Chapter4-7(高斯光束)

1、14.6 4.6 高斯光束高斯光束 研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点对于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义。对于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义。本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性。本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性。 平面电磁波是平面电磁波是具有确定传播方向，具有确定传播方向，但却广延于全空间但却广延于全空间中的波动。中的波动。实际上应用的定向电磁波除了要实际上应用的定向电磁波除了要求它具有大致确定的传播方向外，求它具有大致确定的传播方向外，一般还要求它在空间中形成比较一般还要求它在空间中形成比较狭窄的

2、射束，即场强在空间中的狭窄的射束，即场强在空间中的分布具有有限的宽度。特别是在分布具有有限的宽度。特别是在近年发展激光技术中，从激光器近年发展激光技术中，从激光器发射出来的光束一般是很狭窄的发射出来的光束一般是很狭窄的光束。光束。2波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件确定的。现在我们研究一种比较简单和常见的形式。确定的。现在我们研究一种比较简单和常见的形式。这种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大，这种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大，靠近边缘处强度迅速减弱。设波束对称轴为靠近边缘处强度迅速减弱。设波束对称轴为z轴，轴，在横截面上

3、具有这种分布性质的最简单的函数是高在横截面上具有这种分布性质的最简单的函数是高斯函数斯函数222wyxe 1亥姆霍兹方程的波束解亥姆霍兹方程的波束解3因此，参数因此，参数w表示束的宽度。表示束的宽度。22yx wyx 22 由于波动的特点，波束在传播过程中一般不能保持截由于波动的特点，波束在传播过程中一般不能保持截面不变，因而波束宽度一般是面不变，因而波束宽度一般是z的函数。当波束变宽时，的函数。当波束变宽时，场强也相应减弱，因此波幅也一般为场强也相应减弱，因此波幅也一般为z的函数。以的函数。以u(x,y,z)代表电磁场的任一直角分量，考虑到上述这些特点，我代表电磁场的任一直角分量，考虑到上述

4、这些特点，我们设们设u具有如下形式：具有如下形式：是到波束中心轴（是到波束中心轴（z轴）的距离轴）的距离高斯函数的值迅速下降高斯函数的值迅速下降4 ikzyxzfeezgzyxu22, 上式各因子的意义如下：上式各因子的意义如下：eikz代表沿代表沿z方向的传播因子方向的传播因子如果电磁波具有确定的沿如果电磁波具有确定的沿z轴方向的波矢量轴方向的波矢量k，这因子就，这因子就是唯一的依赖于是唯一的依赖于z的因子。具有确定波矢量的电磁波是广的因子。具有确定波矢量的电磁波是广延于全空间的平面波，因此任何有限宽度的射束都不能延于全空间的平面波，因此任何有限宽度的射束都不能具有确定的波矢量。因此，射束只

5、能有大致确定的传播具有确定的波矢量。因此，射束只能有大致确定的传播方向，而因子方向，而因子eikz表示依赖于表示依赖于z的主要因子。的主要因子。5 22yxzfe 是限制束的空间宽度的因子，由于射束不能有完全确定是限制束的空间宽度的因子，由于射束不能有完全确定的波矢量，因此束的宽度应为的波矢量，因此束的宽度应为z的缓变函数。因子的缓变函数。因子g(z)主主要表示波的振幅，同时也含有传播因子中与纯平面波因要表示波的振幅，同时也含有传播因子中与纯平面波因子子eikz偏离的部分。令尝试解偏离的部分。令尝试解剩下的因子中，还含有对剩下的因子中，还含有对z缓变的函数缓变的函数g(z)和和f(z)因子因子

6、 (x,y,z)是是z的缓变函数。所谓缓变是相对于的缓变函数。所谓缓变是相对于eikz而言的。因子而言的。因子eikz当当z时已有显著变化，我们假设时已有显著变化，我们假设 (x,y,z),当当z 时变化很小，时变化很小，因此在它对因此在它对z的展开式中可以忽略高次项的展开式中可以忽略高次项 。 22,yxzfezgzyx 6电磁场的任一直角分量电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程满足亥姆霍兹方程022 uku把把代人，忽略代人，忽略 2 / z2项，得项，得022222 zikyx ikzezyxzyxu, 7用尝试解用尝试解 0 2 2222 ikgfgikgfgfyx上式应对

