《线代总复习》PPT课件

1、一、行列式一、行列式二、矩阵二、矩阵三、向量之间的关系三、向量之间的关系四、线性方程组的解四、线性方程组的解五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量上页上页返回返回下页下页线性代数总复习一、行列式.2112221122211211aaaaaaaaD ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1、二阶三阶行列式的计、二阶三阶行列式的计算算上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、n阶行列式的计算阶行列式的计算kk性质行列式中假设有两行列元素成比性质行列式中假设有两行列元素成

2、比例，那么此行列式为零例，那么此行列式为零(1) 利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算化为三角形化为三角形上页上页返回返回下页下页线性代数总复习性质性质5 5假设行列式的某一列行的元素都是假设行列式的某一列行的元素都是两数之和两数之和. .性质把行列式的某一列行的各元素乘以性质把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 计算行列式计算行列式0112012120112110 D解解21rr D0112012121102011 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习

3、13rr 142rr 4130211021102011 23rr 143rr 2200420021102011 34rr 2000420021102011 4)2()2()1(1 0112012121102011 D上页上页返回返回下页下页线性代数总复习(2) 利用行列式展开计算利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一行列的各元素行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例3

4、351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法、矩阵的逆的求法1公式法伴随法公式法伴随法.1nnn2n12n22121n21111的的代代数数余余子子式式中中元元素素为为行行列列式式的的伴伴随随矩矩阵阵，为为其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2初等变换法初等变换法):(EA

5、行的初等变行的初等变换换):( E1 A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A2 .1存在存在 A412182466 1111) 1( A34122 2112) 1( A33123 公式法公式法上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 343122321A3113) 1( A43222 1221) 1( A34326 2222) 1( A33316 3223) 1( A43212 1331) 1( A12324 2332) 1( A12315 3333) 1( A22212 上页上页返回返回下页下页线

6、性代数总复习 332313322212312111AAAAAAAAAA得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,222563462 6, 6, 2, 3, 22221131211 AAAAA2, 2, 5, 4, 233323123 AAAAA上页上页返回返回下页下页线性代数总复习初等变换法初等变换法 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 343122321A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 11110001252001120121rr 23rr 11110056302023

7、1001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 . 1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行

8、的行数就是矩阵的秩.上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 46063332422084211221):(BbA解解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR上页上页返回返回下页下页

9、线性代数总复习三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合、线性组合mmb 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA定义定义上页上页返回返回下页下页线性代数总复习存在矩阵存在矩阵 ， Ab 使得使得矩阵方程矩阵方程bAX 有解有解断定断定),()(bARAR b),21mA （ 线性表示线性表示能由能由上页上页返回返回下页下页线性代数总复习),()(BARAR 能能由由（),21sbbbB ),21mA （ 线

10、性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 ，KAKB 使得使得矩阵方程矩阵方程BAX 有解有解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例设设,22111 a,31212 a,04113 a,1301 b证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并线性表示，并b321,aaa求表示式。求表示式。解解只需证矩阵只需证矩阵),(321aaaA 与矩与矩),(),(321baaabAB 阵阵有一样的秩。有一样的秩。下面把矩阵下面把矩阵 化为行最简形：化为行最简形：B法一法一上页上页返回返回下页下页线性代数总复习),(),(321baaabAB 1032341201211111行的初等变换行的初等变换 0

11、0000000121023012)()( BRAR向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。b321,aaa上页上页返回返回下页下页线性代数总复习由最简形知，方程组由最简形知，方程组bAx 的通解为的通解为从而从而 012123cx ccc1223 cccaaaAxb1223),(321321)12()23(caacac 其中其中 为恣意常数。为恣意常数。c上页上页返回返回下页下页线性代数总复习法二法二设设bakakak 332211即即也即也即 22111k 31212k 04113k 1301 13234202121321321321kkkkkkkkkkk上页上页返回返回下页下页

