初中数学2007年11月教研综述

1、初中数学思想方法在教学中的传授天河区教育局教研室 刘永东一、问题的提出数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，它对于打好“双基”知识和加深对知识的理解、培养学生的思维有着独到的优势，掌握了数学思想方法，就能比较从容地驾驭数学知识，解决有关的生活问题。中学数学所蕴含的丰富内容深刻地反映了许多基本的数学思想方法，因而在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？第一，具体的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法

2、等；第二，科学的逻辑方法：如观察、归纳、类比、演绎、抽象、概括以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；第三，常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。新课标提到：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。” 标准中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。然而，我们有很多教师却往往在“双基”

3、知识上下了很多功夫，而忽视了对数学思想方法的及时渗透，甚至是放弃，造成了学生的思维能力的局限性，未能形成良好的思维品质与思维水平。这里的思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系。数学思想方法在教学中的传授显得尤其重要，需引起重视。二、数学思想方法在教学中的传授（一）数学思想与数学方法的辩证关系所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序，这些被重

4、复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的

5、地位。“思想方法”作为一个词语使用要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时“消元”的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于“消元法”；而当我们从“代入公式直接求解”的角度去分析此问题时，就出现了“代入法”。（二）教学中基本数学思想方法的传授教学中向学生传授基本数学思想方法在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。“介绍”就是把某些数学思想

6、在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。在教学中教师要做一个“渗透”的有心人，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节。以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，作为教学的一个需要完成的的目标，使之明朗化，这样才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。例如应用数形结合思想方法，强调通过图形找出直角三角形中边角之间的关系，从而解决类似求特殊角的三角函数值问题。无论是案例1 案例节选来自18中、47中、泰安中学、天河中学、东圃中学、天荣中学。还是案例2，

7、与教材（华师大版九年级第25章）的处理吻合，体现了数形结合的思想方法，从而得到特殊角的三角函数值，形成表格，让学生记忆并通过大量的运算练习熟记。似乎已经达到教学目标，然而在课堂实施中并未真正体现传授基本数学思想方法的“突出”程度，学生的思维能力并没有得到进一步的提升，而此处恰恰是应用数形结合思想方法的好材料。于是，我们是否可以这样做：得出特殊角的三角函数值后，不急于产生记忆，而是通过大量的基础训练乃至综合训练，如案例3，突出数形结合思想方法在此处的应用，从而达到灵活运用的程度，然后总结归纳才产生记忆，这种在产生大量的丰富的经验下形成的记忆最有效、最深刻。案例1：30、45、60的三角函数值列表

8、如下。在理解的基础上要熟记！sin cos tan cot 30451160巩固练习。（A）1. 求下列各式的值：（1）sin30°+cos30° (2)sin45°+cos45° (3)tan60°+cot60° (4)tan45°+cot30° (5)2cos60+2sin30+4tan45 （6）2cos 30°cot 60°2tan 45°（7）sin2 45°cos2 60° （8）sin30+sin245-tan260特殊角的三角函数在RtABC中，C9

9、0°，借助你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义，求出A的四个三角函数值，填在下表空白处：（1）A30°（2）A60°（3）A45°让我们熟记30°、45°、60°的三角函数值，帮助以后的解题。特别注意30°、60°角的函数值的区别。练习一 1、 计算：（1） sin30°cot45° （2） 2cos60°+2sin30°+4tan45°（3） cos30°tan30°+sin60°tan45°cot30

10、6;案例2：案例3：练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值）和斜边，求一直角边？(通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何思维，突出数形结合)练习二、思考探索：（1） 已知：如图，在RtABC中，C90°，BC=2,AC=2,你能求出ABC中其他的边和角吗？（2） 已知：如图，在RtDEF中，E90°,EF=5, F=60°, 你能求出DEF中其他的边和角吗？（3） 已知：在RtABC中，C90°，A=30°, B60°, 你能求出ABC中其他的边吗？ 若能求，则写出求解过程。 （探索中展现出更多问题，讲精，讲

11、透；从多方面，多角度去探索）又如案例4，用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。主要是培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力，运用数学思想方法去学习新的数学方法。这里有转化思想（转化有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系链”，这是提高数学解题能力的条件和基础。）即抛物线解析式中二次项系数不为1的一般式转化成系数为1的一般式，系数为1的一般式转化成顶点式。由于第1题先做铺垫，第1环节视学生情况无需讨论，甚至是教师直接告诉学生方法（一般情况下学生较难探索出来的数学方法均可以这样做）；而第2环节则必须让学生真正讨论，在讨论中感受学习数学

