大学物理学_第06章_静电场

1、第六章静 电 场主要内容主要内容1.1.库仑定律库仑定律 静电场力叠加原理静电场力叠加原理2.2.电场强度电场强度3 3. .电通量电通量 高斯定理高斯定理4 4. .环路定理环路定理 电势电势5.5.静电场中的静电场中的导体导体相对于观察者静止的电荷所激发的电场相对于观察者静止的电荷所激发的电场- -静电场静电场学习要求：学习要求： 两个物理量：电场强度两个物理量：电场强度、电势及其计算；两者关系；、电势及其计算；两者关系；两个定理：高斯定理、环路定理两个定理：高斯定理、环路定理导体的导体的静电特性静电特性两种电荷两种电荷 正电荷和负电荷正电荷和负电荷电性力电性力 同号相斥、异号相吸同号相斥

2、、异号相吸2.2.电荷量子化电荷量子化 e e为电子电量为电子电量 , 3, 2, 1nneq1.1.电荷电荷 宏观带电体的带电量宏观带电体的带电量qe，准连续，准连续库仑定律库仑定律 静电力叠加原理静电力叠加原理 电荷电荷电荷量电荷量 物体带电的多少物体带电的多少( ,)q Q夸克模型理论预言夸克模型理论预言, ,夸克带有夸克带有 或或 的电量的电量, ,以四味以四味夸克为例夸克为例13e23e3 3、电荷守恒定律、电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电量代数和在在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电量代数和在任何物理过程中保持不变。任何物理过程中保持不变。

3、 夸克夸克带电带电量量U quark (上)2/3 |e|D quark(下)-1/3 |e|S quark(奇)-1/3 |e|C quark(粲)2/3 |e|4 4、电荷相对论不变性、电荷相对论不变性 系统所带电荷量与参考系的选择无关系统所带电荷量与参考系的选择无关. .+ +电量为电量为Q Qx电量为电量为Q Qx1 1 点电荷点电荷Q Qd dr r观察点观察点P P点电荷-理想化的物理模型理想化的物理模型2 2 库仑定律库仑定律 在真空中，两个静止点电荷之间相互作用在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力与这两个点电荷的电荷量力与这两个点电荷的电荷量 和和 的乘积成正比，与这两的乘积

4、成正比，与这两个点电荷之间的距离个点电荷之间的距离 （或（或 ）的平方成反比，作用力）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。1q2q12r21r6.1.2 库仑定律库仑定律可以简化为点电荷的条件可以简化为点电荷的条件: :dr1212,12212rq qFker1212,12212rq qFker 电荷电荷q q1 1 作用于电荷作用于电荷q q2 2 的力。的力。 12F12r q q1 1 指向指向q q2 2 的矢量的矢量,1212rer的单位矢量的单位矢量说明说明(1)(1)q q2 2对对q q1 1的

5、作用力的作用力1221,2112221rq qFkeFr 两个静止点电荷之间的相互作用力符合牛顿第三定律两个静止点电荷之间的相互作用力符合牛顿第三定律. .(2)(2)q q1 1和和q q2 2同性，同性， 和和 同向，为斥力同向，为斥力 12F,12re q q1 1和和q q2 2异性，异性，, , 和和 反向，为引力反向，为引力 12F,12re12r1q2q,12re12F（3 3）单位制有理化单位制有理化距离平方反比关系的实验验证距离平方反比关系的实验验证电摆实验装置扭秤卡文迪许同心球实验草图014k1212,12201214rq qFer 真空介电常量真空介电常量或或真空电容率真

6、空电容率122208.85 10C / N m0, 0310014nir iiiq qFer 两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而有所改变两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而有所改变q q0 0F F 两个以上的点电荷对一个点电荷作用力等于各个点电荷单独存两个以上的点电荷对一个点电荷作用力等于各个点电荷单独存在时对该点荷的作用力的矢量和在时对该点荷的作用力的矢量和. .q q1 1F F1 110rq q2 2F F2 220r6.1.3 静电力叠加原理静电力叠加原理 例例 在直角坐标系的原点在直角坐标系的原点(0,0)(0,0)、x轴上的（轴上的（0.52,0)0.52,

