二全微分在数值计算中的应ppt课件

1、湖北经济学院数学教研室2005.5二、全微分在数值计算中的运用二、全微分在数值计算中的运用 第三节第三节 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 湖北经济学院数学教研室2005.5一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: : 假设函数假设函数 z = f ( x, y )z = f ( x, y )在定义域在定义域 D D 的内的内点点( x , y )( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B A , B 不依赖于不依赖于 x , x , y , y , 仅与仅与 x , y x , y 有有关，那么称函数关，那么称

2、函数称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) (x, y) 的全微分的全微分, , 记作记作yBxAfz dd假设函数在域假设函数在域 D D 内各点都可内各点都可微微, ,22)()(yx f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处的全增量处的全增量那么称此函数在那么称此函数在D D 内可内可微微. .湖北经济学院数学教研室2005.5(2) (2) 偏导数延续偏导数延续),(),(yxfyyxxfz )()(lim0 oyBxA 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: :(1) (1) 函数可微函数可微函数函数 z = f (x, y)

3、 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx 由微分定义由微分定义 : :得得zyx 00lim0 ),(yxf 函数在该点延续函数在该点延续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即湖北经济学院数学教研室2005.5定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 假设函数假设函数 z = f (x, y) z = f (x, y) 在点在点(x, y) (x, y) 可微可微 , ,那么该那么该函数在该点偏导数函数在该点偏导数yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同样可证同样可证,Byz yyzxxzz d证证

4、: : 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 必存在必存在, ,且有且有得到对得到对 x x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 xzxx 0limA 湖北经济学院数学教研室2005.5反例反例: : 函数函数 ),(yxf易知易知,0)0, 0()0, 0( yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因此因此, ,函数在点函数在点 (0,0) (0,0) 不可微不可微 . .)( o 留意留意: : 定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .即即: :22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0偏导数存在函数偏

5、导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! !0,2222 yxyxyx0,022 yx湖北经济学院数学教研室2005.5 ),(yyxxf 定理定理2 (2 (充分条件充分条件) )yzxz ,证：证：),(),(yxfyyxxfz )1,0(21 yyyxfy ),(2 xyyxxfx),(1 ),(yyxf ),( yxf ),(yyxf 假设函数假设函数),(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连连续续在在点点yx那么函数在该点可微分那么函数在该点可微分. .yyxfy ),(xyxfx ),( 0lim00 yx,0lim00 yx湖北经济学院数学教研室2005.5 zyyxfxyxfyx

6、 ),(),(yyxfxyxfzyx ),(),( yx所以函数所以函数),(yxfz ),(yxyx 在点在点可微可微. . 0lim00 yx,0lim00 yx留意到留意到, , 故有故有)( o 湖北经济学院数学教研室2005.5 xxu推行推行: :类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. .例如例如, , 三元函数三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示, ,于是于是 ud记作记作uxduuuuzyxdddd称为偏微分称为偏微分. .故有下述叠加原理故有下述叠加原理yyud zzud xxu

7、d uyduzd的全微分为的全微分为 yyuzzu uxduyduzd湖北经济学院数学教研室2005.5例例1 1 计算函数计算函数在点在点(2,1)(2,1)处的全微分处的全微分. . yxez 解解 xz222)1 , 2(,)1 , 2(eyzexz yexezd2dd22)1 ,2( 例例2 2 计算函数计算函数的全微分的全微分. . zyeyxu 2sin解解 ud xd1yyd) 2cos21( zeyzyd yz,yxeyyxex)d2d(2yxe zyez湖北经济学院数学教研室2005.5可知当可知当 及及 较小时较小时, ,有近似等式有近似等式: :二、全微分在数值计算中的运

8、用二、全微分在数值计算中的运用1. 近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义x y )(),(),( oyyxfxyxfzyx ),(yyxxf yyxfxyxfyx ),(),(yyxfxyxfzzyx ),(),(dzd ),(yxf( (可用于近似计算可用于近似计算; ; 误差分析误差分析) ) ( (可用于近似计算可用于近似计算) ) 湖北经济学院数学教研室2005.5解解: 知知,2hrV V,100,20 hr)1(2005. 01002022 V即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003 例例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,半径由半径

9、由 20cm 增增大到大到20.05cm ,高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,求此圆求此圆柱体体积的近似改动量柱体体积的近似改动量. 那那么么 rrh 2hr 2 1,05.0 hr)cm(2003 湖北经济学院数学教研室2005.5例例4.4.计算计算 的近似值的近似值. . 02. 204. 1解解: : 设设 , ,那么那么yxyxf ),( ),(yxfx取取, 2, 1 yx那那么么)02. 2,04. 1(04. 102. 2f yfxffyx )2, 1()2, 1()2, 1(08. 102. 0004. 021 ),(yxfy,1 yxyxxyln02. 0,

10、04. 0 yx湖北经济学院数学教研室2005.5分别表示分别表示 x , y , z x , y , z 的绝对误差的绝对误差界界, ,那么那么2. 误差估计误差估计利用利用yyxfxyxfzyx ),(),(zyx,令令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),( z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),( 湖北经济学院数学教研室2005.5特别留意特别留意时，时，yxz )1(yxzyxz ,)2(时时xyz yxyx 类似可以推行到三元及三元以上的情形类似可以推行到三元及三元以上的情形. .xzz )(2xy yxy x1yx乘除后的结果

11、相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数很小的数不能做除数湖北经济学院数学教研室2005.5例例5. 5. 利用公式利用公式CbaSsin21 1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差. .解：解：aSaS aCbsin21 1800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12 CbaCba13. 0 S故绝对误差约为故绝对误差约为又又CbaSsin21 所以所以 S S 的相对误差约为的相对误差约为SS 30sin3 . 85 .1221bCasin21 CCabcos21 94.25 94

12、.2513. 0 %5 . 0 计算三角形面积计算三角形面积. .现测得现测得bbS CCS湖北经济学院数学教研室2005.5例例6. 6. 在直流电路中在直流电路中, , 测得电压测得电压 U = 24 U = 24 伏伏, ,相对误差为相对误差为解解: 由欧姆定律可知由欧姆定律可知4624 IUR( ( 欧欧) )所以所以 R R 的相对误差约为的相对误差约为 IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差 . .测得电流测得电流 I = 6 I = 6安安, , 相对误差为相对误差为 0.5 0.5 , ,= 0.032 ( 欧欧 )= 0.8 求用欧姆求用欧姆湖北经济学院数学教研室2005.5内容小结内容小结1. 1. 微分定义微分定义: :),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 2. 重要关系重要关系: