海淀二模数学理科

1、2018年海淀二模数学理科海淀区高三年级第二学期期末练习数学(理科)2018.5第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.(1)已知全集。=123,4,5,6,集合A = 1,2,4.3 = 1,3,5,则(A)(B) 35(C) 口 (D )135.6(2)已知复数在复平面上对应的点为(I),则(A) z+i是实数 数(C) Z+i是实数 数(3)已知Q)。，则(A)汨(B) z+i是纯虚(D) z+i是纯虚(B)点心(C ) cosx>cosy(D ) I"。+ D > ln(y +1)(

2、4)若直线 x + y + a = 0是圆+r-2,y = 0的一条对称轴,则。的值为(A) i (B) -i (C) 2(D) -2(5)设曲线。是双曲线，贝!J的方程为-1口”是“。的渐近线方程为y=±2x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)关于函数/ (*siwxcosx,下列说法错误的是(A)小)是奇函数(B)。不是/(X)的极值点(C)小)在唱亨上有且仅有3个零点(D)小)的值域是R(7)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是(A)求首项为1,公比为2的等 比数列的前2017项的和(B)求首项为1,公比为

3、2的等 比数列的前2018项的和CC)求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和(D)求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和(8)已知集合M = xwN*iL5),集合AAA满足每个集合都恰有，个元素4U4=m.合4的特征数，记为X (23),则N+X2+X3的值集合4中元素的最大值与最小值之和称为集 不可能为().(A) 37(B) 39(C) 48(D) 57第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)极坐标系中，点。苧到直线"3"1的距离为(10)在的二项展开式中，1的系数 为.(11)已知平面向量。，匕的夹角为已且

4、满足，=2,= 贝9 a + 2b=*(12)在MBC 中, a:/?:c = 4:5:6, 则 tan A =.(13)能够使得命题“曲线小-？二K"。)上存在四 个点乙Q, R, 5满足四边形如心是正方形”为 真命题的一个实数的值为.AMB(14)如图，棱长为2的正方体 ABCD - ABC。中，M是棱心的中点， 点P在侧面做4内，若“垂直于 CM ,贝 | APBC 的面积的最小值为三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题13分）如图，已知函数/（x） = Asin（d>x+<p） （A >0皿>0,闷 &l

5、t;£） 在一个 2周期内的图象经过4/。），若乃,。），(I )写出A, 3,。的值;（II ）若（浮等，且/9）= 1,求cos2a的值.16.（本小题共13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学 生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下:1号2号3 号4号5 号6 号7 号8号9号10号第一9688888929087909290轮测 试成 绩9第二 轮测 试成 绩90909088888796928992(I)从该校1寻二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率;(II)从

6、考核成绩大于等于90分的学生中再随机 抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大 于等于90分的概率;(m)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均 数和方差分别为心S：,考核成绩的平均数和方 差分别为心心试比较)与与S；的大小.(只 需写出结论)17.(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-必©中,G 4BAAC = BC = AB=2 f AB】平面 ABC , AC； 1 AC , D , £分另IJ 是AC, B8的中点.(I )证明： AC 1 B£(II)证明：小平面(HI)求。E与平面BB£C所成角的正弦值.18.(本小题共14分)已知椭=1

7、 F为右焦点,P为椭圆。上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆。相切于点丁，使得点F, 丁在8两侧.(I)求椭圆。的焦距及离心率;(II)求四边形。5面积的最大值.19.(本小题共13分)已知函数/(» =暧-"-3 ("0)(I )求”力的极值;(II )当。时，设身。)=/-%'-33求证：曲线Q) 存在两条斜率为T且不重合的切线.20.（本小题共13分）如果数列满足“对任意正整数“，虫，都存 在正整数3使得。”的产，则称数列具有“性质 P".已知数列同是无穷项的等差数列，公差为d.（I）若廿2,公差仆3,判断数列间是否具有“性 质P”，

8、并说明理由；（II）若数列具有“性质P”,求证：哈。且公0；（ni）若数列同具有“性质p”，且存在正整数人, 使得% =20®这样的数列间共有多少个？并说明 理由海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数学（理科）2018.5第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678BCDBACCA第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.(9) 1(10) 10(11) 1； 26(12)母(13)答案不唯一，"。或"4的任意实数(14)三、解答题共

9、6小题，共80分.解答应写出文 字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题13分)解：(I) A = 2, 3 = 2,7 分(II)由(I)得， /(x) = 2sin(2x-) *因为/9)= 1,所以 sin(2"g) = J. 8 分因为。唔争,所以2a9吗叽9分所以2。-3布，11分12分13分所以2a =",cos 2a = cos =.16 .（本小题共13分）解：（I）这10名学生的考核成绩（单位：分） 分别为：93, 89.5, 89, 88, 90, 88.5, 91.5, 91,90.5, 91.其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、1

