曾谨言量子力学第3章

1、第第 3 章章 力学量用算符表达力学量用算符表达(a) 线性算符：线性算符：凡满足下列规则的算符凡满足下列规则的算符A，称为线性算符，称为线性算符。11221122() (1)A ccc Ac ANote: 刻画可观测量的算符都是线性算符刻画可观测量的算符都是线性算符单位算符单位算符I：保持波函数不变的算符保持波函数不变的算符)2( I算符相等：算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果 都相同，则称这两个算符相等。都相同，则称这两个算符相等。)3( BABA算符：算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算量子力学中的算符就是对波

2、函数（量子态）的一种运算( c ) 算符之积：算符之积： 两个算符两个算符A和和B的积记为的积记为AB。定义如下：对任何。定义如下：对任何 波函数有波函数有)5( )()(BABA1. 对易子对易子(commutator)6( ,ABBABA(b) 算符之和算符之和: 算符算符A,B之和，记为之和，记为A+B。定义如下：对任何波函。定义如下：对任何波函 数有数有)4( )(BABA;()()ABBAABCABC交换律交换律:结合律结合律:Note: 一般来说，算符之积不满足交换律一般来说，算符之积不满足交换律若若A,B=0,则称算符则称算符A,B是对易的是对易的；若若A,B0, 则称算符则称算

3、符A, B不对易不对易。恒等式)(0, , , ,JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBACABACBAABBA2.量子力学的基本対易关系量子力学的基本対易关系,i ( , , )xpx y z 对易子的性质对易子的性质证明：证明：ixxpxx i()iixp xxxxx 对任意波函数对任意波函数有有3. 角动量算符角动量算符lrp iiixzyyxzzyxlypzpyzzylzpxpzxxzlxpypxyyx 则则 ()ixxxpp x 即即 ,ixx p 分量表述分量表述球坐标系下的角动量算符球坐标系下的角动量算符)/arctan()/arctan( ,cossi

4、nsincossin22222xyzyxzyxrrzryrxisincotcosicoscotsinizyxlll22222sin1sinsin1lxxl i,1123ppli,llli,llli2222zyxllll),( , 0,2zyxll角动量的对易关系角动量的对易关系或或定义角动量平方算符定义角动量平方算符对易关系对易关系板书证明部分角动量对易关系板书证明部分角动量对易关系Levi-Civita 符号符号练习：练习：令令yxllli证明证明（升、降算符）（升、降算符）lllz,zlll2,zzlllll22（注意算符的叉积注意算符的叉积与两个矢量叉积的与两个矢量叉积的区别）区别）(d

5、)逆算符：逆算符：设设A1A111)(ABBA能唯一地解出能唯一地解出，则可定义算符，则可定义算符A的逆算符的逆算符A-1为为说明：说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2) 若算符若算符A有逆，则有有逆，则有0, ,111AAIAAAA(3) 若算符若算符A,B的逆均存在，则有的逆均存在，则有(f) 算符的函数算符的函数0)(!)0()(nnnxnFxF0)(!)0()(nnnAnFAF0dddd!ddnnnnxaxnaexF若函数若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛的各阶导数存在，幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符A的函数的函数F

6、(A)为为如如)()(ddaxxexa则则平移算符平移算符),(),(),(yxFyxyxFmmnnmnmnmnmnBAmnFBAF!)0 , 0(),(0,),(两个算符的函数两个算符的函数两个任意量子态的两个任意量子态的标积：标积：d),(对一维粒子对一维粒子xdd对三维粒子对三维粒子dddsindddd2rrzyx算符的乘幂：算符的乘幂：定义算符定义算符A的的n次幂为次幂为 nnAAAA例，例，若若xAdd则则nnnxAdd显然算符的乘幂满足：显然算符的乘幂满足：nmnmAAA0,nmAA),(),(),(),(),(),(),(),(0),(2211221122112211cccccc

7、cc标积的性质标积的性质d),(f) 转置算符：转置算符： 算符算符A的转置定义为的转置定义为AAdd),(),(AAxx或或例如：例如：证明：证明：xxxxxxdddxxxxdd按转置算符的定义，上式的左边有按转置算符的定义，上式的左边有则则0dxxx由于函数由于函数，是任意的，则有是任意的，则有0 xx即即xx练习练习 证明：证明：(g)复共轭算符和厄米共轭算符复共轭算符和厄米共轭算符算符算符A 的复共轭算符的复共轭算符A*定义为定义为)40( )(AA通常算符通常算符A的复共轭算符的复共轭算符A* 按如下方法求解：按如下方法求解： 把算符把算符A中的中的所有量都换成其复共轭。所有量都换成

