微专题之等和线

1、【基本定理】（一） 平面向量共线定理uuu uuu 已知OA OB1，则A,B,C三点共线；反之亦然uuurOC，若（二） 等和线uuu uuu平面内一组基底 Oa,Ob及任一向量uuu uur uuuOP，OP OAuuu OB(,R），若点P在直线AB上或者在AB以及与直线AB平行的直线称我们把直线1、2、3、uiuruuu若 OC xOAuuuyOB，其中x,y R，则x y的最大值跟踪练习:已知0为 ABC的外心，若COS ABCuurAOuuuABuuurAC，则的最大值为例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点uuu代B满足|OA |uur uur uuu|OB| OA OB

2、 2，则点集为等和线。（1）当等和线恰为直线 AB时，k 1 ；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,)；（4）当等和线过0点时，k 0 ；（5）若两等和线关于 0点对称，则定值k互为相反数；k （定值），反之也成立,平行于AB的直线上，则【解题步骤及说明】确定等值线为1的线；2平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的 原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关

3、系，则需要通过变换基底向量，使得需要研 究的代数式为基底的系数和。【典型例题】uuu uuu例1、 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角 为1200，如图所示，点C在以o为圆心的圆弧 Ab上变动。uuuP |OPuuu uuuOA OB,| | 1, , R所表示的区域面积为例3、如图，在扇形 OAB中， AOB 60°, C为弧AB上不与A,B重合的一个动点,uuur uu uuuOC xOA yOB，若u x y （0）存在最大值，则的取值范围为 跟踪练习：在正方形uuu 设AEuuur xADABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点,yAP，则2

4、x y的最小值为.【强化训练】1在正六边形 ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设ULUUAPuuuxAB的取值范围2、如图，在平行四边形 ABCD中，M,N为CD边的三等份点，S为AM , BN的交点,uuuryAF，则 x yP为边AB上的uuu一动点，Q为 SMN内一点（含边界），若PQUUUUUULTxAM yBN，则x y的取值范围3、设D,E分别是 ABC的边AB，BC上的点,1 2uuurAD -AB，BE BC，若 DE2 3（1, 2为实数），贝U 12的值为 .4、梯形 ABCD中，AD AB，AD DC 1，AB 3，P为三角形 BCD内一点uuu uu

5、u uuur AP xAB yAD，则x y的取值范围 .uuu uur1AB2AC（包括边界），uuu uuu _ uuu uuun uuur uuu uuu5、已知 |0A| 1,|OB|.3 , OA OB 0,点 C 在 AOB 内，且 AOC 300，设 OC mOA nOB ,则m的值为.n6、在正方形 ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心， AB为半径的圆弧上的任意一点，设uuruuuruuuAC xDE yAP，贝U x y的最小值为 .uuuu uur uuu uuuuuuir7、 已知|OM | |ON | 1 , OP xOM yON（x,y为实数）。若 PMN为以M

6、为直角顶点的直角三角形，贝U x y取值的集合为。uuu uuu uuuruuu uuun uuu uuirn uuu uuu8、 平面内有三个向量 OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为120°, OA,OC的夹角为30°，且|OA|OB| 1 ,uuir_uuuruuuuuu|OC | 2 石，若 OC mOA nOB，则 m n 的值为。9、如图，代B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若uur uur uuuOC mOA nOB，贝V m n的取值范围为 10、已知2O 为 ABC 的外心，若 A（0,0），B（2,0），AC 1, BAC T，且uuirAOuuuABuuirAC ,11、已知a,b是两个互相垂直的单位向量，且c a c1，则对任意的正实数|cta1b |的最小t值为1、征服畏惧、建立自信的最快最