概率论与数理统计7.3.3单侧置信区间

1、一、问题的引入一、问题的引入). ,( , , , 的的双双侧侧置置信信区区间间得得到到出出两两个个统统计计量量我我们们给给对对于于未未知知参参数数在在以以上上各各节节的的讨讨论论中中 但在某些实际问题中但在某些实际问题中, 例如例如, 对于设备、元对于设备、元件的寿命来说件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的平均寿命长是我们希望的, 我们我们关心的是平均寿命关心的是平均寿命 的的“下限下限”; 与之相反与之相反, 在在考虑产品的废品率考虑产品的废品率 p时时, 我们常关心参数我们常关心参数 p的的“上限上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念这就引出了单侧置信区间的概念. 单侧置信区间单侧置信

2、区间二、基本概念二、基本概念1. 单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义,1, ),(, )10( 2121 PXXXXXXnn满足满足对于任意对于任意确定的统计量确定的统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值.1,1) ,(信下限信下限的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 ,1 ),( 21 PXXXn满足满足意意对于任对于任又如果统计量又如果统计量.1 , 1 ), (置置信信上上限限的的单单侧侧的的置置信信水水平平为为称称为为单单侧侧置置信信区区间间的的的的置置信信水水平平为为是是则则称称随随机机

3、区区间间 2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间 , )( , 2均为未知均为未知方差是方差是的均值是的均值是设正态总体设正态总体 X , , 21是一个样本是一个样本nXXX),1(/ ntnSX 由由,1)1(/ ntnSXP有有,1)1( ntnSXP即即,),1( ntnSX 1 的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 ).1( ntnSX 1的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 12的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 ,)1()1(, 0212 nSn 12的单侧置信上限的

4、单侧置信上限的置信水平为的置信水平为 .)1()1(2122 nSn ,1)1()1( 2122 nSnP即即),1()1( 222 nSn 又根据又根据,1)1()1( 2122 nSnP有有 设从一批灯泡中设从一批灯泡中, 随机地取随机地取5只作寿命试验只作寿命试验,测得寿命测得寿命(以小时计以小时计)为为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均求灯泡寿命平均值的置信水平为值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限的单侧置信下限.解解, 5 n,1160 x,95. 01 ,1318. 2)4()1(05.

5、0 tnt ,99502 s .950的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 .1065)1( ntnsx 例例1),(),(222211NYNX1 12 221,;,.,2121nnYYYXXX2221,;,SSYX2221, 【推导】因为【推导】因为 分别是分别是 的无偏估计的无偏估计,且且YX,21,),(),(22221211nNYnNX从而可得从而可得 的一个置信度为的一个置信度为1-的的置信区间置信区间为为21故故 是是 的无偏估计的无偏估计, ,且有且有YX 21),(22212121nnNYX) 1 , 0()()(22212121NnnYX2222121znnYX从而从

6、而 2221, 当样本容量都很大时当样本容量都很大时, ,可用样本方差代替总体方差可用样本方差代替总体方差 而得而得 的置信度为的置信度为1-1-的的近似近似的的置信区间置信区间为为212222121znSnSYX 由由ch6-th4得得)2(11)()(212121nntnnSYXw 从而从而 的一个置信度为的一个置信度为1-的的置信区间置信区间为为21) 2(1121221nntnnSYXw其中其中.2) 1() 1(21222211nnSnSnSw 解双正态总体解双正态总体, ,未知同方差的未知同方差的均值差均值差置信区间置信区间. . ) 2(1121221nntnnSYXw【例【例2

7、 2】 6,105 . 1,00387. 0,67817. 615211nssx 置信度置信度1-=0.9 ,=0.1, 1-=0.9 ,=0.1, 由样本值计算得：由样本值计算得： 查表得查表得: :8331. 1)9(05. 0t 所求置信区间为所求置信区间为: :5,109,003. 0,664. 626222nssy2) 1() 1(212222112nnsnsnsw61033.122561094105 . 156531051. 3ws8331. 151611051. 3664. 6678. 63018. 0 ,010. 0 即为即为: : 2、2221仅仅讨论两正态总体讨论两正态总体

8、均值都未知均值都未知情形情形.【推导】由【推导】由ch6-th1知知:)1()1(1221211nSn)1()1(2222222nSn且相互独立且相互独立,故由故由定义知定义知:)1, 1()1/()1()1/()1(21221211121211nnFnSnnSn)1, 1(/2122222121nnFSS即即:1) 1, 1(/) 1, 1(212/22222121212/1nnFSSnnFP其分布不依赖于任何未知参数其分布不依赖于任何未知参数. 由由F-分布双侧分位点知分布双侧分位点知:即即:1) 1, 1(1) 1, 1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP

9、) 1, 1(1,) 1, 1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS故故 的一个置信度为的一个置信度为1-的的置信区间置信区间为为:2221 设两位化验员设两位化验员A,BA,B独立地对某种化学物品用独立地对某种化学物品用相同的方法各作相同的方法各作1010次测定次测定, ,其测定值的样本方差分别为其测定值的样本方差分别为 解双正态总体解双正态总体. .均值未知时方差比的置信区间均值未知时方差比的置信区间. . 6065. 0,5419. 022BAss设总体均为正态的设总体均为正态的,且且 分别为分别为A,B所测定的测定所测定的测定值总体的方差值总体的方差.求方差比求方差

10、比 置信度为置信度为0.95的置信区的置信区间间.22,BA22/BA) 1, 1(1,) 1, 1(1212/122212/22nnFSSnnFSSBABA10,6065. 0,5419. 02122nnssBA 置信度置信度1-=0.95 ,=0.05, 1-=0.95 ,=0.05, 由样本值计算得：由样本值计算得： 查表得查表得: :2481. 003. 41)9 , 9(1)9 , 9(,03. 4)9 , 9(025. 0975. 0025. 0FFF 所求置信区间为所求置信区间为: :60.3 ,222.0已知方差已知方差,置信区间置信区间 (N(0,1)-分布分布)未知方差未知方差,近似置信区间近似置信区间 大样本（大样本（N(0,1)-分布）分布）未知同方差未知同方差,置信区间置信区间 (t(n1+n2-2)-分布分布)未知均值未知均值,置信区间置信区间 (F(n1-1,n2-1)-分布分布)2222121znnYX2222121znSnSYX) 2(1121221nntnnSYXw) 1, 1(1,) 1, 1(1212 /12221212 /2221nnFSSnnFSS.)