化工应用数学 2第二章 数学模型基础

1、任课老师：程道建任课老师：程道建 副教授副教授E-mail: 本章内容本章内容示例 实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和温度的关系（见表），其具体关系是什么样的呢？序号温度 蒸气压 MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.6627400.880化工实际问题的提出1 1、线性拟合（一元一次）、线性拟合（一元一次）给定一组数据（给定一组数据（xi, yi）,i=1, 2 , , m ，作拟合直线，作拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为均方误差为 ：2121)()(),(imiiimiiybxayxpbaQ按二元函数求极值

2、的理论，按二元函数求极值的理论，Q (a , b)的极小值的极小值需满足方程组：需满足方程组： 0) 1( )(20)(211niiiniiiiybaxbQxybaxaQ0)(0)(11niiiniiiiybaxxybax解此联立方程：2 2、非线性拟合（一元二次）、非线性拟合（一元二次） 给定数据（给定数据（xi ,yi) ), i=1, 2 , , m ,用二次多项式函数拟合这用二次多项式函数拟合这组数据。组数据。 设设 ，作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式2210 x ax a ap ( x ) 21221012210)()(),(imiiimi

3、iiyxaxaayxpaaaQ由数学知识可知，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足 ：miiiiimiiiiimiiiixyxaxaaaQxyxaxaaaQyxaxaaaQ12221021221011221000)(20)(20)(22 2、非线性拟合（一元二次）、非线性拟合（一元二次）整理得二次多项式函数拟合的满足条件方程： miiimiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxm121121014131213121121 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p ( x )。上式称为多项式拟合的法方程。法方程的系数矩阵是对称的。当拟

4、合多项式n 5时，法方程的系数矩阵是病态的，使用直接迭代法直接迭代法求解线性方程时会发散，要采用一些特殊算法（ Newton迭代法迭代法） 。示例解决示例解决 1）采用线性拟合（一元一次）采用线性拟合（一元一次） ：由表的数据观测可得，DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系，如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方程。2121)()(),(imiiimiipbtaptpbaQ 拟合得到直线方程为： 相关系数R为0.97296， 平均绝对偏差SD为0.0707。 tp0.01210.30324-30-20-100102030405

5、00.00.20.40.60.81.0pt 示例解决示例解决 2）非线性拟合（一元二次）非线性拟合（一元二次） ：21221012210)()(),(imiiimiiiptataaptpaaaQ通过计算下述均方误差通过计算下述均方误差 拟合得二次方程为拟合得二次方程为 相关系数相关系数R为为0.99972，平均绝对偏差，平均绝对偏差SD为为0.00815,具体拟合曲线见右图。具体拟合曲线见右图。 2000150009570248450t.t.p-30-20-10010203040500.00.20.40.60.81.0y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2压力, P(MP

6、a)温 度, t()示例解决示例解决-30-20-10010203040500.00.20.40.60.81.0y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2压力, P(MPa)温 度, t()（相关系数相关系数R为为0.99972，平均绝，平均绝对偏差对偏差SD为为0.00815 ）-30-20-10010203040500.00.20.40.60.81.0pt DME饱和蒸气压和温度之间的二次拟合 DME饱和蒸气压和温度之间的一次线性拟合 （相关系数（相关系数R为为0.97296，平均绝对，平均绝对偏差偏差SD为为0.0707）结论：结论：通过比较左右图以及各自的相关系数和平

7、均绝对偏差可知，发现对于通过比较左右图以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知，发现对于DME饱和蒸气压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优于线性拟合。饱和蒸气压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优于线性拟合。3 3、多变量的曲线拟合、多变量的曲线拟合 前面介绍的曲线拟合方法只涉及单变量函数的曲线前面介绍的曲线拟合方法只涉及单变量函数的曲线拟合，但实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时，拟合，但实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时，通常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例子是通常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例子是传热实验中努塞尔数、雷诺数及普朗特数之间的拟合问传热实验中努塞尔数、雷诺数

