第三章 流体流动的基本方程

1、第三章 流体流动的基本方程海南大学工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1 描述流体运动的方法及概念运动要素：运动要素：表征流体运动状态的物理量 一、场一、场运动要素之间的规律运动要素之间的规律 每一运动要素都随空间与时间在变化；每一运动要素都随空间与时间在变化； 各要素之间存在着本质联系。各要素之间存在着本质联系。场的概念场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体运动：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体运动空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状态的参量的一个确定的值，空间的每一点、某时刻都对应着描述流体运动状

2、态的参量的一个确定的值，即物理的场即物理的场场的描述方法场的描述方法： Largrange法和Euler法场的分类：场的分类： 矢量场矢量场 稳定场稳定场 标量场标量场 时变场时变场工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院二、拉格朗日法（随体法或跟踪法）二、拉格朗日法（随体法或跟踪法） )()()(tcbazztcbayytcbaxx，ttcbaFtB,1.1 描述流体运动的方法工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院二、拉格朗日法（随体法或跟踪法）二、拉格朗日法（随体法或跟踪法） 对于某个确定的流体质点，（对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，）为常数，t为变量为变量轨迹轨迹 a，b

3、，c为为Lagrange变量，不是空间坐标的函数，是流体质点的标号，变量，不是空间坐标的函数，是流体质点的标号，表示流体质点的初始时刻的位置表示流体质点的初始时刻的位置1.1 描述流体运动的方法 t为常数，（为常数，（a，b，c）为变量）为变量某一时刻不同流体质点的位置分布某一时刻不同流体质点的位置分布工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院流体质点的运动方程流体质点的运动方程x=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t),(),(tcbauttcbaxu),(),(tcbavttcbayv),(),(tcbawttcbazw),(),(),(22tcbaa

4、ttcbaxttcbauaxx),(),(),(22tcbaattcbayttcbavayy),(),(),(22tcbaattcbazttcbawazz1.1 描述流体运动的方法工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 ：1.1 描述流体运动的方法工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院三、三、 EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法） 流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t 的函数例如：流体质点的三

5、个速度分量、压强和密度可表示为： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) w=w (x，y，z，t)p=p (x，y，z，t)=(x，y，z，t)注：l 当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。l 当参数t不变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。B=F (x，y，z，t)1.1 描述流体运动的方法工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.1 描述流体运动的方法四、质点导数四、质点导数 ttcbaFtB,zBwyBvxButBtBtzzBtyyBtxxBttzyxBttzzyyxxBdtdBtt lim ,lim00Bvt

6、BtdBzkyjxi工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.1 描述流体运动的方法四、质点导数四、质点导数 zwwywvxwutwazvwyvvxvutvazuwyuvxuutuazyxzBvyBvxBvtBdtdBzyx 利用欧拉法得到的是场，在工程实际中，并不关心每一质点的来利用欧拉法得到的是场，在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。因此，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。龙去脉。因此，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院五、两种方法的比较五、两种方法的比较 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描

7、述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法1.1 描述流体运动的方法工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一、流动的分类一、流动的分类 定常和非定常流动定常和非定常流动 1. 1. 定常流动定常流动流动参量流动参量

8、不随不随时间变化的流动。时间变化的流动。),(),(),(zyxzyxppzyxvv特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。数，而与时间无关。 0tB即：即：工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一、流动的分类一、流动的分类 定常和非定常流动定常和非定常流动 2. 2. 非定常流动非定常流动流动参量流动参量随随时间变化的流动。时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。数，而且与时间有关。 0tB即

9、：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一、流动的分类一、流动的分类 定常和非定常流动定常和非定常流动 流体的出流工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一、流动的分类一、流动的分类 一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。)(xvv),(zyxvv),(yxvv一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动1. 1. 定义定义实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体

10、情况加以实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。简化。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动绕无限翼展的流动工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动绕有限翼展的流动工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念二、迹线与流线二、迹线与流线 迹线：迹线：同一流体质点在不同时刻形成的曲线同一流体质点在不同时刻形成的曲线流星、流星、 烟火、烟火、 木屑顺水而下木屑顺水而下工程流体力学

11、工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念二、迹线与流线二、迹线与流线 在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法欧拉方法。u21uu2133u6545u46u流线流线0d svdsdvvzvdsdyvvyvdsdxvvxvzyx),cos(),cos(),cos(zyxvdzvdyvdx流线微分方程流线：流线：工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念二、迹线与流线二、迹线与流线 流线的性质流

12、线的性质（1 1）流线彼此不能相交。）流线彼此不能相交。（2 2）流线是一条光滑的曲线，）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。不可能出现折点。（3 3）定常流动时流线形状不变，）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化。非定常流动时流线形状发生变化。v1v2s1s2交点v1v2折点sl 强调的是空间连续质点而不是某单个质点强调的是空间连续质点而不是某单个质点l 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内l 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的