7、任意上式应对任意x，y成立，因此两方成立，因此两方括号内的量应等于零。由此得括号内的量应等于零。由此得f(z)和和g(z)满足的方程满足的方程2ikgfg 22ikff 导数导数导数导数8若这两方程有解，就表示我们所设的尝试解若这两方程有解，就表示我们所设的尝试解是一个正确的解。这解与横截面坐标是一个正确的解。这解与横截面坐标x，y有有关的部分完全含于高斯函数中，其他因子仅关的部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为为z的函数。的函数。A为积分常数为积分常数 zkiAzf21 9 zkAiuzg210 u0为另一积分常数为另一积分常数 A一般是复数。一般是复数。A的虚数部分可以用一项的虚数部分可以

8、用一项(2i/k)z0抵消，即我们总可以选抵消，即我们总可以选z轴的原点，使轴的原点，使A为为实数。取实数。取A为实数，可以把为实数，可以把f(z)写为写为 zkAiAkzAzf2141122210令令20wA 2202022222141kwzwAkzAz 则则f(z)可写为可写为 202211kwizzwzf高斯函数为高斯函数为 2022221exp22kwizzwyxeyxzf11函数函数g(z)的表示式可写为的表示式可写为 iiewwekwzuzg 00220021 202kwztgarc iyxeewwzyxu22200, 22022212zkwzyxkkz光束场强函数光束场强函数12

9、现在讨论解的意义现在讨论解的意义222wyxe 波束宽度由函数波束宽度由函数w(z)代表。在代表。在z0点波束具有最点波束具有最小宽度，该处称为光束腰部（束腰）。离腰部愈小宽度，该处称为光束腰部（束腰）。离腰部愈远处波束的宽度愈大远处波束的宽度愈大 。 2. 高斯光束的传播特性高斯光束的传播特性 式中因子式中因子ei 是相因子是相因子其余的因子表示各点处的波幅其余的因子表示各点处的波幅 .因子因子是限制波束宽度的因子是限制波束宽度的因子 . iyxeewwzyxu22200, 22022212zkwzyxkkz13 因子因子u0w0/w 是在是在z轴上波的振幅。轴上波的振幅。 u0是波束腰部的

10、是波束腰部的振幅。因子振幅。因子w0/w 表示当波束变宽后振幅相应减弱表示当波束变宽后振幅相应减弱 . 波的相位为波的相位为 ，波阵面是等相位的曲面，波阵面是等相位的曲面，由方程由方程 =常数确定。当常数确定。当z=0时时 = 0，因此，因此z=0平面是一个波阵面。即在光束腰部处，波阵平面是一个波阵面。即在光束腰部处，波阵面是与面是与z轴垂直的平面。轴垂直的平面。 距腰部远处，当距腰部远处，当20kwz /214Czyxz 222由于当由于当 z2x2y2时，时，2222/1222211zyxzyx 等相面方程可写为等相面方程可写为Czyxz 2/12221或或Czyxr 2/1222)(因此

11、在讨论远处等相因此在讨论远处等相面时可略去面时可略去 项。远项。远处等相面方程为处等相面方程为15因此，在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面。因此，在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面。波阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状。波阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状。在远处在远处(z kw02) 02kwzzw 波束的发散角由波束的发散角由tg =w/z确定确定02kw 16注意当注意当w0愈小时，发散角愈大。因此如果要求有良好愈小时，发散角愈大。因此如果要求有良好的聚焦的聚焦(w0) ,则发散角必须足够大则发散角必须足够大; 如果要求有良好的定如果要求有良好的定向向( 小小)，则宽

12、度，则宽度w0不能太小。例如当不能太小。例如当w0=1000 时，发时，发散角散角 =10 -3/ 弧度。偏离轴向的波矢横向分量为弧度。偏离轴向的波矢横向分量为 kk 。02kw k w= (1)，表示波的空间分布宽度与波失横向宽度，表示波的空间分布宽度与波失横向宽度之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。只有无限之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。只有无限宽度的平面波才具有完全确定的波矢，任何有限宽度宽度的平面波才具有完全确定的波矢，任何有限宽度的射束都没有完全确定的波矢的射束都没有完全确定的波矢 .17 以上我们分析了一种最简单的波模。射束还可以以上我们分析了一种最简单的波模。射束还可以有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数，有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数，另一些波模不具有轴对称性。这些波模的特点都是在另一些波模不具有轴对称性。这些波模的特点都是在横截面上