7、0)点和点和y轴上的轴上的（0,0.3)0,0.3)点处（单位为点处（单位为m) )分别放置分别放置q q1 1=50=50 C C，q q2 2=-86=-86 C, C, q q3 3=65=65 C C。各电荷间的距离如图所示。求作用在。各电荷间的距离如图所示。求作用在q q3 3上合力的大小上合力的大小和方向。和方向。解解2220.30.520.65591325.0 106.5 109.0 10N0.3325NF13Fy3q0.3moj1q0.6mi3F23F2q0.52m13325 NFj5592328.6 106.5 109.0 10N0.6140NF电场电场2323232323c

8、ossinxyFFiFjFiFj12170Nij3132313231323xxyyFFFFFiFFj(121255 )ij N223282.3NxyFFF与与x x轴夹角轴夹角64.6o23140NF255tan121yxFFy13F3q0.3moj1q0.6mi3F23F2q0.52m030电荷之间的相电荷之间的相互作用方式的互作用方式的两种观点两种观点电场电场电荷1电荷2超距作用超距作用作用作用作用作用电荷1电荷2电场电场1 1产生产生作用作用电场电场2 2作用作用产生产生无须物质传递，作用速度无穷大，瞬间即达无须物质传递，作用速度无穷大，瞬间即达 必须由物质必须由物质( (电场电场) )

9、传递，以有限速度传递。传递，以有限速度传递。电场强电场强度度 电场电场场是物质存在的形式场是物质存在的形式有质量、能量、动量有质量、能量、动量1 1 试验电荷试验电荷q q0 0 q q0 0足够小，对待测电场影响小足够小，对待测电场影响小2 2 电场强度电场强度0FEqAFq q0 0q q0 0BFAB电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。点电荷点电荷( (尺寸小尺寸小) )在不同点在不同点, ,q q0 0受力的大小和方向一般不同受力的大小和方向一般不同电场强度电场强度某一定点则有某一定点则有0/F q

10、为常矢量为常矢量6.2.2 电场强度电场强度(1)(1)电场强度是电场的属性电场强度是电场的属性, ,与试探电荷无关与试探电荷无关. . (2)(2)当当 , ,与与 同向同向00q F当当 , ,与与 反向反向00q FFqE(3)(3)可由可由 求力求力6.2.3 电场强度的计算电场强度的计算说明说明1.1.点电荷的电场强度点电荷的电场强度3.3.连续分布电荷的电场强度连续分布电荷的电场强度 2. 2.电场强度叠加原理和点电荷系的场强电场强度叠加原理和点电荷系的场强 20140rq qFerE0qF2014rqerEF0q1.1.点电荷的电场强度点电荷的电场强度(1)(1)讨论讨论场点场点

11、源点源点rq qre)(0 qPre Er0,q 与与 方向一致方向一致 ( )rr e re)(0 qPEr0,q 与与 方向相反方向相反 ( )rr e (2)(2),0rE ，点电荷模型不成立。，点电荷模型不成立。0,rE q qi iq q2 2q q0 0q q1 11F2FiF1niiEE 2. 2.电场强度叠加原理和点电荷系的场强电场强度叠加原理和点电荷系的场强 0qFE021qFFFnnEEE21nFFFF21niiF1 点电荷系在空间任一点的总电场强度等于各个点电荷单独点电荷系在空间任一点的总电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点激发的电场强度的矢量和存在时在该点激发的电场强

12、度的矢量和场强叠加原理 点电荷系的电场强度点电荷系的电场强度21014niriiiqEerq q2 2- -2r2EE场点场点q q1 1+ +1E1r3.3.电荷连续分布的带电体的电场场强电荷连续分布的带电体的电场场强将其分割成点电荷系，任一电荷元将其分割成点电荷系，任一电荷元20dd4rqEer积分：积分： 20d4rQqEerdEVPdqre步骤步骤(1)取电荷元取电荷元带电体带电体带电面带电面带电线带电线ddqlddqSddqV(2)求求 ，取坐标系，投影；如是直角坐标系，即写出，取坐标系，投影；如是直角坐标系，即写出dEd,d,dxyzEEE。对称性分析对称性分析, ,以简化计算以简

