边际函数与弹性函数

1、解 MC(° = C(g)喘1994-201 Hina Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, htlpjki解 MC(° = C(g)喘边际函数与弹性函数范慧新潘邦兴(恵州市广播电視大学)1 前 言边际与弹性是微分学在经济问题中应用的一个重要方面，是分析经济问题的一个重要方法。本 文对边际和弹性的概念结合实例进行分析。2边际函数边际函数包括边际成本、边际收益、边际利润等。边际问题实质是变化率的问题。边际成本就是 成本对产量的变化率，边际收益就是收益对销量的变化率等，下面以边际成本

2、为例,理解成本函数 必须明确以下几点：(1)平均变化率与某一点的变化率以g表示产蜀,C表示成本成本是产虽的函数C = C(g),产量为g到q¥ Z时，成本的平均 变化率为：C _ C(g + (/) C(q)g Ag而成本在产量为g。时的变化率为MC = C(g°) = lim 孚C(g)称为q = q。时的边际成本，记作:MC(g°)例1设某种产品的成本c是g的函数C= 1100 + 1/1200于(C的单位是百元)求:1)、当q由900个单位增加到1000个单位时，总成本的平均变化率？解 q = 900,= 1000 - 900 = 100平均成本平均变化率：

3、C(1000) C(900)100iioo+®-(iioo+S)1944. 33 1775K01.693即当产量由900个单位增加到1000个单位时平均每增加一台需增加成本1. 593百元。 2)求生产900台和10C0台时成本的变化率：收槁日期；19951003B4眇42012 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, htlp:/wwki1.667 MCC900)=器=1 5 MC(IOOO)=常即:产 900单位时每增加一个产品,成本近似增加1.5百元，产量1000单位时每增

4、加一个产品成 本近似增加1. 667百元.(2) 成本对产量的变化率C(g)叫边际成本，记为MC(q)当Aq很小时，比(g) a G/Ag. 显然愈小这样的误差会愈小当0时C/Zf C(g)BP由产量时成本对产的变 化率的近似值，得到了它的精确值，即完成由变到质变的过程.边际成本函数MC(C = O(g) 般g的取值不同，成本gftMC(g)的值也不同因此可进行 成本分析，根据不同的产出水平对生产单位产品各需堆加的成本效决定增加还是截少产(3) 由于MC(g。)* AC/Ag,且当</愈小愈近似即令-(即增加 一个单位产品)ZCMC(q。)，由此得岀MC(g°)的经济意义准产为

5、g个单位的基础上再増产1 个单位产品，其总成本的近似增加值为MC(?°)为什么“近似地描述”呢?这是因为某些产品只能 取正整数，其最小的变化单位也只能是一个单位,不能严格连续趋于0(4) 类似地边际收益M/e = F(g)的意义是:当销售量达到？时,再销售一个单位产品,收益增 值的近似值边际利润"Pg = P/(g)其经济意义与上类同.3需求弹性需求量与多种因素有关如价格、消费水平、收入，其他产品价格的影响笥等因此就有各种各 样的弹性，分别称为需求的价格弹性，需求的收入弹性而需求的价格弹性影响较大下面对价格禅 性进行分析，其他弹性类同.弹性问题是相对变化率问题。需求的价格弹

6、性主要是刻划需求对价格的变化的反映程度.3.1需求弹性的计算方法设某商品的需求函数为q = q®，P是价格诃是需求量，当P增加到"T 加需求Z « qlp + ”)一 9(/»和价格的相对改变量之比：g仪2 =丄£户 q(p) />P当 />-0时式中嘗无限接近于g 故有g令玳P)=3-2正确理解需求弹性的经济意义1994-201 Hina Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, htlpjki a好a s即鸽H乡令气=1%(即提价1%)，

7、则 鴛 =7(Z>)%这表明，当价格为P时，若再提价1%,则销售量近似变到?(/>)%需求价格弹性是自变虽为价格的函数，一般价格不同，需求弹性的值也不同，因而可以进行需 求分析以确定提价或降价，达到最大的收益目的。4典型应用举例例1试求边际收益与需求弹性的关系。解 设p是价格，尺为收益，销量q是价格的函数g = ?(/>)则R = P?(?)两边对P求得, 得囂=心)+ “篇=讥/>)(i + £ 囂)=q(»(i + 巧(帀表示需求的价格弹性)通常需求弹性可总是负的可以得岀如下的，结论 当|7l> 1时，dR/d" = g(”)(l

8、 + pVO,收入是价格的减函数，提高(降低)价格，将 会导致收入下降(上升)，当Ml VI时,dR/dp = g(p)仃+ 7)>0,收入是价格的增函数，提高价格 可以增加收入。怜 器=“+ %) = “ +可坛) = “+*)7 dT5例2设需求函数？ = 15000 一 750”,当"=5时问应提高价格还是降低价格才能增加收入?解:7(/» _上坐一 一 750"八'q d” 15000 一 750户- 750 X 5=】115000 - 750 X 53V|7l < 1应提高价格才能增加收入.验证设提价1% 则价格由/>1 = 5

9、增至 久=5(1 + 1/100) = 5. 05需求量由q = 15000一 750 X 5 = 11250 变为血=15000 一 750 X 5 05 = 11212-5 价格变化前的收入:& = pg = 5 X 11250 = 56250价格变化前的收入：心=P血=5. 05 X 11212. 5 = 56623. 125心>&说明|7<11时提价后虽然减少销就但收入增加了例3如果价格函数是P = "(g)，需求价格弹性小收益R =旳<1)试求收益与产量的关系。(2)求收入最大时的产量"为何值？解 V R 一 Pq 一尸(g)g两

10、边对g求导.一般4V0当|引> 1时，肾>0,增加产量可以增加收入"| VI小时，普<0,增加产量使收入减少解(2)由dR/dg=P(l + l/几可见要求使收入最大时产量必须满足dR/dq = 0.即P( + 1/7)= 0, /可=1所以，可以从7=1入手解决这类最优化问题。例4试证,当平均成本等于边际成本时，平均成本达到最小G4C平均成本、MC边际成本 证明 平均成本AC = C(g)/g,要求产量，使平均成本最小必须dG4C)/dg = 0,即吟 = 0,l/g(O C/g),即0 =C/g,因此,边际成本等于平均成本时，使平均成本达到最小。类似地从微分学知识容易推出，当边际收益等于边际成本时(即边际利润等于0)可使利润最 大。根据由边际分析得出的这类结论可以使我们能比较简便地解决一些最优化的问题。下面再看一 些例子.例5设生产某种产品总成本函数为C(g) = 2q2 + 5g + 18,其中产量g(单位是百件)成本C 的单位是万元，试求：(1)最低平均成本时的产量：(2)最低平均成本。解.平均成本函数人c = = 2g + 5 +晋边际成本:MC = O (?) = 4g + 5(1)当边际成本等于平均成本时，平均成本最小，即当4g + 5 =