8、及普朗特数之间的拟合问题：题： 根据若干组实验测得的数据（根据若干组实验测得的数据（Nu，Re，Pr），如何求出），如何求出式中的参数式中的参数c1、c2、c3，这是一个有两个变量的参数拟合，这是一个有两个变量的参数拟合问题。问题。32ccPrRecNu13 3、多变量的曲线拟合、多变量的曲线拟合 拟合式不是线性的。需要做变换，等式两边取对数得：123ln()ln()ln()ln()NuCCReCPr 对于给定的序列对于给定的序列x x1i1i, ,x x2i2i, ,y yi i,i=1,2,3,i=1,2,3m,m,设拟合后的函数形式为：设拟合后的函数形式为： 均方误差为：均方误差为： 由

9、多元函数极值原理，由多元函数极值原理， Q(a0,a1,a2)最小条件为：最小条件为： 01122( )p xaa xa x220121201 12211(,)( (,)()mmiiiiiiiiQ a a ap xxyaa xa xy01 1221001 1221101 122122()02()02()0miiiimiiiimiiiiQaa xa xyaQaa xa xyaQaa xa xya3 3、多变量的曲线拟合、多变量的曲线拟合 整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程整理得多变量一次多项式函数拟合的法方程 通过求解一元线性方程组就可以得到多变量函数线性通过求解一元线性方程组就可以得到多变

10、量函数线性 拟合时的参数。拟合时的参数。miiimiiimiimiimiiimiimiiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxxxm1211121012212112121121111211示例解决示例解决 根据某传热实验测得如下数据，请用下列方程的形式拟根据某传热实验测得如下数据，请用下列方程的形式拟合实验曲线。合实验曲线。 拟合式的形式为：拟合式的形式为：拟合式不是线性的。需要做变换，等式两边取对数得：拟合式不是线性的。需要做变换，等式两边取对数得：01230312ln()ln()ln()ln():ln(),:ln()ln()ln()NuaaReaPraaNuaaReaP

11、r令上式写为32ccPrRecNu1120aaNua Re Pr示例解决示例解决1）首先对）首先对Nu，Re，Pr取对数，得到取对数，得到2）通过上面公式求解：）通过上面公式求解：a0 = 0.022992a1 = 0.8a2 = 0.30.30.8Pr0.023ReNu 多项式拟合多项式拟合有时实验数据表现为一曲线，相应的拟合函数未知，需要一种普适的函数拟合曲线。常用方法之一就是用多项式拟合。原则上任何连续函数均可用多项式展开：若将变量进行变换： 则多项式化为多元一次函数：212.nnyba xa xa x212,.,nnxx xxxx1 122.nnyba xa xa x多项式拟合多项式拟

12、合可用Excel中的LINEST()函数和“回归”求多项式的参数b、a1、a2an及其回归统计。通常到三次方就有中等精度。在实际工作中，在满足拟合精度的前提下多项式的阶数要尽可能的低。对于N个数据点，用于拟合的多项式最高阶数为N-1化工实际问题的提出非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要比线性方程复杂的多。比线性方程复杂的多。而对于具体的化工问题，初值和求解范围常常可根据具体而对于具体的化工问题，初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定。常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在的化工知识来决定。常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于

13、雷诺数低于4000时有以下关系式：时有以下关系式： (2-1) 已知雷诺数已知雷诺数Re，如何根据公式（，如何根据公式（2-1）求出摩擦系数）求出摩擦系数，这是，这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。我们在管路设计中必须首先解决的问题。化工实际问题的提出化工实际问题的提出化工实际问题的提出简单迭代法实例应用简单迭代法实例应用已知在一温度下，碳酸钙在纯水中的溶度积：以及碳酸根离子水解平衡常数：求碳酸钙溶解度，mol/L。（忽略水的解离）229332.9 10spCaCOCaCOK243232.1 10bCOH OOHHCOK解：由溶度积和平衡常数定义及物料平衡关系，得解方程组得2221/2()

14、0bspspCaK KCaK22323322333 spbKCaCOKOHHCOCOCaCOHCOOHHCO简单迭代法简单迭代法进行迭代求解：用变量x代表碳酸钙在纯水中的溶解度等价变换选取迭代式10()xf x271/297.8 102.9 100 xx71/297.8 102.9 10( )xxf xExcel迭代控制参数设置Excel输入计算公式“=SQRT(7.8E-7*SQRT(B2)+2.9E-9)”,回车，输出结果如下；直接迭代法直接迭代法迭代公式迭代公式u通过代数恒等变形，将方程f(x)=0化成与之等价的方程x=(x)。u令xk+1=(xk)，此式即为直接迭代法的迭代公式。给定初