13、基本概念流线与迹线的区别流线与迹线的区别流线流线定义定义拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法质点的运动轨迹质点的运动轨迹某一瞬时，速度方向线某一瞬时，速度方向线研究方法研究方法 迹线迹线 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念流线计算举例流线计算举例【解解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入，得到 即 xdx+ydy=0 积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。【例例3-13-1】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。vyuxddxyyxkdkd工程流体力学工程

14、流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念 三、流管和流束三、流管和流束 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.2 描述流体运动的基本概念 系统系统质量交换质量交换有有单纯界面相互作用单纯界面相互作用有有界面相互作用界面相互作用流体流入流出作用流体流入流出作用无无有有动量和能动量和能量交换量交换 控制体控制体 四、系统和控制体四、系统和控制体 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。 l 流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形

15、成空隙，流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形成空隙，这就是这就是流体运动的连续性假设流体运动的连续性假设。l 质量守恒定律质量守恒定律(conservation of mass)(conservation of mass) ：u若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；封闭曲面内的空间；u如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质如果流体是不可压缩的，则

16、流出的流体质量必然等于流入的流体质量。量。连续性方程连续性方程2 连续性方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院控制体边长分别为dx、dy和dz形心O的坐标为x、y、z某一瞬时t 经过形心O的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w形心O的密度为流体从左向右流动经过控制体2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院分析沿分析沿x x轴方向控制体内流体质量轴方向控制体内流体质量d dt t 时间内变化量时间内变化量流入控制体左面质量流入控制体左面质量tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2d

17、ddd2d),(2d),(2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院流出控制体右面质量，流出控制体右面质量，可同理得出，即可同理得出，即tzyxtuuxtddd2d2d二者之差即为二者之差即为dtdt时间内沿时间内沿x x轴控制体内流体质量轴控制体内流体质量dtdt时间内变化量，即时间内变化量，即tzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd分析沿分析沿x x轴方向微元内流体质量轴方向微元内流体质量dtdt时间内变化量时间内变化量2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院同理得沿同理得沿y y 和和z z 轴方向在轴方向

18、在dtdt时间内质量的变化量时间内质量的变化量y y 轴轴因此，在因此，在dt 时间内经过六面体控制体的时间内经过六面体控制体的流体质量总变化量流体质量总变化量为三个方为三个方向变化量之和，即向变化量之和，即tzyxvydddd)(z z 轴轴tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxudddd2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 式应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为，经过dt 时间后的密度为ttttzyxd)d,(则在dt 时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为tzyxtzyxzyxttdddddd

19、ddddd2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 由 = ，简化得0zwyvxut可压缩流体非定常三维流动的连续性方程可压缩流体定常三维流动0t0zwyvxu可压缩流体定常三维流动的连续性方程不可压缩流体三维流动C0zwyvxu不可压缩流体三维流动的连续性方程2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院 对于二维流动，不可压缩流体的连续性方程为0yvxu注：连续性方程对于理想流体和粘性流体均适用2 .1 直角坐标系下连续性微分方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程一维流动的问题一维流动

20、的问题在管道中流动的流体在管道中流动的流体在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即 1 1、在流场中取一微元流束、在流场中取一微元流束2 2、假定流体的运动是连续的、定常的、假定流体的运动是连续的、定常的研究对象：研究对象：constVdAdAVdAV222111微元流束的连续性方程微元流束的连续性方程 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程dAdA1 1 、dAdA2 2 分别为分别为1 1、2 2两个两个有效截面的面积，有效截面的面积，m m2 2； V V1 1 、V V2

21、 2 分别为分别为dAdA1 1和和dAdA2 2上的流速，也称为真实流速，上的流速，也称为真实流速，m/sm/s；1 1 、2 2 分别为分别为dAdA1 1和和dAdA2 2处的流体密度，处的流体密度，kg/mkg/m3 3。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程 对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式进行积分得常数AAAAVAVAVddd21222111A1 和A2分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。一维流动积分形式总流的连续性方程设 和 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，可化为1V2V222111AVAV1和2分

22、别代表截面和上的平均密度，kg/m3可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程 对于不可压缩流体2211AVAV不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程 该式说明一维不可压缩流体在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程【解解】 根据不可压缩流体三维流动连续性方程进行判断 所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 3xu4yv2zw09

23、 zwyvxu【例例3-23-2】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程 【解解】 根据不可压缩流体二维流动连续性方程进行判断 所以 故此流动是连续的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu【例例3-33-3】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程【例例3-43-4】