8、其复共轭。如如ppi)i(算符算符A 的的厄米共轭算符厄米共轭算符A+定义为定义为)41( ),(),(AA则则),(),(),(),(),(AAAAA所以所以 AA(1) , (2) ()TxxppABBA 如如pppp性质性质ABCCBA)(h) 厄米算符厄米算符满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的)41( ),(),(AAAA或Note: 所有力学量的算符均是厄米算符所有力学量的算符均是厄米算符性质性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符

9、两个厄米算符之积不一定是厄米算符(3)无论厄米算符无论厄米算符A,B是否对易，算符是否对易，算符)(i 21 ),(21ABBAABBA均是厄米算符均是厄米算符（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合OOOi令令)(i 21 ),(21OOOOOO则则O+和和O-均是厄米算符。均是厄米算符。即即定理：定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。证明：证明： ( ,)(,)( ,) AAAAA 逆定理：逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符证

10、明：证明： 按照假定按照假定 AA即即),(),(),(AAA取取 = =1+c2, , 1 1, , 2 2也是任意的，也是任意的，c c是任意常数，代入上式是任意常数，代入上式),(),(),(),(),(),(),(),( 222211211222211211AcAcAcAAcAcAcA在任意态下算符在任意态下算符A的平均值都是实数，即的平均值都是实数，即),(),( ),(),(22221111AAAA),(),(),(),( 21122112AcAcAcAc所以所以分别令分别令c=1和和c=i得到得到),( ),(),(),( 12122121AAAA),( ),(),(),( 12

11、122121AAAA两式分别相加、减得两式分别相加、减得 ),(),( ),(),( 12122121AAAA推论：推论：设设A 是厄米算符，则在任意态下有是厄米算符，则在任意态下有222( ,)(,)d0AAAAA-END注：注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应 的算符必定是厄米算符的算符必定是厄米算符设厄米算符设厄米算符A在任意态在任意态下的平均值为零，则下的平均值为零，则A为零算符，为零算符，即即)( 0任意A证明证明：0),(AAA，0),(2)(,(),(),(),(),()(,22AAAAAAAAAAAAAAA在态

12、在态A下的平均值也为零下的平均值也为零 ，即，即即即0d2A所以所以0A 3.2 3.2 厄米算符的本征值与本征函数厄米算符的本征值与本征函数) 1 ( d)()(222AAAAA)2( 0d)(22AAA0)(AA)3( nnnAA涨落：涨落：力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。利用算符的厄米性可得利用算符的厄米性可得本征态：本征态：若体系处于一特殊态，测量力学量若体系处于一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定所得结果是唯一确定 的，即涨落为零，则称这种状态是力学量的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。的本征态。即即或写成或写成An称为算符

13、称为算符A的本征值，的本征值，n为相应的本征态，为相应的本征态，方程方程(3)称为称为算符算符A的本征方程。的本征方程。定理定理1 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数nnnnnnAAAA),(),(量子力学的测量公设：量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量在任意态下测量力学量A时所有可能出现时所有可能出现的值，都相应于线性厄米算符的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符的本征值；当体系处于算符A的的本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An定理定理 2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交厄米算符的属于

14、不同本征值的本征函数彼此正交证明证明： mmmnnnAAAA ,mmmAA),(),(nmmnmAA0),)(nmnmAA设设取上式的复共轭得取上式的复共轭得上式右乘上式右乘n，并积分得，并积分得对厄米算符对厄米算符A,有有),(),(),(),(nmmnmnnmnmAAAA所以所以若若mnAA ，则必有，则必有0),(nm-证毕证毕例题例题1 求角动量的求角动量的z分量的本征值与本征函数分量的本征值与本征函数解：解：本征方程本征方程zl i/ilnzl/iexp)(zlC)()2(, 2, 1, 0,mmlzmmCei)(12d)(2202Cm, 2, 1, 0,21)(imemm整理得整理

