弹性力学题解

1、1. 说明下列应变状态是否可能.C(XH y2) cxy 0、创= cxy cy 0< 0 0 °解:若应变状态可能，则应变分量应满足协调方程。2 2 2二维情况下，协调方程为一2y- xydyex£x&y2-2-2-2:-x r y-c(x y )2 (cy )=2C一 y.x 一 y:x：2 xy-( 2cxy) = 2 c； x :y显然满足方程，故该应变状态可能。2、设 十 d，其余应力分量为零，求该点的主应力及对应于最大主应力的 主方向。解：11 =0I.丄222o 2丨2=；y卞 y；z二x- xy- yz- zx0 T 0I3 = I 0=000

2、30解得二 4 - .2，匚 2 =0,匚3 =i'2.设对应于的主方向为l,m,n，有TX0广丨、-P2弋Tm=00T-42)e又有 l2 m2 n2 = 1求得丨J,m二丄,n2 2 23、一方板，z向厚度h=10mm,边长 a=800mm，且平行于x,y轴，二x =360MPa x = xy =0, y =0，若 E=72Gpa,： = 0.33，求二 y和此板变形后的尺寸。解：（1）求I y1；y =E二y 一（二x s） =o.:y = x - z） = 118.8MPa（2）求；x1；x 二X 一 （二y ；z） =0.00446.伸长 :a - ；x a = 0.0044

3、6 800 = 3.56mm（3）厚度变化1 ；z 二-（二x ；y）二-2.19 10：h 一2.19 1010 0.022mm4、平面应变冋题中某点的三个应力分量为；x = 100Mpa,；y = 50Mpa,冯=50Mpa,求该点的三个主应力及；x。设弹性模量E=200GPa泊松比v=0.21、8分G =130.9MPa ；2 =30MPaI =19.1MPa2、6分21vv一巧=0.000421 -v4、用逆解法求解圆截面柱体扭转问题的解.（提示：假定二 x 八 y 八 z = xy = 0 ）Xx11J1T,11'1.1解：(1)如图所示，由材料力学知距离圆心 0点任意距离处

4、的切应力TP=,p'2dxdyT'ppT sinpTyz 二 cos 八 一 ：?cos 二ip云二二y = ；z = xy = 0(2)检验是否满足平衡微分方程和应力调协方程 将应力分量分别代入平衡微分方程5 j Fb0( i ,j =x ,y ,z)和应力调协方程=01?201：2x1:2 412r y1r201：2z1j201:x :y12 o1:y :z1;201Zx=0十二 0二 0+二 0+二 0+' 2 二 y宀zzxxy' 2 yz宀x2 1or jkk,j =01 +u(where :' ； x 二 y ；z = 5可知均满足方程.(3

5、)检验是否满足边界条件侧面：面力Px 二 Py 二 Pz 二 0,方向余弦 I 二 cos ,m = sinjn 二 0，代人Pi八ijnj ,能精确满足.端部:(二z)z = 0 1二0满足M x 二；zydxdy 二 0,满足M y =二 zxdxdy 二 0,满足X二.zxdxdy = 0,利用圣维南原理，近似 满足Y二.zydxdy = 0利用圣维南原理，近似 满足T = .(x zy -y zx)dxdy,利用圣维南原理，近似 满足 可知利用圣维南原理，也可满足。故这些应力分量是圆截面柱体扭转问题的解。5、不计体力，设一物体内的位移分量为u=v=O,w=w(z),求位移函数 w=w(

6、z).解:由几何方程，求得应变分量：dwdzyxyyzyzx(2)由物理方程,求得应力分量：cijij“、“ c、6ij9 = 2七ijiB6 ij ,日=%(1 )(1 - 2 ) j j jCTxdwdzdzxyyz(3)利用平衡微分方程求解：xx+yx:y+zxzC TC Ty+zy+xy:yzxe<TC Td tz+xz+yzzx:yC<TC T前两个方程满足，由第三个方程有d 2w0对该式积分得 :W CiZC2 ( SC2为常数)不考虑刚体位移，则C 2二0W = CiZ6、求应力分量（可假设 0=0 ）用半逆解法。解: 假设厂=0，门 I =0-V（x） f2（x）代

7、入双调和方程：x?f2.:x4=0?f 1?f 2-440.x伙32fi(x)二C2X3 C3X2 C4X C5f2(x) =C6x3 C7x2 C8x C9二 y(C2X3 C3X2 C4x) C6x3 C7x2(一次项不要)由公式G 2ex.=y(6C2X 2C3)(6C6X 2C7)xy = -(3C2X2 2C3X C4)边界条件：(1) 左边 X )x J - 0, ( xy ) X-0 - 0 有 C4 = 0(1)(2) 右边.(；x)x= =0, (xy)x=b = q 有-3C2h2 -2C3h(3) 上边(；y)y 卫=0 有 C6 = C7 = 0 而.xy显然不满足，应

8、采用圣维南原理hh20 hydx = 0 (_3C2x -2C3x)dx =0即C2h3 C3h2 =0(2)联立(1),( 2)得应力分量的最后解答为yx=2q (1 _3_)hhxy= qX(3- -2)h h7、分析下列应力函数可解决什么样的平面应力问题33Fxvq 2f (xy2)y4C3C2解:(1) 经验证，该应力函数满足双调和方程(2) 求应力分量沙3Fxcx23Y q.y2C汽c二2 = 0.xxy 丄一支(1丄)cxdy4CC2(3) 建立如图所示坐标系，考虑物体边界条件上下边界：y - _c, ；y 二 0, .xy 二 0左边界：二x =q而w的合力为F解决问题：悬臂梁在

9、自由端受轴向拉力和横向集中力作用8、契形体顶部受力偶解：可设f(0求得 工 Acos2= Bsi n2= Cr D 利用反对称，A = D=O最后得,Msin2：- -2' cos2：M cos2a sin2 -2： cos2：9、 如图边长为a的方板，其应力解是否为 二x二q°sin(-y/a)y =0,=0 ?说 明理由。解：虽然该解满足边界条件和平衡微分方程，但不满足协调方程。10、设有应力场二x =y2,；y =X2,二z = F二.yz二ZX =0，它是否能成为某弹性力 学问题的解11、图示1/4薄圆板，一边固定一边受线性分布荷载。试分别写出直角坐标和极 坐标系的边

10、界条件。12、在极坐标中，=C可否作为应力函数？如可，求出应力分量，并考察此 应力分量可表示何种有意义的工程冋题 13、悬臂梁沿下边受均布剪力，而上边和 x=l的一端不受荷载时，可用应力函数1=s( xy423|2|3汕-冬 J 差)得出解答。并说明此解答在哪些方面是不完善4c 4c 4c 4c解：1、验证是否满足=0，满足;2、求应力分量£钾,2x 6xy 2l 6ly、；)=2 = s(22)by4c 4c 4c 4cdx曲 /1丄2y丄3y2、xy = _ =s（2）敎矽 4 4c4c23、验证边界条件上边（二 y）y_q =0,满足，Cyx）yj =0,满足王要边界：、下边（CT y）yc =0,满足，（Eyx）yY = S,满足（b x）x± =0,满足次要边界：（"）x4 =0,不可能精确满足，c利用圣维南原理，.（.xy）x土bdy =0,满足 -c4、此解答在固定端和自由端附近有较大误差。14、试确定应力函数=c2（cos2：:cos2）中的常数c值，使满足图中边界条件 （二）=：=0,（ 二）=：=s;（；）=-：=0，（ *） =_：=-s;。并证明契顶没有集中力或集 中力