15、值x0,由迭代公式产生点列xkk=0,1,2.,若 则x*即是方程f(x)=0的根。*limkkxx收敛判定收敛判定u对于方程 f(x)=0 构造的多种迭代格式xk+1=(xk) ，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？u根据数学知识，我们可以直接利用以下收敛条件：（1） 当xa,b有a(x)b（2） (x)在a,b上可导，并且存在正数L1，使任意的xa,b ，有|(x)|L。u 若满足上述收敛条件，则在a,b上有唯一的点x*满足x*=(x*) ，此时称x* 为(x) 的不动点。迭代格式构造迭代格式构造u迭代格式xk+1=(xk)对任意初值x0a,b ，均收敛于(x) 的不

16、动点x*，并有下面误差估计式：u构造收敛迭代格式有两个要素：（1）等价形式x=(x)应满足 |(x*)|1；（2）初值必须取自x* 的充分小邻域，其大小决定于函数f(x)，及做出的等价形式x=(x) 。*10|1kkLxxxxL迭代控制迭代控制u 在一般的迭代计算中，都会给定精度控制量，当时，迭代终止。u在Excel迭代计算中，所求解的方程一般迭代次数较少，很快就能达到要求精度。1kkxx实例应用实例应用例.求方程f(x)=x3-3x+1=0的三个实根（ 精度控制在小数点后6位）。解：恒等变形，有如下三种形式由此构成三个迭代公式33112113133kkxxxxxx33111211( )( )

17、31( )33kkkkkkxxaxbxxcx解：解：已知原方程在(-,+)内的三个实根分别分布在(-2,-1), (0,1)和(1,2)三个区间内。（1）采用迭代公式(a)和(b)，取同一初值x0=0.5,计算原方程在(0,1)内的实根01-12-2在B3和D3中分别输入迭代公式“=（B23+1）/3”、”=1/(3-D22)”，填充完毕。拖拉填充柄的结果如下图。（2）采用迭代公式(c)，分别取初值x0=1.5和x0=-1.5，计算原方程在(1,2)及(-2,-1)内的实根。（3）如果用迭代公式(a)，取初值x0=1.5,计算原方程在(1,2)内的实根，结果会如何呢？不在（不在（1,2）内）内

18、迭代公式与初值选用迭代公式与初值选用u同学们可自行验证以下结论：对于迭代公式(a)和(b)，如果在区间(-2,-1)或(1,2)区间内取初值，则这两个迭代公式产生的点列不收敛于相应区间。同样迭代公式(c)在(0,1)内取初值也是如此。u由此可见，方程f(x)=0构成的直接迭代公式xk+1=(xk)是否收敛于该方程的根，既于初值x0的选取有关，也与迭代函数(x)有关。直接迭代的几何意义直接迭代的几何意义u将方程f(x)=0化为等价方程x=(x)，f(x)=0的根x*即是直线y=x与曲线y=(x)交点的横坐标。u右图中，曲线y=(x)位于直线y=x的下方，任给定初值x0,迭代式xk+1=(xk)收

19、敛于x*。u而右图曲线y=(x)位于直线y=x的上方，任给定初值x0,迭代式xk+1=(xk)不收敛。松弛迭代法松弛迭代法当迭代公式收敛很慢时，我们可以从x=(x)出发构造新的迭代形式，以加快收敛速度，这里先介绍松弛迭代法。迭代公式迭代公式 其中， 为第k次迭代的预报值； 称为松弛因子。1()kkxx111()(1)kkkkkkkxxxw xw x11()kkwx实例应用实例应用用松弛迭代法求解例3，以直接迭代公式(a)出发构造松弛迭代公式三个区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)所取初值仍为-1.5,0.5,1.5。311122131(1)11kkkkkkkxxxxxxx埃特金（埃特金（

20、AitkenAitken）迭代法）迭代法为了避免确定松弛因子 的麻烦，Aitken又对松弛迭代法做了改进，提出了两次校正的加速迭代公式，即为下式。11()kkwx1112111111()()()2kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx实例应用实例应用同样用埃特金（Aitken）迭代法来解例3，基础迭代公式仍是公式（a），初值选取不变。牛顿（牛顿（NewtonNewton）迭代法）迭代法迭代公式迭代公式不同于直接迭代法是将非线性方程f(x)=0恒等变形得到迭代公式，牛顿法则是将非线性方程f(x)=0在x0点展开，即并令用线性方程p(x)=0近似代替非线性方程f(x)=0，从中解得20000