12、思想方法。教师介绍方法，对于学生而言，数学思想得到渗透。为此教师还要做一个“层次”的选择者。面对学生，应该根据数学知识的内容、学生的年龄特点分层次地选题合适的数学思想内容，进行渗透和教学。这就需要我们教师全面的熟悉教材，对教材中所反映的数学思想要有明确的认识，对教材内容从思想方法的角度作认真的分析，按照各个年级学生的年龄特征，知识掌握的程度，理解能力和可接受性由浅入深、由易到难分层次地贯彻数学思想的教学。案例4：教学环节教学过程设计意图环节二：新课学习1、把抛物线化为一般形式。解： = =2、小组讨论：（1）如果给出一个抛物线为，你能指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ （此处视学生情况决定

13、是否讨论）（2）思考：如果给出一个抛物线为或者，你能指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？1、此题是为学生进行下面的讨论所做的一个铺垫。2、通过讨论，让学生进行尝试，找出解决问题的办法，教师进行讲评时，对学生提出解决问题的不同方法，都给予积极的评价，以激发学生学习的上进心和自信心。讲评的同时要规范学生的书写格式。通过2个变式的思考问题，让学生了解二次项的系数不为1时如何处理。 再如案例5，画树状图方法学习概率的计算。学生在掌握了列表法或枚举法后，教师采取了“介绍”画树状图的办法，让学生体会到用树状图解决在复杂情况下列举所有机会均等的结果的一般步骤。而学生恰恰是在讨论中确实做到用列表法或枚举法

14、，甚至是不完整的树状图，这给了教师介绍方法的机会。然后在基础技能训练中强化数学方法的应用，并在最后设置灵活性较强的题目拓展学生思维能力。由此可见，教学中教师要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透，向学生传授基本数学思想方法时，在“程度”上的把握非常关键。案例5：教学环节教 学 过 程设计意图一复习回顾（一）复习回顾：1、小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，(1)牌上的数字为3的概率为 ；(2)牌上的数字为奇数的概率为 。红红黄绿2、如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由

15、停止其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位里，则(1)指针指向绿色的概率为 ；(2)指针不指向红色的概率为 。3、问题：“同时抛掷两枚面值为1元硬币”产生的所有所有机会均等的结果有_种，它们分别为_。复习上节课的内容，明确求一个事件发生的概率的一般步骤：先正确找到事件发生的所有机会均等的结果的个数；然后明确我们关注的结果的个数；最后才能正确计算事件发生的概率。在问题3中，学生可能会误认为结果只有3种情形，此时，我们可以利用列表分析清这种想法的错误原因。让学生进一步明确何为“所有机会均等的结果”。二新课学习1、小组讨论：晓明和晓红两人正在玩同时抛三枚硬币的游戏，游戏规则规定如下：如果掷出两个正面一

16、个反面，则晓明胜；如果掷出三个都是反面，则晓红胜。你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。在本环节的讨论中，学生可能出现考虑问题不全面的情况，我们可以借此介绍用树状图求得各种等可能结果的方法，让学生体会的关键和一般步骤“正确鉴别在一次试验中究竟包含着几步，每步又有几种等可能。三课堂训练C组：某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。用树状图或列表法分析说明：（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一个人在B餐厅用餐的概率。C组题的灵活性较大，学生很可能对于如何构件合适于这个问题的树状图存在较大的争论。我们可以根据学生的情

17、况对此题进行分析点评。五课堂反思本课预计学生在“小组讨论”部分学生会出现学生可能出现考虑问题不全面的情况，但在课堂中，我们恰恰可以以此为契机，给学生介绍用树状图求得各种等可能结果的方法，让学生体会到树状图分析问题的优越性。学生在完成A、B组题时，应该问题不是很大，但是在C组题，学生对于是餐厅A、B在树状图中还是甲、乙、丙在图中会比较混乱，C组题可以让学生继续探讨和点评。（三）、数形结合与化归两种基本数学思想相结合的传授“化归”是转化和归结的简称。我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想, 实质上就是一种转化的思想，它是分析问题解决问题的有效途径，是数

18、学发现的重要策略和方法。有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数学习中，方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想，其主要途径是降次和消元。在图形的变换学习中，均转化为最基本的点的变换知识来研究等。一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记

19、和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。由此可见，以上两种基本数学思想经常在数学解题中相结合使用，教师不容忽视。在二次函数和图形的变换教学中，更应该达到“突出”的程度，这种意识要存于心中。例如，抛物线和的图像和性质的学习就是最典型的课例。不管是整合在一起的学习，还是分开的学习，都离不开图象的画法，因为离开了“形”就无法顺利学习。因此学生的动手操作是非常必要的，不能因为麻烦而简略，例如案例6（

