fortran常用算法的程序设计举例

1、12一、数值积分一、数值积分几何意义：几何意义：badxxf)(3近似求小曲边梯形面积的方法：近似求小曲边梯形面积的方法：（1）用小矩形代替小曲边梯形；）用小矩形代替小曲边梯形；（2）用小梯形代替小曲边梯形；）用小梯形代替小曲边梯形；（3）在小区间范围内，用一条抛物线代替该区间内的）在小区间范围内，用一条抛物线代替该区间内的f(x)。4read(*,*) a,b,nx=ah=(b-a)/nf0=exp(x)s=0.0do 10 i=1,n si=f0*h s=s+si x=x+h f0=exp(x)10continuewrite(*,100) a,b,nwrite(*,200) s100for

2、mat(1x,a=,f10.3,3x,b=, $ f10.3,3x,n=,i4)200format(1x,s=,f15.8)end1. 矩形法矩形法) 1(:hiafhsii个小矩形面积第10:dxex求求5read(*,*) a,b,nx=ah=(b-a)/ns=0.0do 10 i=1,n si=(sin(x+(i-1)*h)+ $ sin(x+i*h)*h/2.0 s=s+si10continuewrite(*,100) a,b,nwrite(*,200) s100format(1x,a=,f10.3,3x, $ b=,f10.3,3x,n=,i4)200format(1x,s=,f15

3、.8)end2. 梯形法梯形法hhiafihafsii2) 1()(:个小梯形面积第10sin:xdx求求6其他几种其他几种程序变形程序变形 . . .f1=sin(a) . . . do 10 i=1,n f2=sin(a+i*h) si=(f1+f2)*h/2.0 s=s+si f1=f210continue . . . . . .x2=a . . .do 10 i=1,n x1=x2 x2=x2+h si=(sin(x1)+ $ sin(x2)*h/2.0 s=s+si10continue . . . . . .f0=sin(a)h=(b-a)/ns=f0do 10 i=1,n f=si

4、n(a+i*h) s=s+2.0*f10continues=(s-sin(b)*h/2.0 . . .012( )2()2bnnahf x dxfffff73. Sinpson法法 取取a，b中点中点c(a+b)/2，0)，通过通过f(a)，f(b)，f(c)三点可作唯一一条抛物三点可作唯一一条抛物线线f1(x)。 根据抛物线定积分求值公式，有：根据抛物线定积分求值公式，有：2)()(4)(3)(1abhbfcfafhdxxfba其中如果将如果将(a，b)分成两个小区间分成两个小区间(a，c) 和和(c，b):12( ) ( )( )4 ()(3 )2 (2 )3baf x dxsshf af

5、 bf ahf ahf ah2ach其中8如果将如果将(a，b)分成四个小区间分成四个小区间:( ) ( )( )4 ()(3 )(5 )3(7 )2 (2 )(4 )(6 )bahf x dxf af bf ahf ahf ahf ahf ahf ahf ah42abh其中如果将如果将(a，b)分成分成n个小区间个小区间:( ) ( )( )4 ()(3 )(21) )32 (2 )(4 )(22) )bahf x dxf af bf ahf ahf anhf ahf ahf anhnabh2其中9read(*,*) a,b,nh=(b-a)/(2.0*n)s=0.0fa=1.0/(1.0+

6、a)fb=1.0/(1.0+b)x=a+hf2=0.0f4=1.0/(1.0+x)do 10 i=1,n-1 x=x+h f2=f2+1.0/(1.0+x) x=x+h f4=f4+1.0/(1.0+x)10continues=h/3.0*(fa+fb+4.0*f4+2.0*f2)write(*,100) a,b,nwrite(*,150) s100format(1x,a=,f8.2,2x,b=,f8.2, $ 2x,n=,i4)150format(1x,s=,f16.7)end)22()4()2(2) 12()3()(4)()(3hnafhafhafhnafhafhafbfafhs小区间面积

7、小区间面积101:xdx求求三种求定积分的方法中，矩形法的误差较大，三种求定积分的方法中，矩形法的误差较大，梯形法次之，辛普生法最好。梯形法次之，辛普生法最好。10二、解一元方程（解非线性函数）二、解一元方程（解非线性函数）1. 直接迭代法直接迭代法read(*,*) x,mdo 10 i=1,mx1=(-x*3-2.0*x*x-2.0)/2.0write(*,100) i,x1if(abs(x-x1).gt.1e-6) then x=x1else stopend if10continuewrite(*,200) m100format(1x,i=,i3,5x,x1=,f15.7)200form

8、at(1x,computation has not, $ converged after,i4,iteration)end022223xxx2)22(23xxx因有收敛问题，要因有收敛问题，要设最大循环次数。设最大循环次数。11 有的有的g(x)是收敛的，而有的是收敛的，而有的g(x)是不收敛的。是不收敛的。同一个同一个g(x)，对对某些某些x0是收敛的，对有的是收敛的，对有的x0则是不则是不收敛的。收敛的。 如果如果g(x)具有一阶导数连续，且对于所有的具有一阶导数连续，且对于所有的x，若若|g(x)|q1（q为一个定数），那么为一个定数），那么x=g(x)对于任对于任意的意的x0均收敛，且

