的 距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于 x轴的一条线段，由此可以排除 D;第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小 明在第三段的行驶速

12、度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除 B.故选C.6. B因为y J3cosx sinx (x R)可化为y 2cos(x ) (xCR),将它向左平移 /个单位得y 2 cos (x ) - 2cosx ,其图像关于 y轴对称. 667. AAB= (2,1), CD = (5,5),则向量AB在向量CD方向上的射影为AB CD (2,1) (5,5) 2 5 1 5 3 2 AB cos ;/产 .CD|<52 525v1228. D函数f(x) x x表示实数x的小数部分，有f (x 1) x 1 x 1 x x f (x), 所以函数f (

13、x) x x是以1为周期的周期函数.9. C 根据已知，设需要 A型车x辆，B型车y辆，则根据题设，有x y 21, y x 7, 回出可行域，求出二个顶点的坐标分别为 A(7, 14), B(5, 12), C(15, 6),目标函数(租x 0, y 0, 36x 60 y 900, 金)为k 1600x 2400y,如图所示.y=2L_xV900 强77 .而“C: (15. 6)即得租金的最小值为:J_w将点B的坐标代入其中,k 16005 2400 12 36800 (元).10. Bf'(x) ln x1 2ax ,由f (x) x(ln x ax)由两个极值点，得 f

14、9;(x)0有两个不等的实数解,即lnx2ax 1有两个实数解，从而直线y2ax 1与曲线y Inx有两个交点.过点(0, 1)作 y ln x的切线,设切点为（x°, y0）,则切线的斜率1，、一k 一，切线方程为yXolx 1.x0切点在切线上，则x0 y0x01 0,又切点在曲线y ln x上,则 ln x00x01 ,即切点为（1,0）.切线方程为y x 1.再由直线y 2ax 1与曲线y lnx有两个交点.,知直线y2ax 1位于两直线y 0和y x 1之间,如图所示,11.2 3i 复数乙2 3i在复平面内的对应点 Z1 （2, 3）,它关于原点的对称点Z2为（一2,3）

15、,所1其斜率 2a满足：0v2av1,解得0vav 2对应的复数为z223i.12.(i)7(n)(D)1c C 7879549 10 747；10(I10 (10 7)2 2(9 7)2 (8 7)2 3(7 7)2 (5 7)2 2(4 7)2:生21013. 4初始值m=2, A=1, B=1,i=0,第一次执行程序，得 i=1, A=2, B=1,因为A<B不成立，则第二次执行程序， 得i=2, A=2X2=4, B=1X2=2,还是A<B不成立，第三次执行程序，得i=3 , A=4X2=8,B=2X3=6,仍是A<B不成立，第四次执行程序， 得i=4, A=8X2=

16、16, B=X4=24,有A<B成立，输出i= 4.14. 4这圆的圆心在原点，半径为5,圆心到直线l的距离为7=J=cos2sin21 ,所以圆O上到直线l的距离等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示.15. 3 因为区间2,4的长度为6,不等式|x| m的解区间为m, m,其区间长度为2m.那么在区间2,4上随机地取一个数x,要使m的概率为5 , m将区间2,4分为 2,6且两区间的长度比为 5:1,所以m=3.16. 3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为方寸），盆口面积S=196兀（平方寸），所以，平地降雨量为V 9 633 196(寸 3)196(寸 222 一10

17、6 103 196 (立3 （寸）.17.(I) 3, 1,6 (II) 79(I) 3, 1,6 S=Sadfg+Sadef=1+2=3 , N= 1 , L=6;（n） 79根据题设4 ABC是格点三角形，对应的 S 1,由(i)有 a 6b c 3,再由格点 DEF中，S=2, N=0,L=6，得 6b c 21联立，解得b -, c所以当N 71 , L 18时，S71118 1 79.2三、解答题:18. ( I )由 cos2A 3cos(B C) 1 ,22cos A 3cos A0,即(2cos A2 （舍去）.一1 一1)(cosA 2) 0 ,解得 cos A - 或 co

18、sA因为0 A(n)由 s兀、一.333-bcsin A - bc 一 一 bc543，得 bc 20 .又 b 5,知 c4.19.(n)20.(n)由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 25 16 20 21,故a 冉.又由正弦定理得sinBsinC bsin A sin Absin2 A -.aaa21 47(I)设数列an的公比为q,则司0, q 0.由题意得232S4S3S2,aiq aq aiq ,_/ C 即2.a3a418,aq。q q)18,a13,q 2.n 1故数列an的通项公式为an 3(2).由(I )有Sn 3 1 ( "I 1 ( 2)n .1