13、化计算; ;定积分限的决定定积分限的决定. .(3)积分积分基本要点：先分解，后积分基本要点：先分解，后积分例例 电偶极子，指一对等量、异号的点电荷，其间距远小于它指一对等量、异号的点电荷，其间距远小于它们到考察点的距离的点电荷系统。们到考察点的距离的点电荷系统。 Pql方向从负电荷指向正电荷方向从负电荷指向正电荷 电偶极矩 qqpql求求(1(1）电偶极子轴线延长线上）电偶极子轴线延长线上A A点的场强点的场强; ; (2(2）电偶极子中垂线上）电偶极子中垂线上B B点的场强点的场强; ; (3)(3)电偶极子在均匀外电场中受的力和力矩电偶极子在均匀外电场中受的力和力矩. . 204()2q

14、Elr -204()2qElr2201()422AqqEll(r -)(r)422024(1) (1)22qrlll r-rrlr 3024ApEr3024ApEr考虑方向：考虑方向：qqxA0r2l2l取如图坐标系取如图坐标系E(1)(1)电偶极子轴线延长线上电偶极子轴线延长线上A点的场强点的场强 EE（2 2）电偶极子中垂线上）电偶极子中垂线上B B点的场强点的场强 如图选取坐标系如图选取坐标系204-qEE r2cosEE221222022224 ()()22lqll rr忽略，忽略，B B点场强与点场强与P P反方向反方向 4l2304BpEr E+E-E- -q q+ +q q+ +

15、- -lrB By yx x0 0rr(3)(3)电偶极子在均匀外电场中受的力和力矩：电偶极子在均匀外电场中受的力和力矩： 合力合力EPMFFd力矩的大小为力矩的大小为sinsinMqE lpE 电偶极子处在外电场中时，其所受力矩总是使得电偶极电偶极子处在外电场中时，其所受力矩总是使得电偶极子转向与外电场方向一致。子转向与外电场方向一致。pE0FFF垂直于垂直于P P、E E组成的平面且满足右螺旋法则。组成的平面且满足右螺旋法则。M201dd4xEr解：解：取直角坐标取直角坐标oxy如图如图20dddcoscos4xxEEr20ddd sinsin4yxEEr222sindrtan()cot2

16、xdd 例例 求真空中长为求真空中长为L、均匀带电，线电荷密度为、均匀带电，线电荷密度为 的直线的场强。的直线的场强。场点与直线的垂直距离为场点与直线的垂直距离为d、场点与直线两端连线和直线的夹角、场点与直线两端连线和直线的夹角分别为分别为 1 1和和 2 2。 ddqx2ddsinxd均匀带电直线的场强均匀带电直线的场强xyOdxEdyE 2L Ld12PdEdxxrE20ddcos4xxEr0dsind4yEd 210cos d4xEd 0cosd4d 210sinsin4d2yEE jjd0 xE 即无限长均匀带电直线的场强，具有轴对称性。即无限长均匀带电直线的场强，具有轴对称性。120

17、,l 若若注意注意211200sin d(coscos)44yEdd R R0 0 x例例 带电量为带电量为q q、半径为、半径为R R的均匀带电圆环轴线上一点的场强的均匀带电圆环轴线上一点的场强 P PxrdE20dd4qEr由于对称性，全部元电荷的由于对称性，全部元电荷的 被抵消被抵消dE带电圆环轴线上的场强带电圆环轴线上的场强dddqqll2 R解解 取如图坐标系取如图坐标系 线元线元dld E将将 分解成分解成 和和dEdE/dEEd的方向如图的方向如图dE所以，由对称性所以，由对称性当当d dq q 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢

18、量构成了一个圆锥面。Ed0zyEE. .qdRzxyEdxdcosxEEE20cosd4qr20cos4qr304qxr223/204()qxRxxxpRrqdEd32224()qxEixRE20dd4qEr20cosd4qr问题问题6 66 6 求面电荷密度为求面电荷密度为 的，半径为的，半径为R R的薄带电圆盘中心的薄带电圆盘中心轴线轴线x x处一点的电场强度。处一点的电场强度。圆盘可分割成许多带电细圆环圆盘可分割成许多带电细圆环dd2 dqsr r3 202202 d4Rxr rErx223 20220d22Rrxxrx22012xRx均匀带电圆盘轴线上的场强均匀带电圆盘轴线上的场强 由