15、得其解为其解为周期性边界条件周期性边界条件所以所以相应的本征函数为相应的本征函数为归一化归一化即即例题例题2 2 平面转子的能量本征值与本征态平面转子的能量本征值与本征态解：解： 平面转子的哈密顿为平面转子的哈密顿为222222IIlHz能量本征方程能量本征方程EI2222解为解为, 2, 1, 0,21)(imemm能量本征值为能量本征值为ImEm222显然，除了显然，除了m = 0外，对应一个本征值外，对应一个本征值Em，有两个本征态，有两个本征态，能级二重简并。能级二重简并。思考题：思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数平面转子的能量本征态可否取为实函数sinm,cosm? ? 此时

16、它们是否仍为此时它们是否仍为lz的本征态？的本征态？例题例题3 求动量求动量x分量的本征态分量的本征态解：解：动量动量x分量的算符分量的算符xpx i本征方程为本征方程为xpx i/i)(xppxxCex其解为其解为)(d)()(xxppppxxxxx 连续谱本征函数不能归一化，习惯上取连续谱本征函数不能归一化，习惯上取/i21)(xppxxex波函数满足波函数满足例题例题4 一维自由粒子的能量本征态一维自由粒子的能量本征态解：解： 一维自由粒子的一维自由粒子的Hamilton 量为量为2222dd22xmmpHx本征方程：本征方程：Exm222dd2本征函数：本征函数：0/2 ,imEkek

17、x能量本征值：能量本征值：02/22mkE能级二重简并能级二重简并思考题：思考题：自由粒子的能量本征态可否取为自由粒子的能量本征态可否取为sinkx与与coskx? 此时它们是否还是此时它们是否还是px的本征态？它们是否有确定的宇称？的本征态？它们是否有确定的宇称？ 相应的粒子流密度是多少？相应的粒子流密度是多少？能级简并能级简并设力学量设力学量A的本征方程为的本征方程为nnnnfAA, 2 , 1 ,属于本征值属于本征值An的本征函数有的本征函数有fn个，则个，则称本征值称本征值An 是是fn重简并的重简并的。一般来说，简并态的选择并不是唯一的，简并态间也不一定彼此一般来说，简并态的选择并不

18、是唯一的，简并态间也不一定彼此正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。证明证明： 令令nfnnfan, 2 , 1 ,1 ,11nnfnfnnnAaAAaAnn),(nn则则即即n仍是算符仍是算符A的本征态，相应的本征值仍是的本征态，相应的本征值仍是An可选择系数可选择系数a使得使得n具有正交性，即具有正交性，即) 1(21) 1(21nnnnnfffff上述条件共有上述条件共有个个系数系数a的个数为的个数为2nf可以证明可以证明) 1(212nnnfff因此总可以找到一组因此总可以找到一组a使得新波函数满足正交化条件使得新波函数满足正交化条件-Sc

19、hmidt正交化方案正交化方案。 确确定简并态的方法：定简并态的方法：如果算符如果算符A A 的本征态是简并的，往往选用的本征态是简并的，往往选用其它力学量的本征值对简并态进行分类，此时正交性问题自动其它力学量的本征值对简并态进行分类，此时正交性问题自动解决，这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态的问题解决，这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态的问题两个力学量是否可以有共同的本征态？或者，是否可以同时确定？两个力学量是否可以有共同的本征态？或者，是否可以同时确定？正交条件数正交条件数归一条件数归一条件数 3.3 3.3 共同本征函数共同本征函数3.3.1 不确定关系的严格证明不确定关系的

20、严格证明di)(2BAI),(), ,(i),( ),(),(i),(i),( )i,i()(2222BBAABBABBAAABABAI0)4/()2/( )(222222222ACBACABCAI设有两个力学量设有两个力学量A和和B， 考虑下列积分不等式考虑下列积分不等式其中，其中，为任意波函数，为任意波函数，为任意实参数，为任意实参数，A, B均是厄米算符。均是厄米算符。上式可写成上式可写成引进厄米算符引进厄米算符CBACi / ,则则 ,212122BACBA,21)()(22BABA)8( ,21BABA04/222ACB取取22/ AC，则得到，则得到即即22241CBA代换代换BB

21、BBAAAA ;或或上式就是任意两个力学量上式就是任意两个力学量A和和B在任意量子态下的涨落所必须满足在任意量子态下的涨落所必须满足的关系，称为的关系，称为不确定度关系不确定度关系(uncertainty relation),BABA则有则有则则特例：特例： 若若A=x, B=px, 且且 i,xpx则有则有2/xpx显然，若两个力学量显然，若两个力学量A和和B不对易，则一般来说不对易，则一般来说A和和B不能同时不能同时为零，即为零，即A,B 不能同时测定（特殊态例外），或者说，它们不能不能同时测定（特殊态例外），或者说，它们不能有共同本征态；反之，若两个厄米算符有共同本征态；反之，若两个厄米