10、0号，共6人.1分所以样本中学生考核成绩大于等于90分的 频率为：数。6,3分从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.（II）设事件人从上述考核成绩大于等于 90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同 学两轮测试成绩均大于等于90分.5分由（I ）知，上述考核成绩大于等于90 分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等 于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 6分所以，噜=尚小9分（in）工=兀,$：13分17 .（本小题共14分）解：（I ）因为相，平面MJ ACu平面ABC,所以A8JAC. 1分因为 AQLAC 9 AB.nCj =A 9 A

11、坊,AC. u平面 MG ,所以AC，平面相£. 3分因为 用Gu平面A8C,所以A。©. 4分（II）法一：取44的中点例，连接例A、"石.因为入M分别是4G、4用的中点，所以ME4G,且ME=；A£.5分在三棱柱A3C-AeG 中，AD H AR ,且乙所以 mea。，且 me=ad,所以四边形ADEM是平行四边形，6分所以。EAM. 7分又AM u平面"e% OEZ平面"画%所以£石/平面AA.BB注：与此法类似,连接M。、MBi./ 法二：取A3的中点连接於二味一a M 因为。、分别是AC、Ab的争点，所以MO8C,

12、且mo=/c 5分 乙在三棱柱ABC - 9£中，BE U BC , 且与石=；8C ,所以 MD BiE,且 MD=BXE9所以四边形 BiE DM 是平行四边形，6分所以DEM5i. 7分又g U平面AA心明平面照隹明 所以 DEH 平面 AABB . 9分法三：取8c的中点M,连接皿、ME.因为。、加分别是6、C8的中点,所以， DM/AB 9 5分在三棱柱"C-A禺G 中，BC/BG, BC = BG ,fl4因为E、M分别是C禺和CB的中点，'心用所以， MB HEB, 9 MB = EB、,/ CDJ. A所以，四边形“解是平行四边形，6分B所以，ME/

13、BB、. 7 分又因为网1。=, 即rw=8,平面 MDE,平面AAB 9所以，平面MDE/平面相出出.一 8分因为，£>Eu平面所以， DE/平面相盘.9分(JU)在三棱柱A*-44G 中，BCBG, 因为AC所以AC ± BC .在平面A"内，过点C作。"/A' 因为，平面ABC ,所以，平面A". 10分建立空间直角坐标系如图.则C(0,0,0)/(2,0,0), 4(0,2,2), G (-2,2,2) , 0(0,1,0),七(一 1,2,2).DE = (-1,1,2) , CB = (2,0,0) , CB； = (

14、0,2,2) . 11分设平面网G。的法向量为 =(x, y, Z),贝|n -CB = 0 日口(2x = 0n-CB.=09(2y + 2z = 0 9得 x = 0,令 y = l,得 Z = -1,故 = (0,11).12设直线DE与平面 BB】CC 所成的角为仇贝!J sinO= IIcos < DEDE n, > ='.=IDEI-lwl 6所以直线山与平面 BB£C 所成角的正弦值14分为手18.（本小题共14分）M： （I）在椭IIIIC.3+)，2=1 中，。=2, b = 9所以c = J。匚=a9故椭圆。的焦距为"=2岛 离心率W

15、罟则？+",故"等.6分X(II )法一：设尸(%，为) (% > 0 , >?0 > 0 ) , ?所以 itpFtop |2_|"|2=焉 +),；_1 = |焉：5、阳=；|。7|.|»| =）.9 分4 又。（。,。）,F（/0）,故又曲=加日=4九.10因此S四边形C = S、ofp + S、OTP所以 S四边形O1W = , /i + 入0%- 9乙乙+小儿 + %=g."i+Xo)'o .13分当且仅当)量=;,即犷应，九=4时等号成立.14分(II) 法二： 设 P(2cos8,sin。)(0<6

16、<?)， 6 分则 TP l2=l OP2 -I OT 12= 4 cos2 <9 +sin 2 8一 1 = 3cos? *所以ITPI = "cos。, 8 分SSOTe=OT TP = -cos0 , 9 分又 0(0,0) ,F(73,O), 故 S,加=J"=gsin8 .乙乙10分11分区 | 出S S 四边形=S 'ofp + S,otp = - (cos 0 + sin。)乙=y-sin( + ) < 手，13分 4乙当且仅当"2时，即附忘，犷手时等号成立.14分19.（本小题共13分）解：(I )法一 : /'(