12、线性代数总复习321)12()23(caacac 其中其中 为恣意常数。为恣意常数。c解得其通解解得其通解为为 231 ck122 ckck 3332211akakakb 故向量故向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且线性表示，且b321,aaa其中其中 为恣意常数。为恣意常数。c上页上页返回返回下页下页线性代数总复习0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组:,21线线性性无无关关n 定义定义那么称向量组那么称向量组 是线性相关的，否那么称它线性无关是线性相关的，否那么称它线性无关A2、线性相关性、线性相关性0221

13、1 nn 01 n 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习.)(; ),( , 2121mARmAmm 条条件件是是必必要要向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分秩秩小小于于向向量量个个数数的的矩矩阵阵要要条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必向向量量组组 定理定理断定断定上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线线性性相相关关维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 无无关关线线性性维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习， 7425201

14、11321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 已已知知例例1上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201上页上页返回返回下页下页线性代数总复习., , 321133322211321的的相相关关性性讨讨论论线线性性无无关关已已知知向向量量组组例例2 2bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设

15、有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx解解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩，r ,21设有向量组设有向量组 ，A满足下面两个条件：满足下面两个条件：假设能在假设

16、能在 中选出中选出 个向量个向量rArA ,:2101向量组向量组 线性无关；线性无关；0A线性表示。线性表示。2向量组向量组 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组A那么称向量组那么称向量组 为向量组为向量组 的最大无关组。的最大无关组。 0AA最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。称为向量组的秩。r上页上页返回返回下页下页线性代数总复习向量组的秩的求法向量组的秩的求法maaa,21向量组向量组 的秩的秩),(21maaaA 的秩的秩矩阵矩阵. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向

17、量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr最大无关组的求法最大无关组的求法上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 97963422644121121112 A设矩阵设矩阵 例例.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换变变为为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等

18、行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关且且 列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为A421,aaa上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 00000310003011040101 初等行变换初等行变换AB 因此因此213aaa 4215334aaaa 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理定理 n元线性方程组元线性方程组bAx 1),()(bARAR 有独一解有独一解2) nbARAR ),()(无解无解3)nbARAR ),()(无穷多解无穷多解定理定理 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有

19、非零解有非零解0 AxnAR )(上页上页返回返回下页下页线性代数总复习定理定理 设设nm 矩阵矩阵 的秩的秩 ，ArAR )(那么齐次线那么齐次线性性 的解集的解集 的秩为的秩为线性方程组线性方程组0 Ax. rnRS S rnrnkkkx2211其中其中 为恣意实数。为恣意实数。rnkkk ,21非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的一个特解为的一个特解为* 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的根底解系为的根底解系为rn ,21那么非齐次线性方程组那么非齐次线性方程组bAx 的解解为的解解为上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 求解非

20、齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc 那那么么112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c为恣意常数为恣意常数法法1：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习法法2： 令令, 043 xx得得 0

21、074713 又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组对应的齐次方程组的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得根底解系得根底解系 1074713,01727321 所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 kk 12(,k k为恣意常数为恣意常数上页上页返回返回下页下页线性代数总复习五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量1如何求如何求 的特征值？的特征值？A0| EA 解特征方程解特征方程特征方程的根即为矩阵特征方程的根即为矩阵 的特征值。的特征值。A2如何求属于特征值如何求属于特征值 的特征向量？的特征向量？ 解齐次线性方程组解齐次线性方程

22、组 0)( xEA 其非零解即为属于特征值其非零解即为属于特征值 的特征向量的特征向量 1、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 由由解解方方程程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk上

23、页上页返回返回下页下页线性代数总复习 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得根底解系为：得根底解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 n 21 APP1使得使得 那么那么假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 ，),(21nxxxP 1 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值i A2 为对应于特征值为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。ixi 2、方阵的对角化、方阵的对角化上页上页返回返回下页下页

24、线性代数总复习 163053064A设设A能否对角化？假设能对角能否对角化？假设能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 得得方方程程组组代代入入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得根底解系解之得根底解系,0121 .1002 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互