19、例细圆环结果由例细圆环结果223 / 204()xqERx223 / 20dd4()px qErx R R+ +drr R R+ +解解 建立坐标系建立坐标系O Ox xxpyz无限大均匀带电平面的场强，匀强电场无限大均匀带电平面的场强，匀强电场2/1220)(12xRxE02E2204REx204qx可视为点电荷的电场可视为点电荷的电场212222)1 (xRxRx 2)(211xR（1 1） 当当Rx（2 2） 当当Rx讨论讨论20dd4RER由对称性由对称性d0 xE 00cos4 R02R 02EiR00ddsin4yEER 例例. .求均匀带电半圆环圆心处的求均匀带电半圆环圆心处的

20、，已知，已知 。ER、。xydEodRdl解解 建立如图坐标系建立如图坐标系dddqlR20ddd sinsin4yREER Exy课堂练习课堂练习. .求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知 , , ,R,R由对称性由对称性 20dd4RERd0 xE 202ddcos4yEER 2002sinsin422RR 0sin22EjR dlddEEO R解解 建立如图坐标系建立如图坐标系dddqlR (1) (1) 切线方向切线方向表示电场方向表示电场方向电场线电场线 (2) (2) 在电场中任一点处，通过垂直于电场强度在电场中任一点处，通过垂直于电场强度 单位

21、面积的单位面积的电场线数等于电场线数等于该点的电场强该点的电场强度的数值。度的数值。 Ed/dEESQ0qQERREPpE1EA2EB1 1 电场线（电场线（E E线）线）高斯定理高斯定理 电场线电场线点电荷的电场线点电荷的电场线正电荷正电荷负电荷负电荷+ +电场线电场线一对等量异号电荷的电场线一对等量异号电荷的电场线+ +电场线电场线电场线电场线一对等量异号电荷的电场线一对等量异号电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线+电场线电场线一对异号不等量点电荷的电场线一对异号不等量点电荷的电场线2q+ +q电场线电场线带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电

22、场线+ + + + + + + + + +带电直线的电场线带电直线的电场线电场线电场线2 2 静电场电力线的特点静电场电力线的特点 （1 1）起自正电荷（或）起自正电荷（或 处）、终止于负电荷（或处）、终止于负电荷（或 处），不形处），不形成闭合回线、也不中断成闭合回线、也不中断 。 （2 2）在没有电荷的空间，任意两条电力线不相交。）在没有电荷的空间，任意两条电力线不相交。（ 是唯一的）。是唯一的）。E电场线的性质电场线的性质 通过电场中某一个面通过电场中某一个面S S的电场线条数，称为通过该面的的电场线条数，称为通过该面的电场强度通量。电场强度通量。符号符号 E1.1.面积元矢量面积元矢量

23、 nddSSene 为面积元矢量的大小，为面积元矢量的大小， 表示面积元矢量单位法向矢量。表示面积元矢量单位法向矢量。dS6.3.2 电通量电通量EESSES S与电场强度方向垂直与电场强度方向垂直 Sne EncosEESE e SE SS S 法线方向与电场强度方向成法线方向与电场强度方向成 角角电通量的计算电通量的计算2.2. 电通量的计算电通量的计算(1)(1)匀强电场的电通量匀强电场的电通量0/2,0;E/2,0;E/2,0;ESE电通量的计算电通量的计算（2 2）非匀强电场的电通量）非匀强电场的电通量dEd cosE SSEdSdEEd cosdSSE SES(3)(3)通过闭合曲

24、面的电通量通过闭合曲面的电通量nEneSnenenenecos ddESSESESdSneE 不闭合曲面：不闭合曲面： 闭合曲面：闭合曲面： 面元的法向单位矢量可有两种面元的法向单位矢量可有两种相反取向。相反取向。 规定自内向外的方向为面规定自内向外的方向为面积元法线的正方向。积元法线的正方向。 电场线穿出，电通量为正，反电场线穿出，电通量为正，反之则为负。之则为负。nene 电通量的计算电通量的计算 与曲面相切或未穿过曲面的与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。电力线，对通量无贡献。nene1111:cosSESES 222:cos/20SES333:cos/20SES444:cos

