最短路径问题

1、最短路径问题最短路径问题 平面中的最短路径平面中的最短路径 立体图形中的最短路径立体图形中的最短路径最短路径问题最短路径问题平面中的最短路径平面中的最短路径 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？ 两点之间两点之间 线段最短线段最短FEDCBA 问题：如图，点问题：如图，点 A，B 分别是直线分别是直线 l 异侧的两个点，在异侧的两个点，在 l 上找到一个点，上找到一个点，CA CB 最短最短 作法：作法： 连接点连接点 A，B 与直线与直线 l 相交于点相交于点 C （CA+

2、CB）min=ABA.l.BC 问题问题 2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔地出发，到一条笔直的河边直的河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地。到河边什么地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl 精通数学、物理学的海伦稍加思精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问索，利用轴对称的知识回答

3、了这个问题。这个问题后来被称为题。这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”。 你能将这个问题抽象为数学问题你能将这个问题抽象为数学问题吗？吗？BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象抽象为一条直线。为一条直线。BAl AC 作法：作法：1、过点、过点 A 作直线作直线 l 的的 对称点对称点 A2、连接、连接 AB ，与直，与直 线线 l 相交于点相交于点 P3、连接点、连接点A , P此时（此时（AP+PB）min P将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象抽象为一条直线。为一条直线。BAl A C证明：证明： AP1+P1B=A

4、P1+P1B AB =AP+PB =AP+PB AP1+P1BAP+PB同理：同理：AP2+P2BAP+PB故故 （AP+PB）minP1P2P 问题问题 3：牧马营地在点：牧马营地在点P处，每天处，每天牧马人要赶着马群先到草地牧马人要赶着马群先到草地a上吃上吃草，再到河边草，再到河边b饮水，最后回到营饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短？所走的总路程最短？b. Pa草地草地河河b. Pa草地草地河河 作法：作法：1、作点、作点P关于直线关于直线a的对称的对称点点P1，关于直线，关于直线b对称点对称点P22、连接、连接P1P2，分别交直线

5、，分别交直线 a,b于点于点A，B3、连接、连接PA，PB，由对称轴，由对称轴的性质知，的性质知，PA= P1A，PB=P2B先到点先到点A处吃草，再到点处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，处饮水，最后回到营地，这时的放牧路线总路程最这时的放牧路线总路程最短，即短，即 (PB+BA+AP)minBP2AP1b. Pa草地草地河河 证明：证明： PA1+A1B1+B1P = P1A1+A1B1+B1P2 P1A+AB+BP2 = PA+AB+BP PA1+A1B1+B1P PA+AB+BP故故 （PA+AB+BP）minBP2AP1B1A1 问题问题 4：为了做好国庆期间的交通为了做好：为了做

6、好国庆期间的交通为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从队从A处出发，先到公路处出发，先到公路 l1 上设卡检查，再上设卡检查，再到公路到公路 l2 上设卡检查，最后再到达上设卡检查，最后再到达B地执行地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？任务，他们如何走才能使总路程最短？ l1l2. A. Bl1l2A . . B 作法：作法：1、作点、作点 A 关于直线关于直线 l1 的对的对称点称点 A12、作点、作点 B 关于直线关于直线 l2 的对的对称点称点 B13、连接、连接 A1B1 ，分别交直线，分别交直线 l1 ,l2 于点于点 C，D，则沿路

7、线，则沿路线ACDB 走，才能使走，才能使总路程最短总路程最短先到点先到点 C 处设卡检查，再处设卡检查，再到点到点 D 处设卡检查，最后处设卡检查，最后回到回到 B 处执行任务，这时处执行任务，这时的路线总路程最短。即的路线总路程最短。即（AC+CD+DB）minA1C D B1l1l2A . . B 证明：证明： AE+EF+FB = A1E+EF+FB1 = A1E+EG+GF+FB1 A1G + GB1 = A1B1 = A1C+CD+DB1 = AC+CD+DBAE+EF+FBAC+CD+DB故故 （AC+CD+DB）minA1C D B1E F G 问题问题 5：如图，如图，A，B