19、( 2)若存在 n ,使得 Sn 2013,则 1 ( 2)n 2013 ,即(2)n 2012.当n为偶数时，(2)n 0 ,上式不成立；当 n 为奇数时，(2)n2n2012,即 2n 2012,则 n 11.综上，存在符合条件的正整数n ,且所有这样的n的集合为n n 2k 1, k N,kS2 a2解得(I)依题意 AA2 平面ABC, B1B2 平面ABC, C1C2 平面ABC, 所以 AiA2/BiB2/C1C2.又 A1A2 d1, B1B2 d2, C1C2 d3,且 d d2 d3 . 因此四边形 AA2B2B1、AA2c2G均是梯形.由 AA2 /平面 MEFN , AA

20、2 平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B I 平面 MEFN ME , 可彳A AA2/ ME,即 A1A2 / DE.同理可证 A1A2 / FG,所以 DE / FG.又M、N分别为AB、AC的中点，则 D、E、F、G 分别为 AB、A2B2、A2c2、A1C1 的中点，即DE、FG分别为梯形 AA2B2B1、A1A2c2C1的中位线.因此而d1DE -(A1A2B1B2)d2), FG (AA2C1C2)ds),2222d2 d3,故DE FG ,所以中截面 DEFG是梯形.V .证明如下:由AA2 平面ABC, MN 平面ABC,可得而EM/A1A2,所以EM MN ,同理可得FN

21、由MN是 ABC的中位线，可得 MN 1BC2A1A2MN .MN .11a即为梯形DEFG的高, 25.因此kS梯形DEFG一（22曳d1d3)2a(2d1 d2 d3), 8d3).ahh(2d1 d28-1又S ah21(d1 3d2 d3)Sah(d1d2 d3).6由d1ahd2 d3)(d2 d1) (d3 d1).240 ,故V估V .ahV V估(d1d2 d3,得 d2ahd2 d3) (2d1d10, d3 d121.(I) f(x)的定义域为(，1)U( 1,),f (x)a(x 1) (ax b) a bb时,b时,2(x 1)f (x)f (x)(n) (i)计算得f

22、(1)b22 .(x 1)函数函数0,b故 f(1)f() a2aba bf(1)f(b) f(. b a . a)2.f (x)在(f (x)在(f(b)aab1),1)，(1,)上单调递增；(1,)上单调递减.2aba b0,咤)闻0.f(Jb-)2,即9。,22a2(1t2)所以f(1), f(, 2), f(b)成等比数列.(ii)由(i)知 f(b) Haf(1) f(j：).由得,f (J) G .故由 Hf(-) f(. b).f(-)af(x)f(A).这时,b时，呜f(x)噌a.x的取值范围为(0,);b时，0 b 1,从而-JP ,由f(x)在(0,)上单调递增与式, aa

23、 a得- ax Ja,即x的取值范围为 ,J;)上单调递减与式,当a b时，b 八 1C-| BD | |OM | -a|BD |, S2 ,从而b Jb ,由f (x)在(0,aa ab ,即x的取值范围为 aba22.依题意可设椭圆 G和C2的方程分别为 2222cx nx ym)C1:- 21,C2： 1.其中 a m n 0,-1.amann(I)解法1:如图1,若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x 0,则S1|BD|AB|1_1S一|AB| |ON | 一a|AB|,所以一22S在C1和C2的方程中分别令x 0 ,可得Va m , yB中日 |BD |yByD |mn1丁 7 .|

24、 AB |VaVb |mn1若5 ，则一1,化简得 2 2 1 0 .由 1 ,可解得 后1.S21故当直线l与y轴重合时，若SS2 ,则22 1.解法2:如图1,若直线l与y轴重合，则|OA | |OB | m n ;|BD| |OB| |OD| m n , | AB |S1 2| BD | |OM | 2a|BD |, S21 -|AB| 21 |ON| 2a|AB|.所以色S2若包S21 ,可解得 在 1.|BD| m n1.|AB| m n1，则1，化简得21故当直线2 1.l与y轴重合时，若s S2 ,则v*N xOMCD第22题解答图2(n)解法1：如图2,若存在与坐标轴不重合的直线不妨设直线l ： y kx (k 0),l,使得§S2 .根据对称性,点M ( a, 0) , N(a, 0)到直线l的距离分别为因为 d1* 1 口1d2 ”一1 k21 k21 k2又 Si l|BD|d1, S2 1|AB|d2,所以且22S2亍，所以d1 d2.1 k|BD |)J!,即 |BD | | AB |.| AB |由对称性可知| AB| |CD | ,所以|BC | |BD| | AB | (1)|AB|,|AD| |BD| | AB| (1)|AB|,于I AD| |BC|将l的方程分别与C1,ama2k2m2XBC2的方程联立，可求得