22、算符A 和和B对易，则可找出这样对易，则可找出这样的态，的态，使使A=0和和B=0可以同时满足，即可找到它们共同的本征可以同时满足，即可找到它们共同的本征态。态。思考题思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？ （不一定）（不一定）思考题思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定）（不一定）思考题思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有 确定的值确定的值？（不是）？（不是）思考题思考题4

23、若若A,B=常数，常数，A和和B能否有共同本征态？（有能否有共同本征态？（有 or没有）没有）lx, ly能否有共同的本征态能否有共同的本征态?（可以）（可以）例题例题1 动量动量),(zyxpppp的共同本征态的共同本征态解：解：由于由于, 0,pp则它们可以有共同的本征态，即平面波则它们可以有共同的本征态，即平面波/i/ )( i)2(1 )2(1)()()()(rpzpypxpppppeezyxrzyxzyx例题例题2 坐标坐标r(x,y,z)的共同本征态，即的共同本征态，即 函数函数)()()()()(0000000zzyyxxrrrzyx思考题思考题5 角动量分量角动量分量,i,zy

24、xlll思考题思考题6 px和和y可否有共同本征态？（可以）可否有共同本征态？（可以）练习题练习题1. 1. 对势能为对势能为V(x)的一维定态情形，证明的一维定态情形，证明xpmxE22. 2. 设有三个力学量设有三个力学量A, B, C，如果如果B, C=A, A, C=B，证明证明2221)(BACBA22222222sin1sinsin sin1sinsin1zll, 2, 1, 0,21)(imemm)()(),(mY),(),(22YYl3.3.2 (l2,lz)的共同本征函数，球谐函数的共同本征函数，球谐函数在球坐标下，有在球坐标下，有由于由于0,2zll， l2的本征函数可取为

25、的本征函数可取为lz的本征函数的本征函数令令本征方程本征方程01dd)1 (dd222m01dd2dd)1 (22222m, 2 , 1 , 0 ),1(lll0 , 0sinddsinddsin122m令令) 1(cos则则或或-连带连带Legendre方程方程可以证明，当可以证明，当时方程的解为连带时方程的解为连带Legendre多项式多项式lmml ),(P利用正交归一化条件利用正交归一化条件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定义一个归一化的定义一个归一化的部分的实函数部分的实函数llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2)

26、 12() 1()(满足归一化条件满足归一化条件l lmllm0dsin)()(则则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为正交归一的共同本征函数为mmlmlmemlmllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(利用正交归一化条件利用正交归一化条件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定义一个归一化的定义一个归一化的部分的实函数部分的实函数llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2) 12() 1()(归一化归一化l lmllm0dsin)()(则则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为正交归一的共同本征函数为mmlmlmeml

27、mllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(Y lm称为称为球谐函数球谐函数。mml lmllmlmlmzlmlmYYllllmlYmYlYllYl02022dsin),(),(d, 1, 1, 2 , 1 , 0),(),(),() 1(),(l称为称为轨道角量子数，轨道角量子数， m称为称为磁量子数。磁量子数。对给定的对给定的l，角动量的平方是（，角动量的平方是（2l+1）重简并的，）重简并的，lz是非简并的是非简并的3.3.3 对易力学量完全集对易力学量完全集（complete set of commuting observables CSCO）设有一组彼此设有一组彼此独立独立

28、而且相互而且相互对易对易的厄米算符的厄米算符(A1,A2,),它们的它们的共同本征态为共同本征态为，表示一组完备的量子数。设给定一组量表示一组完备的量子数。设给定一组量子数子数后，后，就能确定体系的唯一一个可能状态，则称就能确定体系的唯一一个可能状态，则称(A1,A2,)构成体系的一组构成体系的一组对易可观测量完全集对易可观测量完全集, ,或力学量完全集或力学量完全集. .a体系的任一量子态均可用体系的任一量子态均可用展开展开da或或若体系的哈密顿量若体系的哈密顿量H不显含时间，则不显含时间，则H为守恒量。如对易力学量为守恒量。如对易力学量完全集中包含哈密顿量，则完全集中各力学量都是守恒量，这