8、两地在一条河的两岸，现要两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从，桥造在何处才能使从A到到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）要与河垂直） 作法：作法： 1 1、将点、将点B B沿垂直与河岸的方沿垂直与河岸的方 向平移一个河宽到向平移一个河宽到E E 2 2、连接、连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M,则则 点点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为为 所建的桥所建的桥。. A. BNM. EABNME 证明：证明： AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD AE+

9、CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN AC+CD+DB AM+NB+MN故故 （ AM+NB+MN ）minCD （2011年）年）A，B两所学校在一条东西走向公路的两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面轴建立如图所示的平面直角坐标系。直角坐标系。 (1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点在一点C，使，使C点到点到A，B两校的距离相等？如果有，两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹；请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹； (2)若在公路边建一游乐场若在公路边

10、建一游乐场P， 使游乐场到两校距离之和最使游乐场到两校距离之和最 小，通过作图在图中找出所小，通过作图在图中找出所建建 游乐场的位置游乐场的位置 OA . Bxy 作法：作法：（1）连接）连接 A，B点，以点，以A，B为圆心，任意半径画圆，为圆心，任意半径画圆，交点为点交点为点M，N，连接，连接MN，交交x轴于点轴于点C，则点，则点C就是就是所求点，即所求点，即 CA=CB（2）过）过A点做点做 x 轴的对称点轴的对称点A1点，连接点，连接 A1B 交交 x 轴轴于点于点 P，则点，则点 P 就是所求就是所求点，即（点，即（AP+PB）minOA . BxyMNCPA1最短路径问题最短路径问题

11、 立体图形中的最短路径立体图形中的最短路径 问题问题 6：如图：如图 在一个底在一个底面周长为面周长为20cm,高高AA为为4cm的圆柱石凳上，若的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了小明在吃东西时留下了一点食物在一点食物在B处，恰好一处，恰好一只在只在A处的蚂蚁捕捉到这处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从一信息，于是它想从A 处爬向处爬向B处，你们想一想，处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？蚂蚁怎么走最近？BAA 蚂蚁蚂蚁AB的路的路线线BAAdABAABBAOBAArO4怎样计算怎样计算AB？在在RtRtAAAAB B中，利用勾股定理可得，中，利用勾股定理可得，222BAAAAB侧面展开图侧面展开

12、图其中其中AA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半是底面圆周长的一半(r)结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长。角线长。例：有一圆形油罐底面圆的周长为例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为，高为6m，一只老鼠从距底面一只老鼠从距底面1m的的A处爬行到对角处爬行到对角B处处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？吃食物，它爬行的最短路线长为多少？A A . . .B B分析：由于老鼠是沿着圆柱的分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形成平面图形.根据两点之间线段根据两点之间线段

13、最短，可以发现最短，可以发现A、B分别在分别在圆柱侧面展开图的宽圆柱侧面展开图的宽1m处和处和长长24m的中点处，即的中点处，即AB长为最长为最短路线短路线.(如图如图)解：解：AC = 6 1 = 5 BC = 24 =12 由勾股定理得由勾股定理得 AB=13(m) BAC222169ABACBC12问题问题 7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于宽和高分别等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是这个台阶的是这个台阶的两个相对的端点，两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可点去吃可口的食物口的食物.请你想

14、一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台点出发，沿着台阶面爬到阶面爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC531512 AB2=AC2+BC2=169 AB=13问题问题 8：如图，边长为：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶的正方体中，一只蚂蚁从顶点点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离的最短距离是（是（ ） （A）3 （B） （C）2 （D）1AB分析：分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）。故需把正方体展开成平面图形（如图）。CABC21B5左面和

15、上面左面和上面前面和上面前面和上面前面和右面前面和右面问题问题9：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，出发，沿长方体的表面爬到对角顶点沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况线有三种情况(如图如图 ),由勾股由勾股定理可求得图定理可求得图1中中AC1爬行的路线最爬行的路线最短短.ABDCD 1C1421AC1 =442 2+3+32 2 =25 =25 前面和上面前面和上面ABB1CA1C1412 AC1 =662 2+1+12 2 =37 =37 前面和右面前面和右面AB1D1DA1C1412 AC1 =552 2+2+22 2 =29 =29左面和上面左面和上面 1、如图是一个长方体木块，已知、如图是一个长方体木块，已知