21、( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx000( )()()()p xf xfxxx000()()f xxxfx令 作为f(x)=0的根的第一级近似值。一般地，记作为方程f(x)=0的根的第k+1级近似值，此式即为牛顿迭代公式。0100()()f xxxfx010()()kkf xxxfx实例应用实例应用u用牛顿（Newton）迭代法解例3，计算迭代公式：u初值选取不变。3123133kkxxxxx牛顿迭代几何意义牛顿迭代几何意义u方程f(x)=0的解就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*。设xk为初值，过点(xk,f(xk)作y=f(x)的切线，则切线方程为令与 x轴的

22、交点横坐标为()()()kkkyf xfxxx()()kkkf xxxfx1()()kkkkf xxxfx令 ，即是第K次迭代点。牛顿迭代法的应用牛顿迭代法的应用u求重根求f(x)=0的m重根的牛顿公式，收敛速度快于单根公式。u求复根牛顿迭代公式 不仅可以求单实根，也可以用来求复根，但初值必须是复数。1()()kkkkf xxxmfx1()()kkkkf xxxfx牛顿下降法牛顿下降法u牛顿迭代法在单根附近具有较快的收敛速度（至少平方收敛）。因此在运用该方法时初始点x0应取在单根x*的附近。当x0偏离x*较远时，在某些情形下就不能保证收敛。u此种情形下，通常采用牛顿下降法，其迭代公式为u式中，

23、(0,1为阻尼因子，应满足|f(xk+1)|f(xk)|。111()()(1)kkkkkkkf xxxfxxxx割线法割线法迭代公式迭代公式u在牛顿迭代法中，需要先求得非线性方程的导数，但有时导数并不好求。针对此问题，可用一阶差商代替牛顿迭代公式中的导数f(x)，就得到割线法迭代公式u割线法中需要给定两个初值x0和x1。111()(),kkkkkkf xf xf xxxx111()()()()kkkkkkkf xxxxxf xf x实例应用实例应用u同样用割线法解例3， 区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)上的初值分别选为-1.5，-1.51，0.5,0.49和1.5,1.49。化工实际

24、问题的提出化工实际问题的提出线性方程组线性方程组线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。其一般形式如下：其中aij、bi为已知常数，xj为未知数。11 11221331121 1222233221 12233.nnnnmmmmnnma xa xa xa xba xa xa xa xba xaxaxaxb用线性代数中的概念来表达，则线性方程组可以写成：A 是mn矩阵，x x是含有n个元素列向量，b b是含有m个元素列向量。Axb11121112122222312,nnnmmmnnmaaaxbaaaxbAxbaaaaxb行列式解法行列式解法根据Cramer法则，线性联立方程有唯一解的条件是

25、其系数行列式为非零值：此时方程的解为：111212122212.0.nnmmmnaaaaaaAaaaiiDxA |Di|是方程组的系数行列式，但其中的第i列元素被常数列阵b所取代。例如|D1|是用常数b列阵取代系数矩阵的第一列元素所得的行列式：1112121222112b.nnnnnnaabaaDbaa示例演示示例演示例.利用Excel求下面三元一次方程组的解。20623xyzxyzxyzuExcel操作步骤：1）输入系数矩阵A，列向量b。利用函数MDETERM( )计算系数行列式|A|=-9，方程组有唯一解。2）在计算行列式|D1|、|D2|和|D3|的值。3）由计算得方程组的解。iiDxA

26、矩阵解法矩阵解法线性方程组的矩阵形式：经变换可得：因此，若系数矩阵A可逆，则解线性一次方程组就变成简单的矩阵乘法。Axb1xA b示例演示示例演示同样用矩阵法求解例3.uExcel造作步骤：1）输入系数矩阵A，列向量b。2）利用函数MINVERSE( )求系数矩阵的逆矩阵。3）利用函数MMULT( )求得方程组的解。注意：三键确认。行列式法与矩阵法行列式法与矩阵法行列式法和矩阵法所能求解的方程组的特点？u多元一次u非齐次u系数矩阵为方阵u系数矩阵可逆或行列式不为0。Newton-RaphsonNewton-Raphson迭代法迭代法N-R迭代法原理迭代法原理N-R迭代法属于间接解非线性方程组的