9、均收敛，且q愈小，收敛速度愈快。如果不愈小，收敛速度愈快。如果不满足对所有的满足对所有的x存在存在|g(x)|q1 ，则可能对有的则可能对有的x0收敛，对有的收敛，对有的x0不收敛。不收敛。 因此要恰当的选择因此要恰当的选择g(x)形式和初值形式和初值x0。122. 牛顿迭代法牛顿迭代法read(*,*) xn=1 10 x1=xf=x1*3-2.0*x1*2+4.0*x1+1.0f1=3.0*x1*2-4.0*x1+4.0 x=x1-f/f1write(*,100) n,x1,xn=n+1if(abs(x-x1).gt.1e-6) goto 10100format(1x,n=,i3,3x,x

10、1=,f15.7, $ 3x,x=,f15.7)end322( )241=00( )344f xxxxxf xxx求在附近的一个实根1()()nnnnf xxxfx1112()()f xfxxx133. 二分法二分法5read(*,*) x1,x2f1=x1*3-6.0*x1-1.0f2=x2*3-6.0*x2-1.0if(sign(f1,f2).eq.f1) goto 510 x=(x1+x2)/2.0f=x*3-6.0*x-1.0if(sign(f,f1).eq.f) then x1=x f1=felse x2=x f2=fend ifif(abs(x1-x2).gt.1e-5).and.

11、 $ abs(f).gt.1e-6) goto 10if(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2.0write(*,100) x100format(1x,x=,f15.7)end3( )6102f xxxx 用二分法求在附近的一个实根144. 弦截法（割线法）弦截法（割线法）5read(*,*) x1,x2f1=x1*3-2.0*x1*2+7.0*x1+4.0f2=x2*3-2.0*x2*2+7.0*x2+4.0if(sign(f1,f2).eq.f1) goto 5f=1.020if(abs(x1-x2).gt.1e-5).and. $ abs(f).gt.1e-6) the

12、n x=x2-(x2-x1)/(f2-f1)*f2 f=x*3-2.0*x*2+7.0*x+4.0 if(sign(f,f1).eq.f) then x1=x f1=f else x2=x f2=f end if goto 20end ifif(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2.0write(*,100) x100format(1x,x=,f15.7)end)()()(212122xfxfxfxxxx047223xxx15 以上方法都是近似求根，得到不是准确值而是近以上方法都是近似求根，得到不是准确值而是近似值。但只要给定的误差足够小，就可以认为它们之似值。但只要给定的误

13、差足够小，就可以认为它们之间足够近似间足够近似。 事实上，只有少数的方程才能用解析的方法求出事实上，只有少数的方程才能用解析的方法求出准确的根值。准确的根值。 计算机可以解任何有实根的一元方程，它采用的计算机可以解任何有实根的一元方程，它采用的基本方法就是迭代，经过多次迭代，使近似根逐渐趋基本方法就是迭代，经过多次迭代，使近似根逐渐趋近于真实根。迭代可以用循环实现，正好充分发挥计近于真实根。迭代可以用循环实现，正好充分发挥计算机快速运算的特点算机快速运算的特点。16三、求函数极值三、求函数极值的极小值的极小值求求54)(:2xxxfFibonacci搜索算法，或搜索算法，或0.618法，或黄金

14、值搜索法。法，或黄金值搜索法。17f1=x1*x1-4.0*x1+5.0f2=x2*x2-4.0*x2+5.0if(f1.gt.f2) then f=f2 x=x2else f=f1 x=x1end ifwrite(*,204) x,f200format(12x,x1,14x,f1, $ 13x,x2,13x,f2/)202format(1x,4f15.7)204format(0,x=,f10.6,5x, $ f(x)=,f10.7)endreal low,high,x1,x2read(*,*) low,highwrite(*,200)x1=low+0.618*(high-low)x2=hig

15、h-0.618*(high-low)10if(high-low.gt.1e-4) then f1=x1*x1-4.0*x1+5.0 f2=x2*x2-4.0*x2+5.0 write(*,202) x1,f1,x2,f2 if(f1.gt.f2) then high=x1 x1=x2 x2=high-0.618*(high-low) else low=x2 x2=x1 x1=low+0.618*(high-low) end if goto 10end if18五、计算机模拟五、计算机模拟 计算机模拟（计算机模拟（Computer Simulation）,又称又称“仿真仿真”：用计算机模仿实物系

16、统进行测试，从用计算机模仿实物系统进行测试，从测试的结果获得期望的资料。测试的结果获得期望的资料。 根据模拟对象的不同特点，可分为：根据模拟对象的不同特点，可分为： 确定性模拟（确定性模拟（Deterministic Mode）；）； 随机性模拟（随机性模拟（Stochastic Mode） 。19 小球以小球以10m/s沿沿45斜抛，落地反斜抛，落地反弹方向同前，速度弹方向同前，速度减小减小10%，求前三，求前三次周期轨迹。次周期轨迹。20 if(abs(y).gt.0.001) then t=t-dt dt=0.1*dt t=t+dt x=v*t+x0 y=v*t-0.5*g*t*2 el

17、se write(*,100) t,x,y flag=.false. end if end if goto 5 end if v=0.9*v t=0.0 x0=x write(*,*)10continue100format(1x,t=,f8.4,3x,x=, $ f12.6,3x,y=,f12.6)endlogical flagparameter (g=9.8)read(*,*) v0,dt=0.0 x0=0.0v=v0*cos(3.1415926/4.0)do 10 i=1,3 dt=d flag=.true. x=v*t+x0 y=v*t-0.5*g*t*25 if(flag) then if(y.ge.0.0