20、两种图象整合）和案例7（注：两种图象分开教学。此案例在真正教学中出现没有让学生画图象，直接给出，对于层次高的学生好象是没有影响，但对大多数学生来讲确实急需引起注意，方法需要经验的支撑。另外在列表时说选取的点值得商榷）。而在抛物线性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、平移等）的获得上面，较多教师采取了探索讨论猜想的办法，向学生渗透数形结合思想，达到了突出的程度。然而，很多教师却忽略了化归思想在此的渗透。虽然借助了课件的动态效应，也总结了图象平移的规律（h正右移，h负左移；k正上移，k负下移），似乎学生掌握的情况也很好，达到了教学目标。殊不知时间一久情况又会如何呢？教师都需要琢磨一下才不会错，更何况是

21、普通学生。再说顶点式的两种表示或，就注定左右平移的易错性。小学生学习乘法口诀时，需要分几个课时学习19的口诀才能形成，而且是渗透运用相同的原理（乘法转化为加法）来多次学习。在此不是否定口诀的形成作用，而是要教师注意体现学生思维的特征，体现数学思想的作用。其实，图形的平移最终可以化归为点的平移，而抛物线的顶点就是最特殊的点，一切问题均可围绕此点做文章。首先让学生充分作图，描出顶点并写出坐标。（教师做一个“参与”的引导者，数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，学生的参与度非常重要，没有了体验就没有数学思想。让学生根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。）学生通过观

22、察讨论，顶点坐标与抛物线中的h与k的关系，从而得出抛物线这种形式的顶点坐标，顺利的得出对称轴，至于开口方向一带而过，不成问题。其次是根据顶点的平移特征来解决整条抛物线的平移特征。让学生牢牢抓住这种化归思想，结合抛物线的图象，来确定平移的方向与距离，使得问题就在这种最原始的、最为有效的通性通法中解决。而学生在以后的技能训练中自然会形成规律，这时再帮助学生形成口诀。在图形的变换与坐标教学中，也是体现两种数学思想相结合的好材料，例如案例8。因此教师还需做一个“过程”的加强者。数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象

23、，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。在过程中，需要我们教师做一个“过程”的加强者，不断的用我们的数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。案例6： 二次函数课前预习第一组：请在同一个直角坐标系内作出下列二次函数的图象。 (1) y=x2(2)y=x22 （3）y= x2+1 解：列表（略）描点、连线得填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2y=x22y= x2+1第二组：请在同一个直角坐标系内作出下列二次函数的图象。（1） （2）、（3）（4） 解：列表得x 描点、连线得填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标二、观

24、察函数 、的图象，完成下列的练习：1、讨论：（1）、函数 、的图象的形状是否一样？（2）、抛物线能否看成是由抛物线经过平移得到的？ （3）、如果能，那么抛物线经过怎样的平移得到抛物线 2、猜想：（1）函数的顶点坐标是 ，对称轴是 （2）抛物线能否看成是由抛物线经过平移得到的？ （3）、如果能，那么抛物线经过怎样的平移得到抛物线（4）函数的开口方向是 顶点坐标是 ，对称轴是 案例7： 例在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 ，并填空。x-3-2-10123202028820探索1抛物线是由抛物线向 平移 个单位 得到的，抛物线是由抛物线向 平移 个单位 得到的. 2抛物线的顶点坐标是 ，对称轴

25、是 。 抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 。归纳 h>0时，抛物线是由向 平移 个单位得到的。h0时，抛物线是由向 平移 个单位得到的。（a、h是常数，a0）开口方向顶点坐标对称轴案例8：教学目标：1、在同一坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标相应发生变化；体会数形结合、化归的数学思想；2、探索图形在平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换过程中，点的坐标的变化规律。一、复习、练习：1、已知：ABC，AB=AC=5，BC=6，建立平面直角坐标系，写出各顶点的坐标.（设计意图：通过练习，让学生得到进一步的复习，懂得：建立平面直角坐标系要确定原点和其中一坐标轴，然后再根据有关的几何知识，正确的写出所求点的坐标；本题体现数形结合思想 ）二、探究新知：在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？思考一：点在直角坐标平面内移动，你能找出它的坐标变化的规律吗？例（略）思考二：线段在直角坐标平面内移动，请你找出它的坐标变化的规律。例（略）思考三：ABC中，AB