27、方法。原理类似于一元方程求解。然而因有不止一个自变量，导数变为偏导，迭代公式成为迭代增量的线性方程组。设有非线性方程组：11221212( ,.,)0( ,.,)0( ,.,)0nnnnf x xxfx xxfx xx对方程组的每一个方程在其近似解 处用Teller级数展开，只取线性项得：00012,.,nxxx00011111212120002222121212000121212(,.,).0(,.,).0(,.,).0nnnnnnnnnnnnnffff xxxxxxxxxffffxxxxxxxxxffffxxxxxxxxx其中 是方程 在 处的一阶偏导数。因此原非线性方程组就转化为xi的线

28、性方程组：ijfx12( ,.,)0inf x xx00012,.,nxxx00011112112120002221221212000121212.(,.,).(,.,)( ).(,.,)nnnnnnnnnnnnnfffxxxf xxxxxxfffxxxfxxxxxxafffxxxfxxxxxx 将初始值 代入函数fi和偏导数 ，然后用解线性方程组的方法计算得到 ，从而得到自变量xi的第一次迭代值：继续迭代，可得：00012,.,nxxxijfx1ix101(1,2,., )iiixxxin11(1,2,., )kkkiiixxxin迭代上式，直至： 为一小正数。 即为满足指定精度的原方程的解

29、。1(1,2,., )kixin11112(,.,)kkknxxx示例演示示例演示例.用迭代法求解下面非线性方程组的解.(计算精度10-15)22212322123221231240341xxxxxxxxx首先,每个方程对各自变量求偏导：11112312332212123333131232 ,2,24 ,2,46 ,4,2fffxxxxxxfffxxxxxfffxxxxx 将求的偏导代入方程组(a),于是有线性方程组(b):22211223312322112231232211233123(1)/ 222(24)/ 232(341)/ 2xxxxxxxxxxxxxxxxxbxxxxxxxx （

30、）uExcel操作步骤:1）输入x1、x2、x3的初始值0.5。2）计算线性方程组（b）的系数矩阵和常数列矩阵。3）用矩阵法解线性方程组（b），输入公式“=MMULT(MINVERSE(D2:F4),G2:G4)”，三键确认，得第一次迭代改变量xi1。4）用矩阵加法得第一次迭代后的自变量xi1(=xi0+xi1)。5）重复步骤2)、3)和4)，直至两次迭代改变量小于10-15 。化工实际问题的提出例子1. 方形蓄水箱加水和排水问题要得到水位高度和流量的关系（方形水槽）化工实际问题的提出例子2. 三角剖面水槽进水和排水问题 (去年考试题目)要得到水位高度和流量的关系（三角剖面水槽）1. 原理 化

31、学反应动力学方程一般用一阶微分化学反应动力学方程一般用一阶微分方程表示，其通式为：方程表示，其通式为： a, b是自变量的定义域，是自变量的定义域，f(x, y)为已知为已知函数。函数。d( , ) , dyf x ya bx1. 原理 若一函数若一函数y=F(x)代入微分方程，使得代入微分方程，使得式式(1)成立，即成立，即: 则该函数就是微分方程的解。则该函数就是微分方程的解。 d ( )( ,( )dF xf x F xx2.4 求求微微分分1. 原理 解微分方程用到积分，得到的解析式解微分方程用到积分，得到的解析式是含一个任意常数是含一个任意常数C的通解。若有初的通解。若有初始条件（初

32、值）：始条件（初值）： y0F (x0) 则通解的常数则通解的常数C可以确定，得到特解。可以确定，得到特解。2.4 求求微微分分1. 原理 例如对于一级反应：例如对于一级反应：A B，其速率其速率方程为：方程为： At是反应物是反应物A在时间在时间t时的浓度，其时的浓度，其通解为：通解为：ttdAAdtk tAektC2.4 求求微微分分1. 原理 若已知若已知t0时时A的浓度为的浓度为A0，则在则在初始条件下的特解为：初始条件下的特解为：0AA ektt2.4 求求微微分分1. 原理 并非所有微分方程都有解析解。事实上并非所有微分方程都有解析解。事实上除了一些简单的基元反应，大多数反应除了一