25、/20SES5551:cosSESES因而通过此三棱柱的电通量因而通过此三棱柱的电通量12345110EESES 解解 三棱柱的闭合曲面有五个面组成，三棱柱的闭合曲面有五个面组成，通过各个面的电通量为通过各个面的电通量为xyzabcdfEeabcdaS :12:,Sabea5:S befcb34:,:,Sdcfd Sadfea问题问题6-76-7高斯定理高斯定理高斯 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量, ,等于该等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以闭合曲面所包围的电荷的代数和除以 0 0 。6.3.3 高斯定理高斯定理01dEiiSESq

26、 高斯定理高斯定理1.1.高斯定理的简单证明高斯定理的简单证明通过以点电荷通过以点电荷q q为中心，半径为为中心，半径为r的球面的电通量的球面的电通量r+ +q qEdSdd cos0ESSESE S20d4SqSr220044qqrr 以点电荷以点电荷q q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。面的电通量都相等。20dS4Sqr(1)(1) 点电荷的电场点电荷的电场如图如图, ,因为只有与因为只有与S S 相切的锥体内的电力线才通过相切的锥体内的电力线才通过S S，但每一，但每一条电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消。条电力

27、线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消。任意形状的闭合曲面任意形状的闭合曲面S S包围点电荷包围点电荷 在该曲面外作一个以点电荷在该曲面外作一个以点电荷q q为中心的球面为中心的球面S S 0dESqES曲面曲面S S不包围不包围q q由于电力线的连续性、同前例由于电力线的连续性、同前例neEdSSSqEnened0ESES高斯定理高斯定理(2)(2)任意带电体系的电场任意带电体系的电场nii=1EE通过任意闭合曲面通过任意闭合曲面S S的电通量为的电通量为dESESq qi i位于闭合曲面位于闭合曲面S S内时内时 0diiSqESq qi i位于闭合曲面位于闭合曲面S S外时外时 任意带电系

28、统的电场可看成是点电荷电场的叠加任意带电系统的电场可看成是点电荷电场的叠加ni=1diSES1dniiSESd0iSES01ddVSVE S01diiSESq点电荷系点电荷系连续分布带电体连续分布带电体2.2.关于高斯定理的两点讨论关于高斯定理的两点讨论 ( (1)1) 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷（面内外电是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷（面内外电荷）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。荷）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。E因为曲面外的电荷（如因为曲面外的电荷（如 ）对闭合曲）对闭合曲面提供的通量有正有负，导致面提供的通量有正有负，导致

29、 对整对整个闭合曲面贡献的通量为个闭合曲面贡献的通量为0 0。4q4q1q2q3q4q静电场是静电场是有源场01deiiSESq 表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。所以负电荷是静电场的尾。00iEiq 表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面面, ,所以正电荷是静电场的源头。所以正电荷是静电场的源头。(2)00iEiq(1)(1)对称性分析，确定对称性分析，确定E的大小及方向分布特征的大小及方向分布特征 (3)(3)利用高斯定理求解利用高斯定理求解. .3.3.应用高斯定理求静电场的分布应用高斯

30、定理求静电场的分布条件：条件： 电荷分布具有特殊的空间对称性电荷分布具有特殊的空间对称性(1) (1) 球对称性球对称性 如点电荷如点电荷 、均匀带电球面或球体、均匀带电球面或球体 (3) (3) 面对称性面对称性 均匀带电无限大平面或平板。均匀带电无限大平面或平板。 (2) (2) 轴对称性轴对称性 如无限长均匀带电直线、圆柱面、圆柱体如无限长均匀带电直线、圆柱面、圆柱体步骤：步骤：(2)(2)作高斯面，计算作高斯面，计算 及及iiqE选择合适的高斯面是关键。选择合适的高斯面是关键。 每一对电荷元在每一对电荷元在p p点处激发的垂直点处激发的垂直opop的场强分量，因方向相的场强分量，因方向

31、相反而抵消，所以反而抵消，所以p p点的总场强一定沿点的总场强一定沿opop连线（即径向），并且在连线（即径向），并且在任何与带电球同心的球面上各点场强大小相等。任何与带电球同心的球面上各点场强大小相等。 例例 均匀带电球面的电场，球面半径为均匀带电球面的电场，球面半径为R R, ,带电为带电为q q。对称性分析对称性分析解解选取高斯面选取高斯面作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面. .2d4SESEr0iiq204riiqER d dq q P P / /d dq q O O dErr r R R时，高斯面内无电荷时，高斯面内无电荷0Er r R R时，高斯面包围电荷时，高斯面