17、x) = rt eav-« = «-(eav-I) G/O eR)>分令人幻二。，得户。2分当心。时，”幻与*-1符号相同，当X变化时，“幻，”X）的变化情况如下表：,1(-00,0)0(0,+oo)0+/（X）X极小7当"。时，八X）与铲-1符号相反, 当'变化时，/，小）的变化情况如下表:X(-00,0)0(0,+oo)0+fMX极小/6分综上，/“）在忏。处取得极小值/（。）= -2.7分法二： fx) = a eax-a = a-(ex-)J 分令八x) = 0,得x =。. 2分令力a)=m),则(x)= e 3分易知 h '(x)

18、 > 0 , 故心)是()上的增函数，即八%)是上的增函数.4分所以，当,变化时，"X), "X)的变化情况如 下表：.V(一s，0)/'WfMX0(0,-Hz)01极小/6分因此，心)在“。处取得极小值/(。)=2 7分()g *U) = env-ax-3 = f (x) (a > 0,x e R) 8分故 gx) = -> f(x) = - # 9分注意到了 7V1, /(1) = e2-5>-l, /(-1) = e-2-l>-l, 所以, 羽 t( 4，0)，工2 W(0'(/), 使得 /(%,) =/(x2) = -

19、l .因此，曲线 y = g(x) 在点 片(%,/(芯)9 鸟区,/(4) 处的切线斜率均为j11分下面，只需证明曲线y = gM 在点 6（2"（$）, 鸟（4,） 处的切线不重合.法一:曲线一g&）在点时，“刈）（E2）处 的切线方程为 y-g（玉）=-*一七）, 即 ）' = T+g（，E）+ Xj . 假设 曲线 >'=gM 在点 片（4/（为）（i = l，2） 处的切线重合，则 g（&） + & =g（X|）+ $ . 12分法二：假设曲线>'=gM 在点 （xj（x,）（i = l,2, 再一）处的切线重合，

20、则Ve詈整理得： g（x2） + x2 =g（X） + M . 12分法一：由屋（乙）=铲-阴-3 = 1,得针=*+2,贝|g（X.） + a; = L （,% + 2） 1 ax； - 3若 + 个=_ 1 ax；-x（.+- a22a 2因为玉f,故由 g（x2） + x2 =g（xl） + xi 可得而Xi。，*e（0,3 于是有为+X2>q + 0 = q, 矛盾！法二： 令 G（x） = g*） + x ,贝| G（n）= G6）, 且G3 = gQ） + l = /*） + l.由（I ）知,当一（不）时,/«<-!,故 G3<。.所以，G(x)在区间

21、乐士上单调递减，于是有G(x1)>G(x2), 矛盾！因此，曲线 >'=gW在点蛆J®)(E2)处的切线不重合.13分20.(本小题13分)解：(I)若1=2,公差公3,则数列不具有性质P. 1分理由如下: 由题知=31,对于6和七，假设存在正整矛数左，使得“歌,则有 31 = 2x5 = 10,盾！所以对任意的壮n ,. 3分(II)若数列具有“性质P”，则假设q<。，d40 ,则对任意的, =q+(-l)dv0.设,则“o,矛盾！ 4分假设<。，心。，则存在正整数J使得q <a2 <% V. <q <0<q+ <

22、<1 “r+3 飞/外*=4如r (eN , i = l,2,"+ 1,贝j。> q > %> "a"但数列小中仅有，项小于等于0,矛盾！ 6分假设哈。，八。，则存在正整数J使得q >a2 >6 >>q >0>q_ >>-设 4J4+2 =%,0+1 4+3 =(% ,6+i % =(% ,.,4+14+2=%, kjWN i = l,2,"+ 1,贝<气 , 但数列&中仅有，项大于等于0,矛盾！ 8分综上，0°, "20.(ni)设公差为的等差数列

23、具有“性质p”， 且存在正整数J使得“2018.若d=0,则为常数数列，此时。，=2。18恒成 立，故对任意的正整数3ak = 2018 20182 = a1 a2 ,这与数列具有“性质P”矛盾，故d#。.设 ,是数列S”中的任意一项，贝!| +* x+/ 均是数列S,中的项，设/ I =x(x + d), ak = x(x + 2d)贝!)城=(kk>d ,因为dwO,所以x = kk、cZ 9 即数列的每一项均是整数.由(H)知，-0,故数列的每 一项均是自然数，且"是正整数.由题意知， 2018+d是数列中的项，故 2018-(2018 + J) 是数列中的项，设 q”=2018 (2018 + d),贝=