24、 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？2V2V工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院2.2 微元流束和总流的连续性方程【例例3-43-4】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？2V2V【解解】 由不可压缩定常总流连续性方程，对两个截面有 所以 (m/s)22221144dVdV5 . 015 . 02222112ddVV工程流体力学工程流体力学

25、海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 动量方程yxzodAnv1vn1vn2nfsndAdAdVfv212sCVCSCSCSCVfdVf dAndAndAdVt11221122vvvvvvvvv 单位时间内单位时间内单位时间内质量力表面力流入的动量流出的动量动量的增量适于控制体的积分形式动量方程适于控制体的积分形式动量方程一、一般形式的动量方程一、一般形式的动量方程 工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 动量方程二、定常流动动量方程二、定常流动动量方程 0t2122snnCVCSCVCSCSfdVf dAdVvdAvdAt2121vvvvv1222snnCV

26、CSCSCSfdVf dAvdAvdAvvvv2222多个出口与入口各端口上流体密度与速度均匀分布221 1221 1221 1fxsxmxmxfysymymyfxszmzmzFFq vq vFFq vq vFFq vq v1dAnv 表示在控制体流入面的微元面上的速度在内法线方向的投影2dAnv 表示在控制体流出面的微元面上的速度在外法线方向的投影工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 动量方程三、一维定常流动动量方程三、一维定常流动动量方程 z212121fxsxmxxfysymyyfzszmzzFFqvvFFqvvFFqvv221 1221 1221 1fxsxmxmxfysym

27、ymyfxszmzmzFFq vq vFFq vq vFFq vq v一维定常流动动量方程一维定常流动动量方程注：适用于惯性坐标系或者相对于惯性坐标系做匀速直线运动的坐标系工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.1 动量方程三、一维定常流动动量方程三、一维定常流动动量方程 一维定常流动动量方程的应用一维定常流动动量方程的应用弯管内流动的计算弯管内流动的计算)(sin)(cos1222122211yyyyxxxxvvQRGApFvvQRApApFsinsin)cos(cos222122211QvGApRvvQApApRyxjRiRRRRRyxyx22xyRRarctg工程流体力学工程流体力学

28、海南大学机电学院3.1 动量方程三、一维定常流动动量方程三、一维定常流动动量方程 一维定常流动动量方程的应用一维定常流动动量方程的应用射流作用在固定平面上的冲击力射流作用在固定平面上的冲击力1 12200mvm vm vRx向向0sinmvR sinsin2000vAmvR射流对平板的冲击力射流对平板的冲击力 /RR为 的反作用力射流后平板两侧的分流流量与总流流量的关系式通过联立连续性方程射流后平板两侧的分流流量与总流流量的关系式通过联立连续性方程和动量方程自行推导（习题和动量方程自行推导（习题3-143-14）x工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 理想流体的运动微分方程 理想流体

29、运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律牛顿第二定律加以推导。加以推导。 l 受力分析：受力分析：1 1、质量力：、质量力：2 2、表面力：、表面力：fxdxdydz切向应力切向应力0 0（理想流体）（理想流体）法向应力压强法向应力压强2dxxpp2dxxppx轴正方向轴正方向x轴正方向轴正方向x轴负方向轴负方向理想流体中任一微元平行六面体的微团工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院3.2 理想流体的运动微分方程根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律得得x x 轴方向的运动微分方程轴方向的运动微分方程dtduzyx

30、zyxxppzyxxppzyxfxxddddd2ddd2dddddtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程一一 、方程的推导、方程的推导xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1(1) 不可

31、压缩理想流体的定常流动；不可压缩理想流体的定常流动；(2) 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3) 质量力只有重力。质量力只有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程0 zwyvxuconst 0tuxpXuzuuyuuxuzxyxxx1ypYuzuuyuuxuzyyyxy1zpZuzuuyuuxuzzyzxz1乘以乘以dx乘以乘以dy乘以乘以dz工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuy

32、ypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyxdddd1ddddd1ddddd1d由流线微分方程有 udy=vdx ydz=wdy wdx=udz代入上式可得：工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程将3式相加，得wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddddd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd1)ddd(工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程而pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu

33、假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz= -g，即 z 轴垂直向上，oxy为水平面。则式可写成0d21d1d2Vpzg又假设为不可压缩流体，即=常数，积分后得常数22Vpgz常数gVgpz22或理想流体流线上的伯努利方程理想流体流线上的伯努利方程工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程二二 、方程的适用范围、方程的适用范围该方程的适用范围：该方程的适用范围： 理想不可压缩流体； 质量力只有重力； 定常流动； 沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则常数gVgpz22gVgpzgVgpz2222222111在特殊情况下，绝对静止流体V=0，