32、包围电荷q q204qEr+ +R R+ + + + + + + + + + + + + + + +r rq q 均匀带电球面外的场强分布正像均匀带电球面外的场强分布正像球面上的电荷都集中在球心时所形成球面上的电荷都集中在球心时所形成的一个点电荷的场强分布一样的一个点电荷的场强分布一样204rqEer204riiqE0iiq iiqq+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qR 问题问题6-76-7例例 均匀带电球体内、外的场强分布均匀带电球体内、外的场强分布, ,电荷为电荷为q q球内的场分布球内的场分布2dd4SSE SESEr343iiqr013Er3300

33、4343rqqrRR304rqrEeR 高斯定理的应用高斯定理的应用 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场322000413344rqErrrq 是半径为是半径为r r的球内的电荷，由此可知，对于距球心为的球内的电荷，由此可知，对于距球心为r(rR)r(rR)的点，其场强等同于将半径为的点，其场强等同于将半径为r r的球体内的电荷全部集中球心时的球体内的电荷全部集中球心时点电荷的场强，与球体外的电荷无关点电荷的场强，与球体外的电荷无关。解解204riiqE讨论讨论对称性分析对称性分析作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯面. .球外场分布球外场分布 204qEriiqq 球体外一点的

34、电场强度，等同于将全部电荷集中于球心时的球体外一点的电场强度，等同于将全部电荷集中于球心时的点电荷的场强点电荷的场强. .204rqEer 高斯定理的应用高斯定理的应用 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场304rqrerRR204rqerRrE 204riiqE204qR2014qRR R2rRE Er r0 0 均匀带电球面的均匀带电球面的E Er r曲线曲线Eor 均匀带电球体的均匀带电球体的E Er r曲线曲线RR2rr解解 对称性分析对称性分析例例 均匀无限长带电圆柱面的电场。均匀无限长带电圆柱面的电场。 设沿轴线方向单位长度带设沿轴线方向单位长度带电量为电量为 Erl0iiq 0E

35、 SSSdd +d +dSESESESES侧面上底下底r Riiql02Erl lr rE 可见，无限长均匀带电圆柱面外可见，无限长均匀带电圆柱面外各点的电场，等同于将全部电荷集中各点的电场，等同于将全部电荷集中在轴线上的无限长直带电线的电场。在轴线上的无限长直带电线的电场。 02rEerp例例 无限大均匀带电平面的电场（设其电荷面密度为无限大均匀带电平面的电场（设其电荷面密度为)。解解 对称性分析对称性分析设设P P为平面外之一点，过为平面外之一点，过P P点作一与无限点作一与无限大平面垂直且对称大平面垂直且对称( (带电平面平分此柱面）带电平面平分此柱面）的柱形高斯面的柱形高斯面. .ES

36、EpSSSdd +d +dSESESESES侧面左底右底SSd +d2ESESES左底右底0/2SES 02EiiqS方向垂直于平面，带正电时向外、带负电时指向平面。方向垂直于平面，带正电时向外、带负电时指向平面。EP* * 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布以向右为正向以向右为正向E00022EEEE00022EEE00022EEE问题问题68电场集中于两板之间。电场集中于两板之间。解解 挖去电荷体密度为挖去电荷体密度为 的小球的小球, ,以形成球腔，相当于不挖、而放以形成球腔，相当于不挖、而放上电荷体密度为上电荷体密度为- -

37、的同样大小的同样大小的球体，而各点的场强为两个带的球体，而各点的场强为两个带电球体所产生的场强的叠加。电球体所产生的场强的叠加。12EEEdE013例例 一球体内均匀分布着电荷体密度为一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为分布不变，在该球体内挖去半径为 的一个小球体，球心为的一个小球体，球心为 ，两球心间距离两球心间距离 ，如图所示求，如图所示求( (）在球形空腔内，球心）在球形空腔内，球心 处的电场强度处的电场强度 ；（）在球体内；（）在球体内 点处的电场强度点处的电场强度 。设。设 三点在同一直径上三点在同一直径上, ,且且