33、些简单的基元反应，大多数反应动力学难以得到解析解或解析式很复杂，动力学难以得到解析解或解析式很复杂，甚至不存在解析解。此时必须求助于数甚至不存在解析解。此时必须求助于数值解。值解。 另一方面反应动力学关心的问题是在另一方面反应动力学关心的问题是在t时时刻反应体系内各物质的浓度刻反应体系内各物质的浓度At , Bt , ，有足够精度的近似解即可。有足够精度的近似解即可。2.4 求求微微分分1. 原理 数值解在化工数值解在化工“三传一反三传一反”的模型化的模型化中都广泛应用。中都广泛应用。 从小试管放大到工业反应器：反应动从小试管放大到工业反应器：反应动力学模型力学模型+传递模型。传递模型。 数值

34、解有普适性，可用于复杂的微分数值解有普适性，可用于复杂的微分方程体系及任何初始条件。方程体系及任何初始条件。2.4 求求微微分分2. Euler法 常微分方程数值解采用离散方法，即常微分方程数值解采用离散方法，即找出一种有效的数值计算方法，计算找出一种有效的数值计算方法，计算自变量的离散点：自变量的离散点：x0，x1，x2，xn以及对应的以及对应的y近似值近似值y0，y1，y2，yn。最简单的是最简单的是Euler法，通常取等法，通常取等间距的间距的x值：值： x1-x0 =x2-x1= xn-xn-1=h h称为步长。称为步长。2.4 求求微微分分2. Euler法 以初始条件以初始条件(x

35、0, y0)代入微分方程式代入微分方程式(1)，得到初始点得到初始点P0 (x0, y0)的斜率：的斜率：以差商近似微商：以差商近似微商：000d(,)dx xyf xyx0100010d(,)dx xyyyyf xyxxxx2.4 求求微微分分2. Euler法 因此有：因此有： 即即x向前移动向前移动h，在在x1处得到处得到y1。 同样可以由同样可以由x1, y1代入式代入式(1)得到得到y2。依此类推，依此类推，可得到所有可得到所有x0，x1，x2，xn对应的对应的y近似近似值值y0，y1，y2，yn。这些数值点连成一个这些数值点连成一个折线函数，用以代替原来的曲线函数。折线函数，用以代

36、替原来的曲线函数。1000(,)yyhf xy2.4 求求微微分分2. Euler法2.4 求求微微分分2. Euler法 Euler法简单易懂，几何意义明确，法简单易懂，几何意义明确，但误差太大。由图可知，由于误差的但误差太大。由图可知，由于误差的累加，随着累加，随着x向前推进，折线越来越向前推进，折线越来越偏离原来的曲线。偏离原来的曲线。2.4 求求微微分分3. Euler法示例例：对一级反应动力学方程对一级反应动力学方程 设定：初始浓度设定：初始浓度A0=0.2000mol/L，反应反应速率常数速率常数k=0.01s-1。由上式可推得其求浓由上式可推得其求浓度近似值的递推公式为：度近似值

37、的递推公式为：ttdAAdtk AAAt htthk2.4 求求微微分分3. Euler法示例具体解法如下：具体解法如下：1）A列输入时间，间隔为列输入时间，间隔为20s，直到直到140s。2）B列用列用Euler法计算在时间法计算在时间t时的浓度时的浓度At。在在B5单元格输入初始浓度单元格输入初始浓度0.2000mol/L。B6输入递推公式输入递推公式:=B5-B5*$D$1*$D$2。3）选定选定B6单元格，向下拖拽到单元格，向下拖拽到B12。由于由于B5单元格为相对引用，每下一格，浓度值更单元格为相对引用，每下一格，浓度值更新一次，得到各个时刻由新一次，得到各个时刻由Euler法计算的浓法计算的浓度。度。 2.4 求求微微分分3. Euler法示例4）C列是根据列是根据 计算的解析浓计算的解析浓度值。在度值。在C5单元格输入公式：单元格输入公式： =$B$5*EXP(-$D$1*A5)。 然后自动填充得其余值。然后自动填充得其