34、可得到静力学基本方程常数gpz工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程三三 、方程的物理意义和几何意义、方程的物理意义和几何意义pggu22z位能位能压力能压力能动能动能pzg势能势能22puzgg机械能机械能伯努利方程表明伯努利方程表明 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以不变，即机械能是一常数，但位势能、

35、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。形式。1、物理意义、物理意义工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程三三 、方程的物理意义和几何意义、方程的物理意义和几何意义22upzHgg常数bc1aa2cbH总水头线静水头线gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z速速度度水水头头位位置置水水头头压压强强水水头头总总水水头头2、几何意义、几何意义注：理想流体的总水头线注：理想流体的总水头线: :水平线水平线 实际流体的总水头线实际流体的总水头线: :斜线斜

36、线工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程VBAZZ皮托管测速原理0Hh(一一)、皮托管测速、皮托管测速1 皮托管四四 、方程的应用、方程的应用皮托管工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程对A、B两点列伯努利方程伯努利方程AAABBBzgugpzgugp2222在点A处为流动驻点 0Au且 BAzz ABBppu22则 ghppvBA22驻点：流体中速度为0的点（A点）总压（滞止压强）：驻点的压强（A点压强）一、皮托管一、皮托管工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程ABBppu22A点的总压=B点的总压任一点压强与总压的关系220upp总压静压动压

37、2 静压管静压管工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程3 动压管迎流孔迎流孔顺流孔顺流孔接差压计接差压计尾柄尾柄头部头部ppppvBA022ppv02工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(二二)、文丘里流量计、文丘里流量计 用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程测流量原理对测压处1-1和2-2列伯努利方程连续方程静压方程gVgpgVgp20202222112121VAAV )

38、/(1 )(2212212AAppV液液ghpp)(21)/(1 )(22122AAhgV液液工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程测流量原理)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液流量计算式对于实际情况)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液实式中Cd为流量系数，通过实验测定。文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(三三)、方程使用时的几点注意、方程使用时的几点注意 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可

39、以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：1 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(三三)、方程使用时的几点注意、方程使用时的几点注意2 选好有效截面。 选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。工程流体力学工程流体力学海

40、南大学机电学院4 伯努利方程(三三)、方程使用时的几点注意、方程使用时的几点注意3选好基准面。基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。4求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的 p1和 p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强， p1和 p2 问题与静力学中的处理完全相同。 5 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压强，又取同一有效截面上另一点的速度。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举

41、例【例例3-53-5】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例【例例3-53-5】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。【解解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程

42、当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出值gVgppgpHaaa26 . 00022aaappgHp8 . 2工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例(m)288 . 2gpHa)m/s(78.209806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gpHgVa/sm235. 078.2012. 0785. 043222VdqV则代入到上式，得所以管内流量工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例【例例3-63-6】水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2

43、m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例【例例3-63-6】水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。【解解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：11Hgghphg)OmH(272. 02 . 06 .1321Hg1hhgp工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4

44、 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例列1-1和2-2断面的伯努利方程gVgpzgVgpz2222222111 由连续性方程： 将已知数据代入上式，得 管中流量21221ddVVgVgV201521612202221m/s1 .12151676 .192V/sm024. 01 .1205. 04432222VdqV工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院1.3 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例【例例3-73-7】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，

45、转角=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例【解解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。 取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例1.根据连续性方程可求得： m/s42. 13 . 041 . 042211dqvVm/s18. 32 . 041 . 042222dqvV2.列管道进、出口的伯努利方程gvg

46、pgvgp222222112/ )(222112vvpp2/ )18. 342. 1 (1000106 .17224kPa172工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例3.所取控制体受力分析 进、出口控制面上得总压力：kPa43 .123 . 041762111ApPkPa40. 52 . 041722222ApP壁面对控制体内水的反力Rx、Ry4.写出动量方程 选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例 沿x轴方向)cos(

47、cos1221vvqRPPVxcos)cos(1212PPvvqRVxkN568. 060cos43.1240. 5)60cos42. 118. 3(1 . 0 沿y轴方向)sin0(sin11vqRPVysinsin11vqPRVykN88.1060sin42. 11 . 060sin43.12工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院4 伯努利方程(四四)、计算举例、计算举例管壁对水的反作用力kN89.1088.10)568. 0(2222yxRRR水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院工程流体力学工程流体力学海南大学机电学院6.1 积分形式的能量方程yxzodAnv1vn1vn2nfsndAdAdVfv2输入功率输入功率做功做功热热量量传递传递 单位时间内单位时间内输入的功率向内的传热率净流入的能量能量的增量2222CSCVvvPugzv dAugzdVt传热率传热率 单位质量流体的总