38、。P0EOOd OOOP、rOPdEO设大球产生设大球产生 ，小球产生，小球产生 1E2E（1 1）以）以O O点为球心，点为球心， 为半径作球面为高斯面为半径作球面为高斯面S SOOd O O/ P d d Sr1EdE013O OO O/ /P Pd dd d r rr r2204 2qEd334322001612rrdd 3200312PrEdd01203EEEd方向为方向为OO 点为小球体的球心，点为小球体的球心， O20E （2 2）分别以）分别以 为球心，过为球心，过P P点作球面为高斯面点作球面为高斯面, ,求得求得 OO、方向为方向为OP试验电荷试验电荷q q0 0从从a a点

39、经任意路径到达点经任意路径到达b b点。点。d cos0q E ld0q E rdWW020011d()44barorabqqqqrrrr6.4.1 6.4.1 静电场力的保守性静电场力的保守性 rbabraq q0 00qdrddWF l d0q El(d cosd )lr 试验电荷试验电荷q q0 0在静止点电荷在静止点电荷q q的静电场中移动时，电场力对的静电场中移动时，电场力对q q0 0做做的功仅与试验电荷的功仅与试验电荷q q0 0的电量及路径的起点和终点位置有关，而与的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。具体路径无关。1.1.静电场力的功静电场力的功电势电势6.4E

40、ldrdrl任意带电体系的电场中任意带电体系的电场中 将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性nEEEE210dbaWqEl01020dddbbbnaaaqElqElqEl12nWWW 每一项仅与试验电荷每一项仅与试验电荷q q0 0的电量及路径的起点和终点位置有关，的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。而与具体路径无关。 试验电荷试验电荷q q0 0在任意给定的静电场中移动时，电场力对在任意给定的静电场中移动时，电场力对q q0 0做的功做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径仅与试验电荷的电量及路径的起点

41、和终点位置有关，而与具体路径无关无关。 静电场是静电场是保守场，静电场力是，静电场力是保守力。电场力对试验电荷电场力对试验电荷q q0 0做功为做功为在闭合路径在闭合路径L L上任取两点上任取两点P P1 1、P P2 2，将，将L L分成分成L L1 1、L L2 2两段，两段，P P2 2P P1 1L L2 2L L1 1电场力做功与路径无关电场力做功与路径无关0d0LWqEl即即 0dlELdLWFllEqLd0lEqppd210( (L L1 1) )( (L L2 2) )lEqppd120210dppqEl( (L L1 1) )( (L L2 2) )210dppqEl2.2.

42、静电场的环路定理静电场的环路定理试验电荷试验电荷q q0 0在静电场中沿任意闭合路径在静电场中沿任意闭合路径L L运动一周运动一周. . 在静电场中，场强在静电场中，场强 沿任意闭合路径的线积分（称为场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强 的环流）为零。的环流）为零。静电场的环路定理EE静电力的功，等于静电势能的减少。静电力的功，等于静电势能的减少。选定静电势能的零点选定静电势能的零点0dbababaEEWqEl0daaEqEl零势能点1 1 电势能电势能6.4.2 6.4.2 电势电势 由环路定理知，静电场是保守场由环路定理知，静电场是保守场( (无旋场无旋场) )。由高斯定理知，。由高斯定理

43、知，静电场是静电场是有源场。 当电荷分布于有限区域当电荷分布于有限区域, ,取无穷远处为零势能点取无穷远处为零势能点0daaaEWqEl q q0 0在某一点的静电势能在某一点的静电势能 在数值上等于在数值上等于q q0 0从从a移到无限远移到无限远处电场力所做的功处电场力所做的功 。aEaW当电荷分布于有限区域当电荷分布于有限区域 2 2 电势电势3 3 电势差（电压）电势差（电压）0aaEVqababUVVdaEl静电场中某点的电势静电场中某点的电势 在数值上等于单位正电荷放在该点处的在数值上等于单位正电荷放在该点处的电势能，或等于单位正电荷从该点经过任意路径移动到无限远电势能，或等于单位

44、正电荷从该点经过任意路径移动到无限远时电场力所做的功。时电场力所做的功。aVq q0 0在某一点的静电势能在某一点的静电势能0aaEq VdddbabaElElEl静电场中任意两点静电场中任意两点a a、b b的电势差的电势差 在数值上等于把单位正电在数值上等于把单位正电荷从荷从a a点经过任意路径移动到点经过任意路径移动到b b点时，电场力所做的功。点时，电场力所做的功。abU将电荷将电荷q q0 0从从a ab b电场力的功电场力的功00()abababWq VVq U讨论讨论(2)(2)两点间的电势差与电势零点选择无关。两点间的电势差与电势零点选择无关。(1)(1)电势零点的选择与电势能