29、种完全集中包含哈密顿量，则完全集中各力学量都是守恒量，这种完全集又称完全集又称对易守恒量完全集。对易守恒量完全集。 (complete set of commuting conservative observables CSCCO)例题例题1 一维谐振子的哈密顿量一维谐振子的哈密顿量( (能量能量) )本身构成力学量完全集本身构成力学量完全集nnnxax)()(例题例题2 一维粒子的动量构成一维粒子的一个力学量完全集一维粒子的动量构成一维粒子的一个力学量完全集pepxxpxd)()2(1)(/i2/1例题例题3 三维自由粒子的动量是守恒量，动量的三个分量三维自由粒子的动量是守恒量，动量的三个分

30、量(px, py, pz) 构成一组力学量完全集构成一组力学量完全集zyxrppppeprddd)()2(1)(/i2/3例题例题4 三维中心力场中三维中心力场中)(2)(2222rVmrVmpH),(2zllH构成一组守恒量完全集。构成一组守恒量完全集。关于可对易观测量完全集的说明关于可对易观测量完全集的说明(1) CSCO是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量后，是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量后， 就不再构成体系的就不再构成体系的CSCO(2)一个给定体系的一个给定体系的CSCO中，可观测量的数目一般等于体系的自由中，可观测量的数目一般等于体系的自由 度，但也可大于

31、体系的自由度。度，但也可大于体系的自由度。(3)一个给定体系往往可找到多个一个给定体系往往可找到多个CSCO，或或CSCCO。一个。一个CSCO 成员的选择涉及体系的对称性。成员的选择涉及体系的对称性。定理定理: 设设H是体系的一个厄米算符，对于体系的任一态是体系的一个厄米算符，对于体系的任一态 ，(, H )/( , )有下界，但无上界，则有下界，但无上界，则H的本征态的集合构成的本征态的集合构成体系的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以体系的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态来展开。用这一组本征态来展开。观测量完全集的完备性问题观测量完全集的完备

32、性问题说明说明(a)自然界中真实存在的物理体系的自然界中真实存在的物理体系的Hamilton量算符量算符H都应为都应为 厄米算符，并且应有下界，因此体系的任一量子态总可以用厄米算符，并且应有下界，因此体系的任一量子态总可以用 包含包含H在内的一个在内的一个CSCCO的共同本征态完全集展开。的共同本征态完全集展开。(b)在在H的本征态有简并的情况下，对于给定的能量本征值，其的本征态有简并的情况下，对于给定的能量本征值，其 本征态不能完全确定，此时需要用包含本征态不能完全确定，此时需要用包含H在内的一个在内的一个CSCCO， 根据它们的本征值吧本征态完全确定。根据它们的本征值吧本征态完全确定。3.

33、3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达量子力学中力学量用厄米算符表达量子体系的可观测量用厄米算符描述，是量子力学的一个基本量子体系的可观测量用厄米算符描述，是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定假设，其正确性应该由实验来判定。该假设包含以下含义：该假设包含以下含义：(1) 在给定状态在给定状态下，力学量下，力学量A的平均值由下式确定的平均值由下式确定),/(),(AA (2) 在实验上测量力学量在实验上测量力学量A，其可能测量值就是，其可能测量值就是A的某一个本征值的某一个本征值。 由于力学量观测值总是实数，因此要求相应的算符是厄米算符。由于力学量观测值总是实数，因此要求相应的算符

34、是厄米算符。(3) 力学量之间的关系也通过相应算符之间的关系反映出来力学量之间的关系也通过相应算符之间的关系反映出来。 3.4.1 连续谱本征函数不能归一化连续谱本征函数不能归一化/i)(pxpCex xCxxpdd)(22连续谱本征函数不能归一化，如动量本征态连续谱本征函数不能归一化，如动量本征态则则坐标本征态坐标本征态)()(xxxx)()d()(xxxxxxx 3.4.2 函数函数000 , , 0)(xxxxxx)0( , 1d)(d)(0000 xxxxxxxx)(d)()( ) 1 (00 xfxxxxf定义定义性质性质)(1)( )2(xaax)()( )3(xx)()()( )4(babxax0)( )5(xx)(i00d21)(xxkkexx 函数的函数的Fourier展开展开0)()(xxxx)()(xxxxxx)(d)()(),(xxxxxxx