45、和电势的计算电势零点的选择与电势能和电势的计算 电荷分布在有限区域，取无穷远处为电势零点电荷分布在有限区域，取无穷远处为电势零点 电荷分布在无限区域（如无限大带电平面、无限长直线和电荷分布在无限区域（如无限大带电平面、无限长直线和圆柱等）取有限远处为电势零点，此时圆柱等）取有限远处为电势零点，此时从理论上讲电势零点的选取是任意的。从理论上讲电势零点的选取是任意的。0daaEqEl零势能点daaVEl零电势点 (3) (3)在涉及静电场的问题中，动能定理、功能原理、能量在涉及静电场的问题中，动能定理、功能原理、能量守恒定律的应用。守恒定律的应用。1.1.点电荷的电势点电荷的电势2. 2. 点电荷

46、系的电势点电荷系的电势2014rqEerdarVEl=1014niaiiqVr20011d44rqqrrr6.4.3 6.4.3 电势的计算电势的计算 12d() danaaVElEEEl12=101ddd4ninaaaiiqElElElr点电荷系的电场中某点的电势等于各个点点电荷系的电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点所激发的电势的代电荷单独存在时在该点所激发的电势的代数和数和 静电场的电势叠加原理qarre3.3.连续分布带电体的电势连续分布带电体的电势01d4aqVrdVadqr (1)(1) 按定义计算按定义计算 (2) (2) 电势叠加原理电势叠加原理 daaVEl电势计算

47、的两种方法：电势计算的两种方法：1104nniaiiiiqVVr0dd4aqVVrxO R例例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R R、q ql dr ax解解 方法一方法一 叠加原理叠加原理0dd4aqVr000d1dd444aqqVVqrrr2204qRx方法二方法二 定义法定义法由例由例6 63 3结果结果322204()qxExRdaaVEl2204qRx32220dd4()xxqx xE xxR问题问题6-13 6-13 半径为半径为R R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解解 以以O O为圆心，取半径为为

48、圆心，取半径为L LL L+d+dL L的薄圆环，带电的薄圆环，带电d dq q= = d dS S= = 2 2 L Ld dL L到到P P点距离点距离a点电势点电势22Lxr22001d24RL LxL由上例结果由上例结果220dd4qVLx220d4aqVLxa axR RO OL Ld dL Lr2202Rxx解解 例例 求均匀带电球面的电势分布。求均匀带电球面的电势分布。E Rr 0214roqerRr当当r r R R 时时球面内空间是等势的球面内空间是等势的, ,等于球面上的电势。等于球面上的电势。 球面外任一点的电势和把全部电荷集中于球心的一个点电球面外任一点的电势和把全部电

49、荷集中于球心的一个点电荷在该点的电势相等。荷在该点的电势相等。014qRdREldrVEl04qr电势分布曲线电势分布曲线场强大小分布曲线场强大小分布曲线问题问题6-126-12RR RR RV Vr rO OE Er rO O204qR04qR2 r1 rR000()oDoDDWq Uq VV解解 (1)(1)004(3 )4DqqVll006oDq qWl A l o 2l D C B q +q 06ql(2)(2)0()0ooWq VV课堂练习课堂练习 ,OCD,OCD是以是以B B为圆心、为圆心、 为半径的半圆，为半径的半圆，A A、B B两点两点处分别有点电荷处分别有点电荷q q和和

50、 q q。(1)(1)求把电量求把电量q q0 0的点电荷从的点电荷从O O点沿点沿OCDOCD移到移到D D点电场力所作的功点电场力所作的功;(2);(2)把单位负电荷由把单位负电荷由 电场力所电场力所做的功。做的功。o 2ABll00044OqqVll例例 计算电偶极子电场中任一点的电势。计算电偶极子电场中任一点的电势。0044PqqVrr解解 设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P P的电势为的电势为cos2lry yP P+q+q-q-q O Orrr2l2l222cos22llrrr222cos 22llrrrcos2lr1112xx 011()4coscos22PqVllrr202cos4cos2qllr2200cos44rp eqlrr 1. 等势面等势面在静